最新利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)幻灯片

利用函数的单调性求参数 的取值范围(使用)
复习
1 用 导 数 判 断 函 数 单 调 性 法 则 : 、 如果在(a,b)内，f (x)＞0，则 f(x)在 此 区 间 是 增 函 数 ；
如果在(a,b)内， f (x)＜0，则 f(x)在 此 区 间 是 减 函 数 。
2、求函数单调区间的一般步骤是 1、求定义域 2、求导f'(x)
则f'(x)0在 [0,2]上恒成立
即 3x26a x2a20恒成x 立 [0,2]，
即 f'(x )m i0 n ,x [0 ,2 ]
而f '(x)为二次函数，开口向，上 对称轴为x a
f'(x ) 3 x 2 6 a 2 x a 2 0 ,x [0 ,2 ]
即 ( 3 x 2 6 a 2 x a 2 ) m 0 i,n x [ 0 ,2 ]
f'(x)ax(2a1)2(ax1)(x2)
x
x
(1)当 a0时f， '(x)2x x
所f以 (x)在0,（ 2）上递2， 增 ） ，上 在递 （减。
(2 )当 a 0 时f， '(x ) 0 ,得 令 x 1 1 a 0 .x 2 2
结合二次函f数 (x)在 图0（ ,2象 ）知 上递增； 在2（ ， ）递减。
a
a
故 f (x)在 (0, 1 )单 调 递 增 ， 在 ( 1 , )单 调 递 减 。
a
a
综合练习：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
即 3x2a30,恒成 x [0, 立 )
方法：（分离参数）
a3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习2： 若函f(数 x)x3ax21在0（ ,2）内单调 , 递减 求实a的 数取值. 范围
解析：
f'(x )3 x2 2 a,x (0 ,2 )
则f'(x)0在0（ ,2）上恒成立
即2ax 3x 2
方法：（分离参数） 2ax3x2 3恒成立
a 3x2 3 , 2x
3x2 3 a ( 2x )min
令 g(x)3x23,x[2,4] 2x
练习1： 已知函 f(x)数 x3ax3x1在[0,)上是单调递 求参a的 数取值. 范围
解： f'(x)3x2a3,x [0,) 则 f'(x)0在 [0, )上恒成立
f ( x) 1 2 ax （2 a） (2 x +1)(ax 1)
x
x
当 a 0时 , f ( x) 0, 故 f ( x)在 （0， ） 单 调 递 增 ;
当 a 0时 , 令 f ( x) 0， 解 得 x 1 a
则 当 x (0, 1 )时 ， f ( x) 0; x ( 1 , )时 ， f ( x) 0
a
3
0
f ' ( 0 ) 0
a1
o
x
②
a 3
0
f
'( a ) 3
0
a 6 2
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意
从对称轴，区间端点函数值方面考虑
例3：设函 f(x) 数 1a2x(2a1)x2lnx.试讨 f(x)的 论单 2
解：函数的定义 (0,域)
a
2
a
f (x)在（1，2）上为减函数。
a
综上：
(1)当 a0时f(， x)在 0,2 （ ）上递 2， 增 ）， 上在 递（ 减
(2)当a1时， f(x)在（ 0， ）上为增函数。
2
(3)当 0a1时f(， x)在0， 2 （ ）和 1,（ ) 上为;增函数
2
a
f (x)在（2，1）上为减函数。 a
(4)当 a1时f， (x)在0， （ 1）和 2,) （ 上为;增函数
2
a
f (x)在（1，2）上为减函数。 a
练习1：
( 2 0 1 1 辽 宁 理 ） 已 知 函 数 f ( x ) = l n x a x 2 （ 2 a ） x , 讨 论 函 数 f ( x ) 的 单 调 性
解 ： f ( x )的 定 义 域 为 （0， ）
y
o
x 2
X=a
X=a
X=a
练习1：设 a为实数f， (x)函 x3a数 2x(a21)x在 [0， ）上是,求 增 a的 函取 数值 . 范围
解: f'(x ) 3 x 2 2 a ( x a 2 1 ) 0 ,x [0 ,)
[ 3 x 2 2 a ( x a 2 1 )m ] i0 n ,x [0 ,)① y
A．m>－2 2 B．m≥－2 2
C．m<2 2
() D．m≤2 2
令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 当－m4 ≤0 时，g(0)＝1>0 恒成立，∴m≥0 成立， 当－m4 >0 时，则 Δ＝m2－8≤0，∴－2 2≤m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥－2 2.
B
4．已知函数 f(x)＝1a－xx＋ln x，若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， 则正实数 a 的取值范围为___________．
3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0,求出减区间。
例1：已知函 f(x数 )x3ax23x1在[2,上 4] 是单调递增
求参a的 数取值.范围
解：
f'(x) 3 x2 2 a x 3 ,x [2 ,4 ]
则f'(x)0在 [2,4]上恒成立
即 3x22a x30,恒成 x [2,立 4]
a 3 x, x (0,2) 2
a(23x)ma,xx(0,2),
a3
分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x)的最值 求得参数范围
Hale Waihona Puke Baidu
例2：已知函 f(x)数 x33ax22a2x1在[0,上 2] 是单调递 求参a的 数取值. 范围
解： f'(x ) 3 x 2 6 a x 2 a 2 ,x [0 ,2 ]
(3 )当 a 0 时f， '(x ) 0 ,得 令 x 1 1 a 0 .x 2 2
1)当12即 a1时， f(x)在0（ ， ）上为增函数
a
2
2)当 12即 0a1时f(， x)在 0， 2 （ ）和 1,) 上 （为; 增函
a
2
a
f (x)在（2，1）上为减函数。 a
3)当 12即 a1时f(， x)在0， （ 1）和 2,) 上 （为;增函数