第三讲 梁单元

− q2 ,−m2 ,−q2 ,−m2
1 1 2
2
单元节 点力
外载荷
单元节点力 的反作用力
单元节 点力
由节点2的静力平衡条件得：
Z 2 q21 q2 2 1 2 {Q2 } = = 1 + 2 = {p2 } + {p2 } M 2 m2 m2
节点2的外载荷等于节点2对其所有相连单元的节点力之和！ 也就是节点2所受外载荷 {Q2}要分配到相连的单元上。
由前面给出的单元（1）、（2）分块形 式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：
p1 k11 = p2 k 21
p2 k 22 = p3 k32
2
1
k12 k 22
k 23 k33
1
δ 1 δ 2
δ 2 δ 3
1
{p2 }1 = [k21 ]1{δ1}1 + [k22 ]1{δ 2 }1 {p2 }2 = [k22 ]2 {δ 2 }2 + [k23 ]2 {δ 3 }2
1 2
a13 a23 a33 a43
a14 u1 a24 u2 （这里1，2，3，4是单元 a34 u3 自由度序号） a44 u4
为了求刚度矩阵元素，在上式中令：
u1 1 u 0 2 = u 3 0 u 4 0
• 结构有限元平衡方程的讨论：
1 1 k11 k12 1 1 2 k 21 k 22 + k 22 2 0 k32 0 0
0
2 k 23 2 3 k33 + k33 3 k 43
0 δ 1 Q1 0 δ 2 Q2 = 3 δ 3 Q3 k34 3 k 44 δ 4 Q4
{δi } 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 Zi 和 弯矩 M ，称为广义力。
i
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
Zi {Qi } = = [Z i M i
Mi ]
T
{Qi } 称为节点i的节点载荷。
• 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。
e
上式按分块形式展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：
{pi }e = [kii ]e {δ i }e + [kij ]e {δ j }e
{p } = [k ] {δ } + [k ] {δ }
e e e e j ji i jj j
e
上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结 构的整体分析时更简洁。
三、离散结构的整体分析
•设已知分块形式的各单元特性：
p1 k11 = p2 k 21
p2 k 22 = p3 k32 p3 k 33 = p4 k 43
3 2
1
k12 k 22
k 23 k33 k34 k 44
a13 a23 a33 a43
a14 u1 a24 u 2 a34 u3 a44 u 4
同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：
6 EJ l2 4 EJ a22 = l a12 =
a32 = −
6 EJ l2 2 EJ a42 = l
1 11 1 21
k 1 2 k 22 + k 22 2 k32 0
1 12
0 2 k 23 2 3 k33 + k33
3 k 43
0 δ 1 Q1 0 δ 2 Q2 = 3 k34 δ 3 Q3 3 k 44 δ 4 Q4
1
δ 1 δ 2
δ 2 δ 3 δ 3 δ 4
1
2
2
3
3
• 以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，分析其受力平衡。 单元节点力 外载荷
单元节点力 的反作用力
单元节点力
节点2的受力分为两类： 1）外载荷： Z2 ,M2 2）单元（1）和（2）上节点力的反作用力：
qi a11 m i a 21 = q j a31 m j a 41 a12 a 22 a32 a 42
e
a13 a 23 a33 a 43
e
a14 f i a 24 θ i a34 f j a 44 θ j
e
e
上述每一子块均为2×1子列阵。 分块形式的单元刚度矩阵：
kii e [k ] = k ji
每一子块均为2×2子矩阵
kij k jj
e
因此，单元刚度方程分块形式表示为：
pi k ii = pj k ji
e
k ij k jj
e
δ i δ j
刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定。
{ p}
eBaidu Nhomakorabea
= [k ] {δ }
e
e
•
单元刚度方程的分块： 采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进 行分块。 单元节点位移列阵分块： 单元节点力列阵分块：
{δ }
e
δ i = δ j
e
pi {p} = pj
刚度方程
s1 a11 s a 2 21 = s3 a31 s 4 a 41
第1列刚度系数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆 为0时所有节点力分量。
确定刚度系数如下：
1 0 则梁单元变形 {δ }e = 0 0
按材料力学梁变形公式求节点力如下：
s1 a11 s a 2 21 = s3 a31 s4 a41
挠度：
s1l 3 s2l 2 u1 = 1 = − 3EJ 2EJ
s1l 2 s2l u2 = 0 = − + 2EJ EJ
注意： 1) 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向 一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！ 2) 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。
• 单元特性研究 结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力 平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关 系就是单元的弹性特性（刚度特性）。 下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵物理意义建立梁单元特性。 在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节 点位移之间有线性关系：
上式简写为：
[K ]{δ } = {Q}
{Q}
—— 结构有限元平衡方程
{δ } —— 结构节点位移列阵（ 8 ×1）
—— 结构节点载荷列阵（ 8 ×1） —— 结构总刚度矩阵（8 ×8）
1 k12 1 2 k 22 + k 22 2 k 32 0
[K ]
1 k11 1 k 21 [K ] = 0 0
梁单元变形
s1 a12 s a 2 22 = s3 a32 s4 a42
由刚度方程可得：
s1 a11 a12 s a 2 21 a22 = s3 a31 a32 s4 a41 a42
0 2 k 23 2 3 k 33 + k 33 3 k 43
0 0 3 k 34 3 k 44
• 结构总刚度矩阵的讨论：
结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加 而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、 奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些 性质。 总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性。 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件）。 总之，从前面弹簧、直杆和这里梁结构有限元总刚度矩阵的特点 可以初步归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下： 1）对称性；2）奇异性；3）稀疏性；4）非零元素带状分布
平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的 总节点力；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对 应总节点力的贡献。 平衡方程右端是各节点外载荷。因此，有限元平衡方程代表了 系统各节点所受外载荷与所受单元反作用总力之间的平衡。 结构的有限元平衡方程可以叙述为：节点内力 = 节点外载荷。 对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支 反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关 于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余 方程求出支反力。
称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。
结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对 该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点2个节点力分量： 剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。 单元节点力分量：
{p}e
= qi
[
mi
qj
mj
]
T
{p}e
称为单元e的单元节点力列阵（向量）。
同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：
[k ]e
12 EJ 6 l = 3 l − 12 6l
6l 4l 2 − 6l 2l 2
− 12 − 6l 12 − 6l
6l 2l 2 − 6l 4l 2
显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质： 1）对称性； 2）奇异性； 3）主对角元素恒正。
简记为：
{p}
e
= [k ] {δ }
上式就是梁单元的刚度方程。[k ] 称为单元刚度矩阵，其中每个元
e
素都是常数。 方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：
s1 a11 a12 s a 2 21 a22 = s3 a31 a32 s4 a41 a42
由节点1、4的平衡得：
{Q1} = {p1} = [k11 ] {δ1}+ [k12 ] {δ 2 } {Q4 } = {p4 }3 = [k43 ]3 {δ 3 }+ [k44 ]3 {δ 4 }
1 1 1
（ 请 同 学 们
• 将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得： 课 后 练 习 ）
k k 0 0
再由梁单元的静力平衡条件得：
转角：
联立解出：
12EJ = a11 3 l 6EJ s2 = 2 = a21 l s1 =
12EJ = a31 3 l 6EJ s4 = s1l − s2 = 2 = a41 l s3 = −s1 = −
至此已求出刚度矩阵的第一列元素。
0 1 e 再设：δ } = { 0 0
2
2
{Q2 } = {p2 } + {p2 } = 1 1 2 2 [k21 ] {δ1}+ ([k22 ] + [k22 ] ){δ 2 }+ [k 23 ] {δ 3 }
同理，由节点3的平衡可得：
{Q3 } = {p 3 }2 + {p3 }3 = [k32 ]2 {δ 2 }+ ([k33 ]2 + [k33 ]3 ){δ 3 }+ [k34 ]3 {δ 4 }
二、简单梁单元的单元特性
• 单元的描述： 分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模 量E，截面惯性矩为J。 单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位移分量， 单元共有4个位移分量——4个自由度； 单元节点位移：
{δ }e = [ fi θi
f j θj
]
T
{δ }e
3 梁单元
3.1 简单梁单元
一、节点位移与节点载荷
•
对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。 单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。 及转角 θi 。 fi
•梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度
一个节点的位移用列阵表示为：
fi {δ i } = = [ f i θ i ]T θ i