二次根式化简的方法技巧

二次根式化简的方法技巧
对于某些二次根式，若按照常规一般方法，如分母有理化，则解题过程势必烦琐，为此，本文几种特殊方法，供参考
1.活用公式2a= | a | =
由| a－b| = | b－a| , 故当a≤b时，b≥a,
∴b－a ≥0，∴| a－b| = | b－a| = b－a （其中，b－a≥0）
这样，可以避免出现公式中a≤0时，在化去绝对值时漏写负号“－”的错误.
解：∵1< a ＜2 , ∴a >1, 2 >a
∴ a －1 ＞0 , 2－a>0 ,
∴原式= | a －1| + | 2－a|
= ( a －1 ) + ( 2－a ) = 1.
2. 逆用公式2a= a (a≥0)
例2. 设A = 6+2，B =3+5，则A、B中数值较小的是____;
解：由2a= a (a≥0) 可得
A = = ，
B = = =
∴A＜B；
3. 因式分解：
例4. 化简：
解：原式=
=
= = 3－1.
4.构造方程
例5. +
解：设＝x, = y ，
则得：
注意到x＞y＞0 ,
可得：x + y =6，即原式＝6，
5. 先平方再开方：
例6. 化简：+ (1≤a≤2)
解：设原式＝x.
则x2= (a + 2) + 2+ ( a －2) = 2a + 2
∵1≤a≤2 , ∴x2 = 2a + 2(2－a) = 4,
∴x = 2 , 即原式= 2.
6.整体代入
例7. 已知：x = , 求x 5 + 2x 4 －17 x 3－x 2 +18x－17的值解：变换条件，整体代入
由x = , 得x =17,
∴x 2 + 2x = 16 .
∴x5 + 2x4 －17 x3－x2 +18x－17
＝x 3(x2 +2 x )－17 x3－x 2 + 18x －17
= 16x3－17x3－x2 +18x－17
＝－x3－x2 +18x－17
＝－x(x2 + 2x) + x2 + 18x－17
= －16x + x2 +18x－17
= x2+ 2x－17
= 16－17 = －1.
例7. 已知：x = , 求的值；
解：局部化简，整体代入
1+ x 2 = 1 + ( )2 = ,
∴= ,
7. 用“2)1
a－a
(
() 2= 1”代换例8. 化简
解：原式=
=
= =
3+ 2 8. 添项配方
例9. 化简
解：原式=
=
=
= 2＋3－5
9. 倒数方法
例10. 化简：；
解：设原式= a ,
则=
=
=
= +
= +
= +
=
∴原式=
=。