江苏省南通市海安市海安县城南实验中学2018-2019学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

2018～2019学年第一学期期末学业质量监测
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 1.下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是( ) A. y=4x
B.
3y
x
= C. 1y x
=-
D. 21y x =-
2.下列图形中是中心对称图形的共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(4，2)，则tan α的值是( )
A.
12
B. 5
C.
5 D. 2
4.在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值大约为( ) A. 16
B. 20
C. 24
D. 28
5.已知2是关于x 的方程250x x k -+=的一个根，则这个方程的另一个根是( ) A. 3
B. -3
C. -5
D. 6
6.如图，⊙O 弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于【 】
A. 8
B. 4
C. 10
D. 5
7.某学习小组在研究函数y ＝
16
x 3
﹣2x 的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”16
x 3
﹣2x ＝2实数根的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线8
y x
=上.如果12x x <，而且120x x ⋅>，则以下不等式一定成立的是( ) A. 120y y +>
B. 120y y ->
C. 120y y ⋅<
D. 1
2
0y y < 9.已知二次函数26y x x m =-+(m 是实数)，当自变量任取1x ，2x 时，分别与之对应的函数值1y ，2y 满足
12y y >，则1x ，2x 应满足的关系式是( )
A. 1233x x -<-
B. 1233x x ->-
C. 1233x x -<-
D. 1233x x ->-
10.如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A. （3π）cm 2
B. （π3cm 2
C. （3π）cm 2
D. （2π3）cm 2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上）
11.计算sin 245°+cos 2
45°=_______．
12.底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)
13.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．
14.如图，为了测量河宽AB (假设河的两岸平行)，测得∠ACB ＝30°，∠ADB ＝60°，CD ＝60m ，则河宽AB 为 m(结果保留根号)．
15.如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C.若PC=23，则BC 的长为______．
16.平面直角坐标系xOy 中，若点P 在曲线y ＝
18
x
上，连接OP ，则OP 的最小值为_____． 17.如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.则小圆形场地的半径是______米.
18.再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s ，在这个问题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02
t
v v v +=
，其中0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度.如果斜面的长是18m ，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)求这个反比例函数
的解析式；(2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？(3)点B(3，4)，C(5
，2)，D(
1
2
2
-，
4
4
5
-)是否在这个函数图象上？为什么？
20.如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB.求证：△ADE∽△EFC.
21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6.解这个直角三角形.
22. 在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏．小明画出树形图如下：
小华列出表格如下：
第一次
第二次
1 2 3 4
1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）
2 （1，2） （2，2） ① （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
（3）规定两次抽到的
数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？ 23.如图，
O 的直径AB 为10cm ，弦8BC cm =，ACB ∠的平分线交O 于点D .连接AD ，BD .求四
边形ACBD 的面积.
24.分别用定长为a 的线段围成矩形和圆．
（1）求围成矩形的面积的最大值；（用含a 的式子表示） （2）哪种图形的面积更大？为什么？ 25.课本上有如下两个命题：
命题1：圆内接四边形的对角互补.
命题2：如果一个四边形两组对角互补，那么该四边形的四个顶点在同一个圆上. 请判断这两个命题的真、假？并选择其中一个．．．．
说明理由. 26.如图，正方形ABCD 中，25AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF .
（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；
（2）求CDF
的面积的最小值. 27.如图，ABC的角平分线1BD=，120ABC∠=︒，A∠、C∠所对的边记为a、c .
c=时，求a的值；
（1）当2
（2）求ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；
（3）求证：a，c之和等于a，c之积.
2018～2019学年第一学期期末学业质量监测
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 1.下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是( ) A. y=4x B.
3y
x
= C. 1y x
=-
D. 21y x =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】A 、y ＝4x 是正比例函数；
B 、
y
x
＝3，可以化为y ＝3x ，是正比例函数； C 、y ＝﹣1
x
是反比例函数；
D 、y ＝x 2
﹣1是二次函数； 故选C ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，形如y ＝k
x
（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数． 2.下列图形中是中心对称图形的共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断． 【详解】从左起第2、4个图形是中心对称图形， 故选B ．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合．3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4，2)，则tan 的值是( )
A. 1
2
B. 5
C.
5
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．【详解】如图：
过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，
∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），
∴OD=4，CD=2，
∴tanα=CD
OD
＝
2
4
＝
1
2
，
故选A．
【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
4.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A. 16
B. 20
C. 24
D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的
频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出
方程求解．
【详解】根据题意知4
a
=20%， 解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解， 故选B ．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5.已知2是关于x 的方程250x x k -+=的一个根，则这个方程的另一个根是( ) A. 3 B. -3
C. -5
D. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
由根与系数的关系，即2加另一个根等于5，计算即可求解． 【详解】由根与系数的关系，设另一个根为x ， 则2+x=5， 即x=3． 故选A ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，用到的知识点：如果x 1，x 2是方程x 2
+px+q=0的两根，那么x 1+x 2=-p ． 6.如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于【 】
A. 8
B. 4
C. 10
D. 5
【答案】D 【解析】
【详解】解：∵OM ⊥AB ， ∴AM=
1
2
AB=4， 由勾股定理得：22AM OM +2243+；
故选D ．
7.某学习小组在研究函数y ＝
16
x 3
﹣2x 的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”16
x 3
﹣2x ＝2实数根的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用直线y =2与y 16=x 3﹣2x 的交点个数可判断1
6
x 3﹣2x =2实数根的个数． 【详解】由图象可得直线y =2与y 16=x 3﹣2x 有三个交点，所以1
6
x 3﹣2x =2实数根的个数为3．
故选C ．
【点睛】本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键． 8.已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线8
y x
=上.如果12x x <，而且120x x ⋅>，则以下不等式一定成立的是( ) A. 120y y +> B. 120y y ->
C. 120y y ⋅<
D. 1
2
0y y < 【答案】B 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数y ＝
8
x
的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小， 而12x x <，而且12,x x 同号， 所以12y y >，
即120y y ->， 故选B ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝
k
x
（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．也考查了反比例函数的性质．
9.已知二次函数26y x x m =-+(m 是实数)，当自变量任取1x ，2x 时，分别与之对应的函数值1y ，2y 满足
12y y >，则1x ，2x 应满足的关系式是( )
A. 1233x x -<-
B. 1233x x ->-
C. 1233x x -<-
D. 1233x x ->-
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得到|x 1-3|＞|x 2-3|．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=-6
21
-⨯=3， ∵y 1＞y 2，
∴点（x 1，y 1）比点（x 2，y 2）到直线x=3的距离要大， ∴|x 1-3|＞|x 2-3|． 故选D ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10.如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A. （3π）cm 2
B. （π3cm 2
C. （3π）cm 2
D. （2π3）cm 2
【答案】C 【解析】 【分析】
连接AD ，由等边三角形的性质可知AD ⊥BC ，∠A=∠B=∠C=60°，根据S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF 即可得出结论． 【详解】连接AD ， ∵△ABC 是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°， ∵BD=CD ， ∴AD ⊥BC ，
∴AD=22AB BD -=224223-=，
∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF =12×4×23﹣2
6023360
π⨯⨯=(43﹣2π)cm 2，
故选C ．
【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 11.计算sin 2
45°+cos 2
45°=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果． 【详解】原式=(
22)2+(22
)2=12+12=1．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单． 12.底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)
【答案】一定
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，根据相似三角形的判定定理证明．
【详解】如图：
∵AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C，∠E=∠F，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠C=∠E=∠F，
∴△ABC∽△DEF，
故答案为一定．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
13.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．
【答案】4 3
【解析】
试题分析：1204
=2
180
r
π
π
⨯
，解得r=
4
3
．
考点：弧长的计算．
14.如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为m(结果保留根号)．
【答案】3
【解析】
【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°， ∴∠CAD=30°， ∴AD=CD=60m ， 在Rt △ABD 中， AB=AD •sin ∠ADB=60×
3
=303(m). 故答案是：303.
15.如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C.若PC=23，则BC 的长为______．
【答案】2 【解析】 【分析】
连接OC ，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB 是等边三角形，从而得结论． 【详解】连接OC ，
∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ， ∴∠OCP=90°， ∵3OC=2，
∴22OC PC +222(23)+， ∴∠OPC=30°，
∴∠COP=60°， ∵OC=OB=2，
∴△OCB 是等边三角形， ∴BC=OB=2， 故答案为2
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16.平面直角坐标系xOy 中，若点P 在曲线y ＝18
x
上，连接OP ，则OP 的最小值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】
设点P （a ，b ），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得ab ＝18，根据22a b +＝2
op ，且22a b +≥2ab ，可求OP 的最小值．
【详解】解：设点P （a ，b ） ∵点P 在曲线y ＝18
x
上， ∴ab ＝18
∵2a b -（）
≥0， ∴22a b +≥2ab ，
∵22a b +＝2
op ，且22a b +≥2ab ， ∴2
op ≥2ab ＝36， ∴OP 最小值为6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用22a b +≥2ab 是本题的关键． 17.如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.则小圆形场地的半径是______米.
【答案】552+ 【解析】 【分析】
根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程． 【详解】设小圆的半径为xm ，则大圆的半径为（x+5）m ， 根据题意得：π（x+5）2=2πx 2，
解得，x=5+52或x=5-52（不合题意，舍去）． 故答案为5+52．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出． 18.再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s ，在这个问题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02
t
v v v +=
，其中0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度.如果斜面的长是18m ，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.
【答案】6【解析】 【分析】
根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t ．然后由“平均速度v ⨯时间t ”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t 的值． 【详解】依题意得s=
0 1.52t
+×t=34
t 2，
把s=18代入，得18=
34
t 2
，
解得 t=，或t=-（舍去）．
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)求这个反比例函数的解析式；
(2)这个函数的图象位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？
(3)点B(3，4)，C(5，2)，D(1
22-，445
-)是否在这个函数图象上？为什么？
【答案】(1)12
y x =；(2)这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；(3)点B ，D 在函数12
y x
=的图象上，点C 不在这个函数图象上.
【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】(1)设这个反比例函数的解析式为k y x
=， 因为()A 2,6在其图象上，所以点A 的坐标满足k
y x
=，
即，k
62
=，解得k 12=，
所以，这个反比例函数解析式为12
y x
=；
(2)这个函数的图象位于第一、三象限， 在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
(3)因为点()B 3,4，1
4D 2,425⎛⎫-- ⎪⎝⎭
满足12y x =，所以点B ，D 在函数12y x =的图象上，点C 的坐标不
满足12
y x
=
，所以点C 不在这个函数图象上. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=k x
（k 为常数，k ≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质． 20.如图，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB.求证：△ADE ∽△EFC.
【答案】证明见解析 【解析】
试题分析：根据平行线的性质得到∠ADE=∠C ，∠DFC=∠B ，∠AED=∠B ，等量代换得到∠AED=∠DFC ，于是得到结论.
试题解析：∵ED ∥BC,DF ∥AB ， ∴∠ADE=∠C ，∠DFC=∠B ， ∴∠AED=∠B ， ∴∠AED=∠DFC ∴△ADE ∽△DCF
21.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=6.解这个直角三角形.
【答案】30B ∠=︒，60A ∠=︒，22AB =【解析】 【分析】
根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以求得AB 的长，根据锐角三角函数可以求得∠A 的度数，进而求得∠B 的度数，本题得以解决．
【详解】∵C 90∠=︒，AC 2=，BC 6=
，
∴AC 23tanB BC 6=
==，BC 6
tanA 3AC 2
===.
∴B 30∠=︒，A 60∠=︒.
∴22AB AC BC 2622=+=+=. 答：B 30∠=︒，A 60∠=︒，AB 22=.
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和数形结合的思想解答． 22. 在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏． 小明画出树形图如下：
小华列出表格如下： 第一次 第二次 1
2
3
4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） ① （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），
再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？ 【答案】（1）放回 （2）（3，2）
（3）小明获胜的可能性大．理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据树形图法的作法可知． （2）根据排列顺序可知．
（3）游戏公平与否，比较概率即知． 【详解】解：（1）放回． （2）（3，2）． （3）理由如下： ∵根据小明的
游戏规则，共有12种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为：
82
123
=． ∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能结果，数字之和为奇数的有8种， ∴概率为：81162
=． ∵
21
>32
，∴小明获胜的可能性大． 23.如图，
O 的直径AB 为10cm ，弦8BC cm =，ACB ∠的平分线交O 于点D .连接AD ，BD .求四
边形ACBD 的面积.
【答案】2
49ACBD S cm =四边形 【解析】 【分析】
利用角平分线的性质及同弧所对的圆周角相等可得BAD ABD ∠=∠，由直径所对的圆周角是直角可得
90ADB ∠=︒，90ACB ∠=︒，由勾股定理可得AD 、BD 长以及AC 长，根据三角形面积公式求出ADB ∆和ACB ∠的面积，相加即可.
【详解】解：∵CD 平分ACB ∠，
∴ACD BCD ∠=∠.
∵ACD ABD ∠=∠，BAD BCD ∠=∠，
∴BAD ABD ∠=∠.
∵90ADB ∠=︒，
∴45BAD ABD ∠=∠=︒.
∴在Rt ADB 中，
AD DB ====，
2112522
ADB S AD DB cm ∆=⨯=⨯=.
在Rt ACB 中，6AC cm ===，
211 682422
ACB S AC CB cm =⨯=⨯⨯=△. ∴2252449ADB ACB ACBD S S S cm =+=+=△△四边形.
【点睛】本题主要考查了圆的性质，是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有圆周角与弧之间的关系、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活利用圆的性质是解题的关键.
24.分别用定长为a 的线段围成矩形和圆．
（1）求围成矩形的面积的最大值；（用含a 的式子表示）
（2）哪种图形的面积更大？为什么？
【答案】（1）矩形面积的最大值为2
a 16
；（2）圆的面积大． 【解析】
【分析】
（1）设矩形的一边长为b ，则另外一边长为2a -b ，由S 矩形=b （2a -b ）=﹣（b 4a -）2216
a +可得答案； （2）设圆的半径为r ，则r 2a π=，知S 圆=πr 22
4a π
=，比较大小即可得． 【详解】（1）设矩形的一边长为b ，则另外一边长为2a -b ，S 矩形=b （2a -b ）=﹣（b 4a -）2216
a +，∴矩形
面积的最大值为216a ； （2）设圆的半径为r ，则r 2a π=，S 圆=πr 22
4a π
=． ∵4π＜16，∴22
416
a a π＞，∴S 圆＞S 矩，∴圆的面积大． 【点睛】本题考查了列代数式与二次函数的
最值，用到的知识点是圆的面积公式、矩形的面积公式、二次函数的最值，关键是根据题意列出代数式．
25.课本上有如下两个命题：
命题1：圆的内接四边形的对角互补.
命题2：如果一个四边形两组对角互补，那么该四边形的四个顶点在同一个圆上.
请判断这两个命题的真、假？并选择其中一个．．．．
说明理由. 【答案】命题一、二均为真命题，证明见解析.
【解析】
【分析】
利用圆周角定理可证明命题正确；利用反证法可证明命题2正确．
【详解】命题一、二均为真命题，
命题1、命题2都是真命题．
证明命题1：如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，连接OA 、OC ，
∵∠B=12∠1，∠D=12
∠2， 而∠1+∠2=360°， ∴∠B+∠D=
12×360°=180°， 即圆的内接四边形的对角互补．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
26.如图，正方形ABCD 中，
25AB =，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF .
（1）若A 、E 、O 三点共线，求CF 的长；
（2）求CDF 的面积的最小值.
【答案】（1）3；（2）1025-【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出AO 长，易得AE 长，由正方形的性质利用SAS 可证ADE CDF ≌，根据全等三角形对应边相等可得结论；
（2）过点E 作EH AD ⊥于点H ，当,,O E H 三点共线，EH 最小，求出EH 长，根据三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由旋转得：90EDF ∠=︒，ED DF =， ∵O 是BC 边的中点，∴152BO BC =
=在Rt AOB 中，222055AO AB BO =++=.
∴523AE AO EO =-=-=.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴90ADC ∠=︒，AD CD =，
∴ADC EDF ∠=∠，
即ADE EDC EDC CDF ∠+∠=∠+∠，
∴ADE CDF ∠=∠.
在ADE 和CDF 中
AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE CDF ≌.
∴3CF AE ==.
（2）由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动.
过点E 作EH AD ⊥于点H .
∵ADE CDF ≌，
∴ADE CDF S S =△△
当,,O E H 三点共线，EH 最小，252EH OH OE =-=-.
∴1S 10252
CDF ADE S AD EH ==⨯⨯=-△△. 【点睛】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.
27.如图，ABC 的角平分线1BD =，120ABC ∠=︒，A ∠、C ∠所对的边记为a 、c .
（1）当2c =时，求a 的值；
（2）求ABC 的面积（用含a ，c 的式子表示即可）；
（3）求证：a ，c 之和等于a ，c 之积.
【答案】（1）2；（2）34ABC S ac =
△；（3）详见解析. 【解析】
【分析】
（1）过点A 作AE BD ⊥于点E ，利用直角三角形30度角的性质可知BE 长，得BE BD =，即点E 、点D 重合，中线与高线重合，可知AB=AC ，即a c =；
（2）表示方法有两种，可能情形1：过点A 作AF BD ⊥于点F ，过点C 作CG BD ⊥延长线于点G ，解直角三角形可得3AF =，3CG =，利用三角形面积公式可得 ABD ∆和BCD ∆的面积相加即可；可能情形2：过点C 作CH AB ⊥于点H ，解直角三角形可得
32CH a =，直接利用三角形面积公式求解即可； （3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.
【详解】解：（1）过点A 作AE BD ⊥于点E
∵BD 平分ABC ∠，∴1602
ABE ABC ∠=
∠=︒. 在Rt ABE △中，60ABE ∠=︒，112BE c ==. ∵BE BD =，∴点E 与点D 重合，∴AD BD ⊥.
∴2a c ==.
（2）答案不唯一.
可能情形1：过点A 作AF BD ⊥于点F ，过点C 作CG BD ⊥延长线于点G
∵BD 平分ABC ∠，∴1602ABF CBG ABC ︒∠=∠=
∠=. ∵在Rt ABF 中，60ABF ∠=︒，3AF =， 在Rt CBG △中，60CBG ∠=︒，3CG =
∴ABC ABD BCD S S S =+△△△ 113322BD AF BD CG =⨯+⨯=+. 可能情形2：过点C 作CH AB ⊥于点H ，用含a 的式子表示出32CH a =
，
于是1324
ABC S AB CH ac =⨯=△. （3）从上面ABC ∆两种面积表示方法34
ac ，3344a +，可得333444a ac +=，化简得a c ac +=，即a ，c 之和等于a ，c 之积.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用直角三角形中的特殊角与边的关系求线段长是解题的关键.。