解密 卡片猜数字游戏 二进制码的应用

记集合 ={只在k张表里出现的数}，
A 记 中元k素个数为
，
A A （k k=1，2，3，4，k 5，6）
易知，只出现在k张表里的数的个数
= 从六张表中取k张的不同取法的个数
C A 所以， k =
k 6
6
C C C C C C A k1
＝ 1
k
6
2
6
3 6
4 6
5 6 2 ^ 6 1 63
③只在三张表格上出现的：
（一二三）→22，（一二四）→23，（一二五）→24， （一二六）→25，（一三四）→26，（一三五）→27， （一三六）→28，（一四五）→29，（一四六）→30， （一五六）→31，（二三四）→32，（二三五）→33， （二三六）→34，（二四五）→35，（二四六）→36， （二五六）→37，（三四五）→38，（三四六）→39， （三五六）→40，（四五六）→41，
a a a a a a a 6 5 4 3 2 1 ，其中 i只取0或1
ai=0表示在第i张上不出现， ai=1表示在第i张上出现；(1≤i≤6)
例1：某数只在第四张和第五张表上出现，则有
(四，五) ←→(011000) 2

(011000) = (24) ，那么该数就是24。
2
10
例2：某数只在第三、四、五、六张上出现
张表中出现的数} ，
(j=1，2，3，4，5，6；k=1，2，3，4，5，6)
B 记 k j
的个数为
Bk j
，则
对任何
j
，
Bk j
=从其他5张中取k-1张的不同取法个数=C5k1
故每张表中这6类数的总个数是：
6
B C C C C C C k j
=
0 1 2 3 4 5 32
6
6
即这样就得到：若只用 6 张表格，则可安 排63个不同的数字。这就是6和63的关系。
另外每张表格需要有多少个格子？也 即需要填多少个不同的数字？
我们可以把每张表格上的数分为六类 (因为只有6张表格) ：
共在一张表中出现； 共在两张表中出现；
‥‥‥
共在六张表中出现。
记集合
Bk j
={在第j张表中出现，且共在k
（一）→1， （二）→2， ······，（六）→6；
②只在两张表格上出现的：
（一二）→7， （一三）→8 ， （一四）→9， （一五）→10，（一六）→11，（二三）→12， （二四）→13，（二五）→14，（二六）→15， （三四）→16，（三五）→17，（三六）→18， （四五）→19，（四六）→20，（五六）→21，
下面我们用数学方法更一般地分析其中 的道理。 问：
为什么一共要有6张表？ 为什么每张表都有32个不同的数？ 为什么每张表中最大的数都是63？ 6、32、63这三个数有没有内在联系呢？
首先，在规定用六张表的前提下，我 们考虑可以安排多少个数使它们分别只 出现在其中的一张、两张、‥‥‥、六张？
为了叙述方便，我们引进以下符号。
(三)
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
(五)
2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63
猜数字
大家看到的六张填满数字的表。 你可以任选其中一个数，只要说 出这个数在哪几张表中出现，玩 游戏的人就能立刻猜出它是几。
“1 + 1 = 10”
—浅谈二进制的妙用
例如你选的是20，那么你只要说出 它在第三张和第五张表里，玩游戏的 人就能立刻猜到它是 20。
为什么呢？ 我们可以看到，只同时出现在第三 张和第五张表里的数只有20，所以只 要记住20在哪几张表中出现，就可以 猜出答案了。
则有
（三、四、五、六） ←→ 111100 2 = 60 ，那么该数是60。 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63
(一)
4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63
(二)
8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63
(四)
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
④只在四张表格中出现的：
（一二三四）→42，（一二三五）→43， （一二三六）→44，（一二四五）→45， （一二四六）→46，（一二五六）→47，
（一三四五）→48，（一三四六）→49， （一三五六）→50，（一四五六）→51， （二三四五）→52，（二三四六）→53， （二三五六）→54，（二四五六）→55， （三四五六） →56，
5
5
5
5
5
5
k 1
由上述分析知：
若只用６张表格，则可安排63个 不同数，也即最大的数是63，而每 张表格要填32个不同数字。
现在还有一个问题需要研究：
这6张表格如何去填才能最快地猜 出正确的答案？
显然，填写表格的方式是多种多样的。 例如，可按63个数字的分类方式来填写：
①只在一张表格上出现的：
⑤只在五张表格中出现的：
（一二三四五）→57，（一二三四六）→58， （一二三五六）→59，（一二四五六）→60， （一三四五六）→61，（二三四五六）→62，
⑥六张都出现的： （一二三四五六）→63，
但这样的方法不容易记忆。
为了便于记忆和提高速度，我们要借 助于二进制数的方法。
任何一个数X(1≤X≤63)在6张ai 表上出现 的状况都一一对应于一个二进制的6位 数：
(六)
由此可知，只要说出你所取的数在 6 张表上的分布情况，按上述方法就 可以立刻得到正确答案。 现在，大家自然就知道填表方法了。
这就是巧猜数字的全部秘密。
说明： 这是一个古典的数学游戏。
在这个游戏中二进制体现了“优化” 这一极其重要的数学思想。
如果大家把表格中的数字看作人 的年龄的话，就可以玩巧猜年龄的 游戏。一般而言，当选用七张表格 时，就可以猜出任何人的年龄了。