2019-2020学年高一数学《§311 方程的根与函数的零点》导学案.doc

2019-2020学年高一数学《§311 方程的根与函数的零点》导学案

学习目标

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2. 掌握零点存在的判定定理.

旧知提示（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.

判别式∆= .

当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根. 22

合作探究

探究1：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个

交点，坐标为 .

② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .

③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到： 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到()y f x =吗？ 新知：函数零点与方程的根的关系

反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：（1）函数244y x x =-+的零点为 ；（2）函数243y x x =-+的零点为 . 小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. 探究2：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号

② 观察下面函数()y f x =的图象，

在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b 0；

在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c 0；

在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d 0.

新知：零点存在性定理

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

典型例题

例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程()0f x =的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

课堂小结

①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点.

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

1. 函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.

A. 一定没有零点

B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点

D. 零点情况不确定

3. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.

A. (1,0)-

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

4. 函数220y x x =-++的零点为 ，254y x x =--的零点为 ， 2(1)(31)y x x x =--+的零点为 .

5. 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .

6. 已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求m 的取值范围.

课外作业

1．下列函数中在区间 [1,2]上有零点的是( )

A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5

B ．f (x )＝x 3

－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．函数f (x )＝lg x －9x

的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)

D ．(9,10) 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )

A ．0,2

B ．0，12

C ．0，－12

D ．2，－12 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 5．二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数的零点个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无法确定

6．有下列四个结论：

①函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的定义域是(1，＋∞)

②若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数

③函数y ＝5|x |

的值域是(0，＋∞)

④函数f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)有且只有一个零点．

其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 7．已知关于x 的不等式

ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.则a ＝________. 8. 二次函数221y x ax a =-+-有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围

是 .

9. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.

（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值.

10．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－6)＝