三角函数线的妙用

三角函数线的妙用

单位圆中的三角函数线是三角函数的定义的几何形式，我们就可以用形（有向线段）来研究数（三角函数）了。在解决一些三角问题时，恰当地运用一些三角函数线，往往即直观又方便.

一、求三角函数值

例 1 tan300 tan405 的值为（）

A. 1 3

B.1 、3

C. 1 .3

D. 1 、3

解：由于300和405可以分别用特殊角60和45来表示，因而容易在单位圆上找到它们的终边，作出三角函数线，再求出三角函数值。

因为tan300 3，tan405 1，所以tan 300 tan 405 1 .3.选 B 、解简单的三角方程

），求x.

x

解：设（。2），且cos

1

作余弦线为1的角的终边（OA和OB两条射线），

因为x （ ,2 ），所以满足条件的角只有一个（以 OA为终边，如图1所示）如果将x的取值范围改为x （,0），结合图2,可以得出:

三、解简单的三角不等式 (1) tan

1

(2) 1

3 1

sin

2

2

解：（1）因为 tan( 7) 1,tan

4 1 图3所示 取值范围是（

2k , 2k ) (3 2k ,3 4

2 4 2

(k Z)，即( 4 k , 2 k

)(k Z)

例3分别根据下列条件，写出

的取值范围.

2k (2)因为si n — 3 2 sin

3 2 7 sin ——si n( ) 1

且- 1 -sin ,3 6 6 2 2 2 由图4所示 的取值范围是 (6 2k '3 2k

(

；

2k' 7 6 2k ) (k Z)

四、比较大小

例 4 sin cos 一

'且 (0,5

-)' 4

图4

贝U tan ___________________ . 7 5 解：因为sin cos 且 （

0,）, 5 4 cos sin 0， sin cos 0 由(sin cos )2坐得 2si n cos 24

25

25

2 1

1 (sin cos )

sin cos

25

5

由（1）

(2)可得sin 3 ,cos 4 * ,tan 3

5 5 4 由单位圆中三角函数线可得 （，

5

） 4 x

ABC 中，若 sin A 16 (A )

65 (B)

3

厂 ,cosB 5 56 65

解：因为cosB 5 13 5 一

，贝U cosC 的值是(

13 (

C)兰或56

65 12 (0-),s inB — 2 13 65 (D)

16

65

16 65

3

右 A (一，)，s inA -

2 5

由单位圆中的三角函数线可直观地得到 A+B 4

这与 A+B 矛盾. A (0,—),cosA -

2 5

cosC cos(A B) sin Asin B cosAcosB 因此选(A).