高中-圆的有关概念和性质

高中数学-圆
第一节圆的有关概念和性质
一【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半
径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．
ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．
3.正多边形和圆
（1）通过等分圆画正多边形。

（等分圆心角；懂得正三、六；
正四、八边形的特殊画法）
（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等
于正n边形内角的一半，∠BOP=
n
n
180
2
360 ，BP等于正多边形的边长的一半。

一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。

（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：用“换元法”解方程、解方程中的‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）
方法技巧：
1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。

如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所
对的圆周角相等或互补。

圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的
垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

二【课堂练习】
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）
A．60○B．45○ C．30○D．15○
2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用________次，
就可找到圆形工件的圆心．
3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等
于（） A．40○ B．50○ C．65○D．130○
5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦
AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）
A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
第10题
第11题 第12题
A
B
C
O
E
F
D
7.如图，在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60○
，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.
8⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8，求 AB 与CD 之间的距离．
9如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上， AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10。

(1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。

10．如图，AB 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 交于D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C =
25°，求∠A 的度数。

11.如图，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，，，86 AE AB 4 ED ，求CD 的长。

12.如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝AC ，连接AD 交⊙
O 与点E ，连接BE 、CE 与AC 交于点F 。

（1）求证：△ABE ≌△CDE ； （2）若AE =6，DE =9，求EF 的长。

13.填写下表：
边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
第4题 第5题 第6题 第7题
图2 图3 图4
A
C
B
D
O
B
A
C
D
O
图1 n a a n R n a n r n P n S n 3 3 4 16 6
2 3
三：【课后训练】
1.如图2，O e 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O e 的半径长为（ ） A ．3cm B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
2如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B °，60C °，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF 等于（ ） Ａ．40°
Ｂ．55°
Ｃ．65°
Ｄ．70°
3如图1，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，
AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。

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4已知，如图2：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝450。

给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧 AE 是劣弧
DE 的2倍；
⑤AE ＝BC 。

其中正确结论的序号是 。

5如图3，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。

6如图4，已知AB 是O e 的直径，弦CD AB ，22AC ，1BC ，那么sin ABD 的值
是 ．
22
3
7.如图，在⊙O 中，弦AB=1．8。

m ，圆周角∠ACB=30○
，则 ⊙O 的直径等于_________cm ． 8.如图，⊙O 内接四边形ABCD 中，AB=CD ，则图中和∠1相等的角有______
9．如4，B 是线段AC 上的一点，且5:2: AC AB ，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为 ；
_ C
_ B
_ A
D
O A
F C
E
O
B A
图2
O
10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半
圆环形（ ）
11. 如图①，△ABC 内接于⊙0，且∠ABC ＝∠C ，点D 在弧BC
上运动．过点D 作DE∥BC．DE 交直线AB 于点E ，连结BD ． (1)求证：∠ADB=∠E ； (2)求证：AD 2
=AC·AE； (3)当点D 运动到什么位置时， △DBE∽△ADE 请你利用图② 进行探索和证明
图②
A
图①
O
D
C
B
A。