高考数学讲义抛物线之切线与定点问题

2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题

内容

明细内容

要求层次

了解

理解 掌握 圆锥曲线

椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程

√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系

√

北京三年高考两年模拟统计

中点弦 垂直角度

弦长面积范围

定点定值 共线比例

其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计

7

8

15

14

5

5

抛物线之切线与定点

2014年高考怎么考

自检自查必考点

抛物线22y px =分为上下两支，可以分别看成函数求导 对于22y px =求导得2'2yy p =，则'p y y

=

抛物线22y px =在11(,)A x y 的切线的斜率为1

AT p k y = 故切线AT 为111

()p

y y x x y -=- 化简得到11

()p

y x x y =

+ 同理切线BT 为22

()p

y x x y =+

抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）

性质1：过抛物线一弦AB 的中点平行于对称轴的直线与抛物 线交于点P ，若过P 的切线为PT ，则PT //AB

性质2：过抛物线上一点P 的切线交其对称轴于点T ，则PF TF =

性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上

T

P

Q

B

A

O

y

x

F

O

y

x

A

自检自查必考点

T

F B

A

O

y

x

性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直

性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴

性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分 性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径

性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上

性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必

平行于此抛物线的对称轴

性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上

【例1】 证明：过抛物线上一点00M x y （，）的切线方程是：00y y p x x =+（）

【例2】 设抛物线2y =2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是11A B ，证明：以11A B 为直径的圆必过一定点

2

2y px =例题精讲

【例3】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点．

⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r

的值；

⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r

证明直线l 必过一定点，并求出该定点．

【例4】 如图,过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0,P x y y >作两条直线分别交抛物线于

()()1122.,,.A x y B x y

(I)求该抛物线上纵坐标为

2

p

的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12

y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.

y

P

O x

A

B

【例5】 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;

（II ）当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB 的斜率.

x

【例6】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点(0,c)C 任作一直线，与抛物线2y x =相

交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q

（Ⅰ）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r

，求c 的值；

（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。

【例7】 已知抛物线2:2C y x =，直线2y kx =+交C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的

垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB ⋅=u u u r u u u r

，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．

【例8】 已知点Q 到定点(,0)p （0p >）与它到定直线x p =-的距离相等

（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）设过点(30)A p -，

的直线与Q 的轨迹交于E 、F 两点，设(30)A p '，，当直线A E '与A F '的斜率都存在时，求证直线A E '、A F '的斜率之和为0．