异面直线所成的角求法答案

异面直线所成的角求法

答案

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异面直线所成的角的两种求法

初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处不会作！

下面介绍两种求法

一．传统求法--------找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。

平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12

3，求AB 和CD 所成的角.

解 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.

∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2

1 AB ＝62， HE ＝2

1 ，CD ＝23，

∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 si n∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴ sin∠EHG＝

2

2

,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°

H

G

F

E

D

C

B

A

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=

2

2

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）

解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别

是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=2

1

BC ，FG∥AD，

且FG=2

1

AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG

所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF=2

1AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。

求：AM 与CN 所成的角的余弦值；

解：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2

1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·

23= 4

3且ME=2

1MD=

4

3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=

163+41=16

7

A

B

C

G

F E

D

∴cos ∠CNE=

324

3

432167)43()43(

2222

22-=⋅⋅-+=

⋅⋅-+NE

CN CE

NE CN ,

又∵∠CNE ∈(0,

2

π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为3

2.

注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观

图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

例4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，

已知AB=4，CD=20，EF=7，

3

1

==EC BE FD AF 。求异面直线AB 与CD 所成的角。 解：在BD 上取一点G ，使得3

1

=GD BG ，连结EG 、FG

在ΔBCD 中，

GD

BG

EC BE =，故EG 41==BC BE CD EG 43==AD DF AB FG 2153275322

22222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG 212

221b a +22221c b a ++224121c b +222222222222412)41()(41)(41c b a b a

c b c b a b a ++⋅+⋅+-++++)2222222)((c b a b a b a +++-22b a +222c b a ++224c a +2

222222222222)

4()()(c b a b a c a c b a b a ++⋅+⋅+-++++)2222222

)((c

b a b a a b +++-))((2

222222c b a b a b a +++-

>=<,cos 求AE 与D 1F 所成的角 解: 取AB 中点G,连结A 1G,FG.

因为F 是CD 的中点,所以GF 、AD 平行且相等, 又A 1D 1、AD 平行且相等,所以GF 、A 1D 1平行且相等, 故GFD 1A 1是平行四边形,A 1G∥D 1F. 设A 1G 与AE 相交于点H,

则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角, 因为E 是BB 1的中点,

B 1G A 1