高中-圆的有关概念和性质

高中数学-圆

第一节圆的有关概念和性质

一【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

(1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半

径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．

ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；

正四、八边形的特殊画法）

（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等

于正n边形内角的一半，∠BOP=

n

n

180

2

360 ，BP等于正多边形的边长的一半。

一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：用“换元法”解方程、解方程中的‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）

方法技巧：

1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所

对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的

垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

二【课堂练习】

1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）

A．60○B．45○ C．30○D．15○

2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用________次，

就可找到圆形工件的圆心．

3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A．180° B．15 0° C．135° D．120°

4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等

于（） A．40○ B．50○ C．65○D．130○

5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，

深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦

AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）

A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸

6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）

A．50° B．80° C．100° D．130°

第10题

第11题 第12题

A

B

C

O

E

F

D

7.如图，在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60○

，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.

8⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8，求 AB 与CD 之间的距离．

9如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上， AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。 (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。

10．如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 交于D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C =

25°，求∠A 的度数。

11.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，，86 AE AB 4 ED ，求CD 的长。

12.如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙

O 与点E ，连接BE 、CE 与AC 交于点F 。

（1）求证：△ABE ≌△CDE ； （2）若AE =6，DE =9，求EF 的长。

13.填写下表：

边数

内角

中心角

半径

边长

边心距

周长

面积

第4题 第5题 第6题 第7题