指数函数与对数函数公开课教案
数学指数函数与对数函数的应用教案
数学指数函数与对数函数的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解指数函数和对数函数的定义和性质；2. 掌握指数函数和对数函数的运算法则；3. 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
二、教学重点1. 指数函数和对数函数的定义和性质；2. 指数函数和对数函数的运算法则；3. 指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
三、教学内容及安排1. 指数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入指数函数的概念；2. 引导学生思考指数函数的定义和性质。
2. 指数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍指数函数的定义和符号表示；2. 讲解指数函数的性质，如指数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解指数函数的特点。
3. 指数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍指数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行指数函数的简化和计算。
4. 对数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入对数函数的概念；2. 引导学生思考对数函数的定义和性质。
5. 对数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍对数函数的定义和符号表示；2. 讲解对数函数的性质，如对数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解对数函数的特点。
6. 对数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍对数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行对数函数的简化和计算。
7. 指数函数和对数函数的应用（20分钟）1. 介绍指数函数在复利计算、人口增长等领域的应用；2. 介绍对数函数在测量震级、pH值等领域的应用；3. 给出一些实际问题，让学生通过应用指数函数和对数函数进行求解。
8. 拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考其他领域中指数函数和对数函数的应用；2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识。
四、教学方法1. 示范法：通过举例和演算，引导学生理解和掌握指数函数和对数函数的定义、性质和运算法则。
数学指数函数与对数函数的运算教案
数学指数函数与对数函数的运算教案本教案的目标是帮助学生理解并掌握数学指数函数和对数函数的运算规则。
通过本教案的学习，学生将能够正确地进行指数函数和对数函数之间的运算，提高数学运算的能力。
以下是本教案的教学内容：一、引言在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念和工具。
指数函数描述了指数增长的数学规律，而对数函数则是指数函数的逆运算。
理解和掌握指数函数和对数函数的运算规则对于解决实际问题和进一步深入学习数学都非常重要。
二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义：指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数，x为自变量。
2. 对数函数的定义：对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数，x为正实数。
三、指数函数与对数函数的基本性质1. 指数函数的性质：- a^0 = 1，任何实数的零次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，指数之间的乘法等于底数不变的加法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
- a^(-n) = 1/(a^n)，负指数等于倒数。
2. 对数函数的性质：- logₐ1 = 0，任何底数为正实数的对数1等于0。
- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
- logₐ(a^n) = n*logₐa，对数的乘方等于指数乘以对数底数。
- logₐ(1/a) = -logₐa，底数的倒数的对数等于对数的相反数。
四、指数函数与对数函数的运算规则1. 指数函数的运算规则：- a^m * a^n = a^(m+n)，指数相加等于底数不变的乘法。
- (a^m)/(a^n) = a^(m-n)，指数相减等于底数不变的除法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
2. 对数函数的运算规则：- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
指数、对数函数的应用(教案)
数学基础模块上册
4.3 指数、对数函数的应用
【教学目标】
1. 能够运用指数函数、对数函数知识解决某些简单的实际应用问题．
2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了指数函数、对数函数知识的应用价值．
3. 通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想，提高学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
通过指数、对数函数的应用，培养学生分析、解决问题的能力和运用数学的意识．
【教学难点】
根据实际问题建立相应的指数函数和对数函数模型．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组合作的教学方法．在教学过程中，从学生身边的实例开始，引起学生的兴趣，体会所学知识的应用和重要性，提高学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力．通过本节内容让学生体会指数函数与对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是今后进一步学习的基础．教师应当结合学生的专业特点，增设有关例题，突出数学为专业课服务的教学理念．
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第四章指数函数与对数函数
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数学基础模块上册
113。
指数函数与对数函数的关系》教案
指数函数与对数函数的关系》教案x与指数函数y＝ax互为反函数的概念是什么？如何表示它们的反函数？探究点三互为反函数的图象间的关系问题1互为反函数的图象关于直线y＝x对称，这意味着什么？问题2互为反函数的图象同增同减，这是为什么？如何证明？探究点四指数函数与对数函数的增长速度问题1当a>1时，指数函数y＝ax在区间[1，＋∞)内的增长速度如何？为什么？问题2当a>1时，对数函数y＝logax在区间[1，＋∞)内的增长速度如何？为什么？课堂小结】通过本节课的研究，我们了解了反函数的概念及互为反函数图象间的关系，掌握了对数函数与指数函数互为反函数的概念和图象间的关系，理解了互为反函数的图象关于直线y＝x对称、同增同减的特点，以及指数函数与对数函数在增长速度上的差异.X ___。
how is the concept of inverse ns defined?n 3: How to find the inverse n of y=5x (x∈R)?Example 1: Write the inverse ns of the following ns:1) y=lg x。
(2) y=logx。
(3) y=(2/3)x.Practice 1: Find the inverse ___: (1) y=3x-1.(2) y=x^3+1(x∈R)。
(3) y=x+1 (x≥0)。
(4) y=(2x+3)/(x-1) (x∈R。
x≠1).Example 2: Given that the graph of n f(x)=ax-k passes through point (1,3)。
and the graph of its inverse n y=f1(x) passes through point (2,0)。
then the n of f(x) is _____________.Practice 2: The graph of the inverse n of y=loga(x-1) (a>0 and a≠1) passes through point (1,4)。
认识指数函数与对数函数教案
认识指数函数与对数函数教案第一部分：介绍指数函数与对数函数的基本概念指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型，它们在许多自然科学和社会科学中都有广泛的应用。
为了让学生对指数函数和对数函数有更深入的理解，我们需要先介绍它们的基本概念。
1.1 指数函数的定义与性质指数函数是以指数形式定义的函数。
其中，指数是一个常数，底数是一个大于0且不等于1的实数。
指数函数具有以下性质：- 底数为正数时，指数函数是一个递增函数；- 底数为负数时，指数函数是一个递减函数；- 连续函数，定义域为实数集。
1.2 对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数与自变量的关系逆转。
对数函数的底数大于0且不等于1，其性质包括：- 对于同一个底数，底数越大，对数值越小；- 对数函数的反函数是指数函数；- 连续函数，定义域为正实数集。
第二部分：教学目标与教学策略在教学指数函数与对数函数时，我们需要明确教学目标并采取合适的教学策略来提高学生的兴趣和理解。
2.1 教学目标- 了解指数函数和对数函数的基本定义与性质；- 掌握指数函数与对数函数之间的关系；- 能够灵活运用指数函数和对数函数进行数学运算与问题解决；- 培养学生对指数函数和对数函数的应用意识。
2.2 教学策略- 基于案例的教学方法：通过介绍实际应用案例，引发学生对指数函数和对数函数的关注，理解其重要性。
- 梯度式教学：由简单到复杂、由具体到抽象的教学顺序，帮助学生逐渐理解和掌握指数函数和对数函数的概念。
- 讨论与合作学习：通过课堂讨论和小组合作学习，鼓励学生互相交流、分享思考，提高彼此的理解能力。
第三部分：课堂教学内容与活动设计为了提高学生的学习兴趣和参与度，我们需要设计一些互动活动，促进他们对指数函数和对数函数的理解与运用。
3.1 指数函数的引入通过一个实例，引导学生分析一个实际问题，如人口增长问题，并引出指数函数的概念。
学生可以使用指数函数来模拟描述人口的增长趋势。
指数函数和对数函数的教案
【课题】4．2指数函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解指数函数的图像及性质；
⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．
能力目标：
⑴会画出指数函数的简图；
⑵会判断指数函数的单调性；
⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．【教学重点】
⑴指数函数的概念、图像和性质；
⑵指数函数的应用实例．
【教学难点】
指数函数的应用实例．
【教学设计】
⑴以实例引入知识，提升学生的求知欲；
⑵“描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；
⑶知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；
⑷实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力；
⑸以小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
像，如上图所示．
观察函数图像发现：
．函数2x y =和y =1
()2x 的图像都在x 轴的上方，向上无
限伸展，向下无限接近于x 轴；
．函数图像都经过（0，1）点；
函数y =x
2的图像自左至右呈上升趋势；图像自左至右呈下降趋势． 利用软件可以作出a 取不同值时的指数函数的图像．明确新知 一般地，指数函数x
y a =(0a a >且函数的定义域是(),-∞+∞．值域为函数图像经过点(0,1)，即当0x =时，函数值当>1a 时，函数在(),-∞+∞内是增函数；当(),-∞+∞内是减函数． 典型例题
判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性：。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
教学设计4：3.2.3 指数函数与对数函数的关系
3.2.3 指数函数与对数函数的关系【课前掌握】1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f －1(x) 表示.2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称.3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢.例1 写出下列函数的反函数:(1)y ＝lg x; (2)y ＝log 13x; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R).(2)y ＝log 13x (x>0)的底数为13,它的反函数为指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈R). (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 23x (x>0). 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0);(4)y ＝2x ＋3x －1 (x ∈R,x≠1). 解：(1)由y ＝3x －1,得x ＝13(y ＋1), 即所求反函数为y ＝13(x ＋1); (2)函数y ＝x 3＋1的值域为R, x 3＝y －1,x ＝3y －1, 所以反函数为y ＝3x －1 (x ∈R);(3)函数y ＝x ＋1 (x≥0)的值域为y≥1, 由x ＝y －1,得x ＝(y －1)2, 所以反函数为y ＝(x －1)2 (x≥1).(4)因y ＝2x ＋3x －1＝2x －2＋5x －1＝2＋5x －1, 所以y≠2,由5x －1＝y －2, 得x ＝1＋5y －2＝y ＋3y －2, 所以反函数为y ＝x ＋3x －2(x≠2). 例2 已知函数f(x)＝a x －k 的图象过点(1,3),其反函数y ＝f －1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______f(x)＝2x ＋1_________.解析： ∵y ＝f －1(x)的图象过点(2,0), ∴y ＝f(x)的图象过点(0,2). ∴2＝a 0－k,∴k ＝－1.∴f(x)＝a x ＋1.又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1, ∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y＝f－1(x)的图象上.跟踪训练2函数y＝log a(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值.解:根据反函数的概念,知函数y＝log a(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝log a3,∴a＝3.当堂检测1.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C.16D.-6解析:∵由已知,得lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg16,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg16,∴x1x2=16.答案:C2.若x·log32 014=1,则2 014x+2 014-x等于()A.83B.163C.6D.103解析:∵x·log32 014=1,∴x=log2 0143,∴2 014x=2 014log20143=3.2 014-x=2 014-log20143=13.∴原式=3+13=103.故选D.答案:D3.已知log32=a,则2log36+log30.5=.解析:原式=2log3(2×3)+log312=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.答案:a+24.log 56·log 67·log 78·log 89·log 910= .解析:原式=lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9=lg10lg5=1lg5.答案:1lg55.某地发生里氏8.0级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关,震级M=23lg E -3.2,其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹爆炸时释放的能量,那么该次大地震所释放的能量相当于 颗原子弹爆炸时释放的能量.解析:设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2,E 1,则8-6=23(lg E 2-lg E 1),即lg E 2E 1=3.所以E2E 1=103=1 000, 即该次大地震所释放的能量相当于1 000颗原子弹爆炸时释放的能量.答案:1 0006.计算:log 28+lg 11 000+ln √e 23+21-12log 23+(lg 5)2+lg 2lg 50. 解:原式=3-3+23+2÷212log 23+(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=23+2√33+(lg 5)2+(1-lg 5)(1+lg 5) =53+2√33. 7.已知x,y,z 为正数,3x =4y =6z ,2x=py.(1)求p;(2)证明:1z −1x =12y .(1)解:设3x =4y =6z =k(显然k>0,且k≠1),则x=log 3k,y=log 4k,z=log 6k,∵2x=py,∴2log 3k=p log 4k=p log 3klog 34. 又∵log 3k≠0,∴p=2log 34.(2)证明:∵1z −1x =1log 6k −1log 3k =log k 6-log k 3=log k 63=log k 2=12log k 4=12y .∴1z −1x =12y 成立.8.设a>0,a≠1,x,y 满足log a x+3log x a -log x y=3,用log a x 表示log a y,并求出当x 为何值时,log a y 取得最小值.解:∵由换底公式,得log a x+3·1log a x −log a ylog a x =3,整理得(log a x)2+3-log a y=3log a x,∴log a y=(log a x)2-3log a x+3=(log a x -32)2+34. ∴当log a x=32,即x=a 32时,log a y 取最小值34.。
数学指数函数与对数函数教案
数学指数函数与对数函数教案教案内容：一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解指数函数与对数函数的基本概念；2. 掌握指数函数与对数函数的图像性质；3. 熟练运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题。
二、教学重点1. 指数函数与对数函数的定义与性质；2. 指数函数与对数函数的图像；3. 指数函数与对数函数在实际问题中的应用。
三、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是指具有形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
在教学中，我们着重讲解指数函数的定义与性质，包括：1.1 指数函数的定义：y=a^x；1.2 指数函数的图像特点：与a、x的取值相关；1.3 指数函数的性质：a）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；b）同底数幂相除，底数不变，指数相减；c）指数为0的幂等于1；d）若指数为正，函数单调递增；若指数为负，函数单调递减。
2. 对数函数的定义与性质对数函数是指具有形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。
在教学中，我们重点介绍对数函数的定义与性质，包括：2.1 对数函数的定义：y=loga(x)；2.2 对数函数的图像特点：与a、x的取值相关；2.3 对数函数的性质：a）对数的底数不为0、不为1；b）对数与指数是互反运算；c）对数函数的增长特点：当x增大时，对数值增大；当x减小时，对数值减小；d）对数函数在坐标系中的对称性。
3. 指数函数与对数函数的图像通过绘制指数函数和对数函数的图像，让学生对其形态和性质进行直观感受。
3.1 指数函数的图像特点：a）当0<a<1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递减；b）当a>1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递增。
3.2 对数函数的图像特点：a）对数函数的图像都经过点(1, 0)；b）当0<a<1时，函数图像在y轴的正半轴上递减；c）当a>1时，函数图像在y轴的正半轴上递增。
4. 指数函数与对数函数的应用通过实际问题的讲解，让学生认识指数函数和对数函数在各个领域的应用。
中职数学第四章《指数函数与对数函数》全部教学设计教案（高教版）
【课题】4.1实数指数慕(1)【教学目标】知识目标:(1)复习整数指数蓦的知识；(2)了解〃次根式的概念；(3)理解分数指数慕的定义.能力目标：(1)掌握根式与分数指数幕之间的转化；(2)会利用计算器求根式和分数指数幕的值；(3)培养计算工具使用技能.【教学重点】分数指数蓦的定义.【教学难点】根式和分数指数蓦的互化.【教学设计】(1)通过复习二次根式而拓展到〃次根式，为分数指数幕的介绍做好知识铺垫;(2)复习整数指数慕知识以做好衔接；(3)利用课件介绍分数指数幕的概念，字母动感闪耀强化位置关系；⑷加大学生动手计算的练习，巩固知识；⑸小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题4.1实数指数幕*创设情景兴趣导入介绍了解教学过程教师行为学生行为教学意图时间问题相关如果x2=9,则x=_______；x叫做9的________；如果_?=3,则x=_______；x叫做3的________；质疑思考简单的问如果X3=8,则尤二；x叫做8的；引导分析汇总题入如果X3=-8，则户；X叫做-8的解决手使解决如果x2=a,那么x=土山叫做a的平方根(二次方根)，其中yfa叫做a的算术平方根；如果*3=a,那么x=^i叫做a 明确学生自然进入知识的立方根(三次方根).点10 *动脑思考探索新知概念一般地，如果x"=a(〃cN+且">1),那么x叫做a的"次方根.说明总结归纳理解说明方根两种情况的要求特(1)当"为偶数时，正数。
的〃次方根有两个，分别表示为-阪和榻，其中％■叫做a的"次算数根；零的〃次方根是仔细领会零；负数的〃次方根没有意义.分析点例如，81的4次方根有两个，它们分别是3和-3,其中3叫讲解记忆做81的4次算术根，即扼1=3.关键强调(2)当〃为奇数时，实数a的"次方根只有一个，记作词语根式例如，-32的5次方根仅有一个是-2,即^32=-2.概念形如V，(n e N+<n>1)的式子叫做a的〃次根式，其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.说明明确的正确写法20*运用知识强化练习1.读出下列各根式，并计算出结果：_(1)扼7；(2)V25；(3)娘；(4)佰.及时教学教师学生教学时过程行为行为意图间2.填空：提问思考了解(1)25的3次方根可以表示为，其中根指数学生为，被开方数为；知识(2)12的4次算术根可以表示为________,其中根指数巡视动手掌握为，被开方数为；求解情况(3)-7的5次方根可以表示为，其中根指数为_______,被开方数为_______;指导交流出现(4)8的平方根可以表示为_____________,其中根指数的问为，被开方数为题明确强调30 *自我探索使用工具计算准备计算器.质疑小组器的观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成讨论使用计算器计算根式的方法.巡视方法计算下列各题(精确到0.0001)：探究教给(1)妙2；(2)切0.3564；汇总学生(3)瘀；(4)^273.自我研究45 *知识回顾复习导入引导问题学生计算：解决23=_______；3-之二_______；(")=_______;质疑整数指数求解=；似=幕问题并解决总结顺利整数指数慕，当住N*时，a"=_______；引导理解过渡教学教师学生教学时过程行为行为意图间并且规定当时，；a~n=・分数探究分析思考指数551说明将整数指数幕的概念进行推广：42=.*动脑思考探索新知概念分数m总结理解指数规定：a"=何，其中m、”cN+且”>1.当n为奇归纳幕的数时，4Z g R；当〃为偶数时，a...O.定义m领会式重当时有意义，且qu O,n g N+_@.n>1时，规定：强调点要—竺1 a 〃=.——^a m 关键字母记忆明确字母这样就将整数指数幕推广到有理数指数幕.位置60 *巩固知识典型例题例1将下列各分数指数幕写成根式的形式：通过43_3 (1)/；(2)；(3)a°.说明观察例题进一分析要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系，按照规分析思考步明定，先正确找出公式中的秫与"，再进行形式的转化.确分4解(1)〃=7,m=4,故打=确^；引领主动数指数幕3(2)〃=5,m=3f故〃=；求解的定--](3)〃=2,m=3f故"2=———.妒义式讲解例2将下列各根式写成分数指数慕的形式：领会注意(1)疽；(2)斯;(3)-^=.观察质疑学生分析要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规是否定逆向进行形式的转化.引领思考掌握教 学教师学生教学时过程行为行为意图间2解(1) 〃 = 3, m = 2,故=波；知识点4(2) 〃 = 3, m=4 ,故；] --(3) n = 5 f m = 3 ,故 = a 5 .讲解理解可以交给说明：将根式写成分数指数藉的形式或将分数指数慕写成归纳明确学生根式的形式时，要注意规定中的m 、n 的对应位置关系，分数强调记忆自我指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数.思结70*运用知识强化练习教材练习4.1.1及时1.将下列各根式写成分数指数幕的形式：提问动手指导⑴眄； （2）日; ⑶刍；（4）M?.求解学生V4扃巡视练习2.将下列各分数指数幕写成根式的形式：3 3 2 3加深⑴4 5 ； (2) 32； (3) (-8) 5 ；⑷ 1.24.答疑交流理解指导75*自我探索 使用工具准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明继续书，小组完成利用计算器计算分数指数幕的方法.质疑小组引导利用计算器求下列各式的值（精确到0. 0001）：讨论学生3 _4 1自我(1) 34• (2) 5 5-(3) 一巡视探究探索练习教材4.1.1计算3.利用计算器求下列各式的值（精确到0. 0001）：汇总交流器的_2 2 1(1)2 3 ；(2)35； (3)^=.使用80*归纳小结强化思想培养本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆学生教学过程教师行为学生行为教学意图时间*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？提问反思交流总结反思学习过程能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节4.1；(2)书面作业：学习与训练4.1；(3)实践调查：了解计算器的其他计算使用方法.说明记录90【课题】4.1实数指数幕(2)【教学目标】知识目标:(1)掌握实数指数蓦的运算法则；(2)通过几个常见的慕函数，了解慕函数的图像特点.能力目标：(1)正确进行实数指数蓦的运算；(2)培养学生的计算技能；(3)通过对蓦函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.【教学重点】有理数指数蓦的运算.【教学难点】有理数指数蓦的运算.【教学设计】(1)在复习整数指数慕的运算中，学习实数指数幕的运算；(2)通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；(3)通过"描点法”作图认识慕函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律;⑷通过知识应用巩固有理数指数幕的概念.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题4.1实数指数幕.*回顾知识复习导入知识点整数指数幕，当时，a n=_______；介绍了解复习已有教学教师学生教学时过程行为行为意图间规定当时，a Q=；a~n=；质疑思考知识m m点做分数指数蓦：a n=；时，a n=.好新知识其中秫、〃eN*且〃>1.当〃为奇数时，qg R；当〃为回忆偶数时，a...O.建构问题基础1.将下列各根式写成分数指数蓦：提问求解八、33、2了解(1)J—;(2).——.V20斯巡视学生2.将下列各分数指数慕写成根式：指数_22(1)654；(2)(2.3)3.交流运算扩展解答掌握，卜主汩整数指数蓦的运算法则为：(1)a m-a n=；引导思考回顾⑵时)"=;整数(3)(沥)"=_____________.其中(m、〃£Z).领会指数幕为后续归纳说明做好运算法则同样适用于有理数指数幕的情况.了解准备10 *动脑思考探索新知概念思考当P、0为有理数时，有总结自然a p-a q=a p+q；^a pq；(ab)P=a p-b p.归纳理解过渡运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幕都有意到实义.记忆数指说明可以证明，当〃、g为实数时，上述指数幕运算法则也成说明领会数慕立.15教学教师学生教学过程行为行为意图时 间*巩固知识典型例题例4计算下列各式的值:(1)0.1253 ；（°）哺通过说明观察例题分析（1）题中的底为小数,需要首先将其化为分数，有利于进一运算法则的利用；（2）题中,首先要把根式化成分数指数藉,分析思考步使然后再进行化简与计算.解⑴1 ! 1 _ .0.1253 =(-)3 =(2-3)3 =21 -3x-\ 3 = 2一12强调主动求解(2)_ L 1 也 X 抠 32 X (3x2)32 1132 x33 x23说明（2）学生理解指数幕的如扳（32）"11211 11= 32+3-3 x2r 3 =36x2°=36 .题中，将9写成32,将6写成2x3,使得式子中只出现两种底，方便于化简及运算.这种尽可能将底的化同的做法，体现了数学中非常重要的“化同”思想.例5化简下列各式:⑴(2如3 )4⑵o' -b^\7\ 7(3)引领讲解质疑运算法则领会了解观察引导学生体会化同的的数学思想分析化简要依据运算的顺序进行，一般为“先括号内，再括号外；先乘方，再乘除，最后加减”，也可以利用乘法公式./ \4叙 2如3 24产处 I6a%2 16 16_ _2 16 io io"p 厂而k 屯广矿 *1x2 1x2a 2 -b 2 =a-b .(1 \\( 1 1、(1、2(1、2-b^=-=\ 7\ 7< 7分析强调注意思考主动求解观察学生是否理解知识点教学过程教师行为学生行为教学意图时间____£23翥％2+源+萨=(口-3^2.泊j_Lil_2Z Z2=(a~3y(b2y+q S4-^5-a5^54-^54-^532231=a~^^=o-必3.说明作为运算的结果，一般不能同时含有根号和分数指数慕.(3)题的结果也可以写成一二，但是不能写成；，本章a品近中一般不要求将结果中的分数指数慕化为根式.讲解强调领会了解可以适当交给学生自我探究30*运用知识强化练习教材练习4.1.21.计算下列各式：21_25(1)a^x^9x^27；(2)(2§45)3(2「亏4§)4.2.化简下列各式；12<21y<_1V (1)疽.q5.q2.q0；(2)•2a；k7k7 (3).\/a+.V a 提问巡视指导动手求解交流及时了解学生知识掌握情况45*知识回顾复习导入问题观察函数y=x、y=J、y=l,回忆三个函数的图像和X相关性质.探究由于y=x=X l,y=-=x~',故这三个函数都可以写成Xy=x a(acR)的形式.质疑引导分析思考体会引导学生用所学的知识进行判断50*动脑思考探索新知概念特别教学教师学生教学时过程行为行为意图间一般地，形如y=x。
对数函数市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案模板
对数函数教案模板一、教学目标1. 了解对数函数的基本概念和性质；2. 掌握对数函数的图像、定义域、值域等基本特征；3. 理解对数函数与指数函数的关系；4. 能够灵活运用对数函数解决实际问题。
二、教学内容1. 对数函数的定义及性质；2. 对数函数的图像特征及平移性质；3. 对数函数的定义域、值域及特殊性质；4. 对数函数与指数函数的关系；5. 对数函数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 对数函数的定义及性质的掌握；2. 对数函数的图像特征及平移性质的理解；3. 对数函数与指数函数的关系的理解。
四、教学方法1. 通过直观的图像展示，帮助学生理解对数函数的定义及性质；2. 利用实例和问题引导学生思考对数函数的图像特征及平移性质；3. 通过对数函数与指数函数的对比分析，帮助学生理解二者之间的关系；4. 运用实际问题引导学生应用对数函数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入环节引入对数函数的概念，并通过实例引发学生对对数函数的学习兴趣。
2. 知识讲解（1）对数函数的定义及性质通过清晰的语言讲解对数函数的定义及性质，包括对数函数的自变量和因变量的关系以及对数函数的单调性、奇偶性、周期性等特点。
（2）对数函数的图像特征及平移性质通过绘制对数函数的图像，展示对数函数的图像特征，引导学生观察图像的变化规律，并探究对数函数的平移性质。
（3）对数函数的定义域、值域及特殊性质讲解对数函数的定义域和值域，并探究特殊情况下的对数函数性质，如零基准、无穷基准等。
（4）对数函数与指数函数的关系通过对数函数与指数函数的对比分析，说明对数函数与指数函数在求解过程中的相互转化关系，帮助学生深化对两者关系的理解。
3. 实例演练通过展示一些实际问题，引导学生运用对数函数解决实际问题，并进行实例演练，提高学生的运用能力。
4. 拓展应用引导学生进一步思考对数函数在其他学科中的应用，并展示一些拓展应用的实例，提高学生的综合应用能力。
六、教学评价1. 课堂练习布置一些课堂练习题，检查学生对对数函数的掌握情况。
《指数函数与对数函数的关系》示范公开课教学设计
《指数函数与对数函数的关系》教学设计（1）了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系，提升学生的数学抽象素养.（2）利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题，提升学生的数学抽象、数学运算素养．教学重点：知道对数函数与指数函数 互为反函数（a ＞0，且a ≠1） 教学难点：1.理解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数.2.掌握互为反函数的函数图像间的关系及其性质PPT 课件．一、整体概览问题1：阅读课本第20-23页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：按照课标的要求，教材利用本小节探讨了指数函数与对数函数的关系，并通过这一内容解释了反函数的概念.值得注意的是在课程标准中，对反函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担.设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.log a y x =xy a =◆教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆教学过程从前面的知识中可以看出，指数函数与对数函数之间有非常密切的联系. 例如，当a ＞0且a ≠1时，有 y ＝a x ⇔x ＝log a y 二、问题导入问题2：（1）请根据之前学习的知识填写指数函数与对数函数的性质：.（2）填完表格后请同学们总结归纳指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的定义域和值域有什么特点？为什么会有这种特点？师生活动：学生尝试自己得出问题的结果．并思考结果的规律. 预设的答案：（1）指数函数与对数函数的性质可列表如下.（2）可以看出，指数函数 y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 中，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同.这是因为在上述两个函数中，通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得到另一个函数.设计意图：通过学生自主研究指数函数 xa y =与对数函数x y a log =的性质对比，引导学生自主说出它们性质之间的联系.唤醒学生由已有的知识解决未知的问题，激发学生的兴趣.引语：由指数函数x a y =与对数函数x y a log =的性质对比，可得到另外一种函数，这就是今天我们研究的反函数（板书：指数函数与对数函数的关系）【新知探究】此图片是动画缩略图，本资源为《互为反函数的两个函数图象间的关系》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率，本资源适用于互为反函数的两个函数图象间的关系的教学，供教师备课和授课使用.若需使用，请插入动画【数学探究】互为反函数的两个函数图象间的关系1． 一般地，如果在函数y =f （x ）中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y =f （x ）的反函数.此时，称y =f （x ）存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用x 表示，因变量仍用y 表示，则函数y =f （x ）的反函数的表达式，可以通过对调y =f （x ）中的x 与y ，然后从x =f （y ）中求出y 得到. 问题3： 你能求出xy 2 的反函数吗？师生活动：学生根据反函数的定义自行求解，教师给出求解过程.预设的答案：y =2x 是增函数，因此任意给定一个y 值，只有唯一的x 与之对应，所以y =2x 存在反函数，对调y =2x 中的x 和y 得x =2y ，解得y ＝log 2x 因此y ＝log 2x 是y =2x 的反函数.追问：之前我们学过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数.请问这些函数都有反函数吗？为什么？师生活动：学生根据反函数的定义自己或小组探讨，得出结论，教师给出求解过程. 预设的答案：一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数都有反函数，因为它们都是单调函数，满足反函数定义中的一一对应；二次函数没有反函数，因为二次函数在定义域内不是单调函数，不满足一一对应，而且一般的偶函数都没有反函数设计意图：通过实际例子求反函数，让学生充分理解反函数的定义和求法，通过追问的设置，让学生更加充分的理解反函数的定义.问题4：你能否写出求解反函数的步骤吗？师生活动：学生充分思考后，写出并由老师给出答案.预设的答案：（1）对调)(x f y =中的x 和y ，得到)(y f x =； （2）从)(y f x =中解出y ，得到)(1x f y -=；（3）检查是否需要补充)(1x f-的定义域等.设计意图：通过学生对反函数步骤的描述，更加巩固求反函数的方法.问题5：请同学们在同一坐标系中画出xy 2=和x y 2log =的图像，并观察两个函数图像的对称关系？你能得到什么结论？师生活动：学生画出两个函数的图像并写出所得对称关系后，写出并由老师给出答案. （4）预设的答案：不难看出，它们的图像关于直线y =x 对称. 一般地，函数()y f x =的反函数记作()1y fx -=.值得注意的是，()y f x =的定义域与()1y f x -=的值域相同，()y f x =的值域与()1y f x -=的定义域相同()y f x =与()1y f x -=的图像关于直线y =x 对称.设计意图：通过学生对反函数步骤的描述，更加巩固求反函数的方法.【巩固练习】例 1 分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；如果存在，写出反函数. （1）（2）师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： 解：（1）因为()0f x =时，1x =或2x =，即对应的x 不唯一，因此()y f x =的反函数不存在．（2）因为对()g x 的值域{1,0,1,2,5}--中的任意一个值，都只有唯一的x 与之对应，因此()g x 的反函数1()g x -存在，表示如下：设计意图：帮助学生巩固反函数的求法和反函数的性质.在讲解过程中，要不时地回到反函数的定义上去，帮助学生理解反函数的概念，以此培养学生的逆向思维和数学抽象的素养.例2.判断()f x =2x +2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数()1fx -的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出()f x 与()1f x -的函数图像.师生活动：学生分析解题思路，利用公式求解，给出答案．预设的答案：解： 因为()22f x x =+是增函数，因此对值域中的任意一个值，都只有唯一的x 与之对应，因此()f x 存在反函数．令22y x =+，对调其中的x 和y ，得到22x y =+.f (x )=2x+2()f x 与()1f x -的函数图像如下图所示.设计意图：帮助学生巩固反函数的求法和反函数的性质.在讲解过程中，要不时地回到反函数的定义上去，帮助学生理解反函数的概念，以此培养学生的逆向思维和数学抽象的素养.练习：求函数132)(-+=x x x f 的值域. 师生活动：教师提醒用到反函数的知识，学生自主解答，教师总结给出答案. 预设的答案：可得)(x f 的反函数为,23)(1-+=-x x x f由于反函数的定义域为}2|{≠x x ，因此可得)(x f 的值域为),2()2,(+∞-∞ .练习：教科书第32页习题4-3AA 1，2，3,4,5题．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．【课堂小结】1．板书设计：4.3指数函数与对数函数的关系1．反函数的概念 例12．指数函数与对数函数的关系 例2 3．反函数的性质 例3 练习与作业：教科书第32页习题4-3B 1，2,3,4题；教科书第第32页习题4-3C 1题．2．总结概括：问题：（1）反函数的概念是什么？（2）互为反函数的两个函数之间有什么联系？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）一般地，如果在函数()y f x =中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为()1y f x -=的反函数.；（2）①.()y f x =的定义域与1()y f x -=的值域相同；②. ()y f x =的值域与1()y fx -=的定义域相同；③. ()y f x =是增（减）函数，则1()y f x -=也是增（减）函数；④. ()y f x =与1()y fx -=的图像关于直线y x =对称.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确反函数的有关知识． 布置作业：教科书第33页习题B 5-6题．教科书第33页习题C 2题．【目标检测】1.设21()43x f x x +=+，则1(2)f -=_________； 设计意图：考查学生对反函数的应用．2已知函数)(x f y =的反函数1()1(0)f x x -=≥，那么函数)(x f y =的定义域是 .设计意图：使学生再次经历从具体到一般的抽象过程，并借助于图像，直观感受互为反函数的两个函数之间的联系，在解决问题的过程中能够灵活运用这种联系，提升学生对知识的认知能力.3．若函数()y f x =是函数x y a =（0a >，且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ） A. 2log x B.12xC. 12log xD. 22x -设计意图：考查学生对反函数的应用． 参考答案：1．1(2)f-即为()2f x =时x 的值，令21243x x +=+，解得56x =-，所以15(2)6f-=-.2．函数)(x f y =的定义域就是反函数的值域，由1(0)y x =≥，可得1y ≥-，所以函数)(x f y =的定义域是[1,)-+∞.3．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又因为f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x . 选A。
对数函数与指数函数教案
基本初等函数典例讲析1．根式的概念：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
性质： 1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
2．幂的有关概念①规定： 1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *； 2）)0(10≠=a a ；n 个3）∈=-p a a p p (1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。
（上述性质对r 、∈s R 均适用）3．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）； 2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）。
数学教案-指数函数与对数函数性质及其应用
数学教案－指数函数与对数函数性质及其应用一、教学目标1.了解指数函数和对数函数的基本定义；2.掌握指数函数和对数函数的基本性质；3.理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
二、教学重点1.指数函数和对数函数的基本定义；2.指数函数和对数函数的基本性质。
三、教学难点指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教科书；2.展示工具（投影仪、黑板等）；3.实际问题的练习题。
五、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是以指数为自变量的函数，通常的形式为：f(x)=a x其中，a为底数，x为指数。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的性质：•指数函数在x轴右侧递增，在y轴右侧递减；•当a>1时，指数函数递增；当0<a<1时，指数函数递减；•指数函数的图像经过点(0,1)；•当x=0时，指数函数的值为1；•当x趋近于正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大；当x趋近于负无穷大时，指数函数的值趋近于0。
2. 对数函数的定义与性质对数函数是指以一个正数为底数，以正实数为对数的函数，通常的形式为：$$f(x) = \\log_a(x)$$其中，a为底数，x为实数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的性质：•对数函数在x轴右侧递增，在y轴右侧递减；•当a>1时，对数函数递增；当0<a<1时，对数函数递减；•对数函数的图像经过点(1,0)；•当x=a时，对数函数的值为1；•当x趋近于正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大；当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大。
3. 指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：3.1 指数增长与指数衰减指数函数可以用来描述一些具有指数增长或指数衰减趋势的现象。
例如，人口增长、疾病传播等。
通过实际问题的分析，学生可以理解指数函数在这些问题中的应用，并通过解题练习加深对指数函数的理解。
《对数函数》公开课教案
《对数函数》公开课教案对数函数公开课教案一、教学目标- 了解对数函数的概念和基本性质- 掌握对数函数的图像和常用性质- 能够灵活运用对数函数解决实际问题二、教学重点和难点重点- 对数函数的定义和基本性质- 对数函数的图像和变换- 对数函数在实际问题中的应用难点- 对数函数的解析表达式的推导- 自然对数函数和常用对数函数的区别三、教学内容和步骤内容1. 对数函数的引入和概念解释2. 对数函数的定义和基本性质的讲解3. 对数函数的图像和常用性质的展示和分析4. 对数函数的变换和图像的绘制5. 对数函数在实际问题中的应用举例步骤1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对对数函数的兴趣2. 概念解释：简明扼要地介绍对数函数的概念和基本性质3. 示范分析：通过几个简单的例子，演示对数函数的计算和性质的验证4. 图像展示：展示对数函数的图像，并解析图像的特点和常用性质5. 变换绘制：教授对数函数的平移、伸缩和翻转等变换方法，并指导学生绘制变换后的图像6. 实际应用：给出一些实际问题，引导学生运用对数函数解决问题，并进行讨论和总结四、教学评价与反馈1. 教师评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和课堂互动等多方面进行评价2. 学生评价：鼓励学生积极参与，提供机会让学生表达对教学内容的理解和意见3. 教学反馈：根据学生的研究情况和反馈，及时调整教学方法，提升教学效果五、教学资源和参考书目1. 教学资源：投影仪、计算器、白板、教材、参考课件等2. 参考书目：《高中数学课程标准实验教科书》、《高中数学学科教学大纲解读与教案解析》等六、教学延伸1. 给学生布置相关的题，巩固对对数函数的理解和应用能力2. 提供拓展性的研究资源，鼓励有兴趣的学生进一步探究对数函数的高级性质。
指数函数与对数函数教案
指数函数与对数函数教案指数函数与对数函数教案教学目标】1.掌握指数运算法则和对数运算法则；2.理解指数函数与对数函数的图象性质，并能利用图象辅助解题。
教学重点】指数函数与对数函数的性质教学难点】指数函数与对数函数的性质的灵活应用例题设置】例1：指数函数图象例2：几个数大小的比较例3：指数与对数的运算教学过程】一、复指数运算法则和对数运算法则1.幂的有关概念aⁿ = a × a × a × … × a (n个a)；a⁰ = 1 (a ≠ 0)；a⁻ⁿ = 1/aⁿ(a ≠ 0.n ∈ N*)注意：正分数指数幂等于自身，负分数指数幂没有意义，零的任何次方根都是零。
2.指数运算法则（a。
0.b。
0.m。
n ∈ R）aᵐ× aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，aᵐ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ，(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，(ab)ⁿ = aⁿbⁿ（推广：(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ）注意区别(aᵐ)ⁿ和aᵐ，如(2³)² = 8² = 64，2³ = 8.3.对数运算法则（a。
0.a ≠ 1.b。
0.M。
N。
0）logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(Mⁿ) =nlogₐM (n ∈ R)，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN，logₐb = n ⇔ aⁿ = b换底公式：logₐM = log_bM/log_ba（特别地，有log_aa = 1）二、复指数函数与对数函数性质指数函数：y = aˣ，对数函数：y = logₐx特征线：y = ax，x = 1，y = bx，y = 1，y = logₐx基本性质：只需从图象即可了解。
指数函数：a。
1时，增长无限快；0 < a < 1时，逐渐趋近于0且不会取到；a = 1时，恒为1.对数函数：a。
1时，增长缓慢；0 < a < 1时，逐渐趋近于负无穷且不会取到；a = 1时，不存在。
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公开课教案
指数函数与对数函数
[教学目标]
1. 知识目标:指数函数、对数函数的概念,图象和性质.
2. 能力目标:①能灵活运用指数函数及对数函数的性质解决问题.②培养学生分类讨论、转化与化归、数形结合的数学思想方法.
[重点]指数函数与对数函数概念、图象和性质. [难点]应用指数、对数函数性质解决问题. [课型]复习课 [教学过程] 一 基础知识回顾
指数函数
对数函数
解析式
x a y = )1,0(≠>a a
)1,0(log ≠>=a a x
y a
图象
定义域 ),(+∞-∞ (0,+∞)
值域 (0,+∞) ),(+∞-∞
定点 (0, 1) (1,0) 单调性 a>1,在R 上增; 0<a<1,在R 减
a>1,在(0,+∞)上增 0<a<1, 在(0,+∞)上减
关系 x a y =与)1,0(log ≠>=a a x
y a 互为反函数,图象关于直线y=x 对称
x
y
1
a>1 0<a <1
x
y
1
a>1
0<a <1
二 注意:
1.指数函数的底数及对数函数的真数和底数应满足的条件,应予以重视.
2.指数函数与对数函数性质直接受底数影响,所以分类讨论思想表现得尤为突出.
3.研究指数、对数问题尽量化为同底.
4.充分利用指数函数、对数函数的图象和性质解决相关问题,特别是它们的单调性应用. 三 例题讲解
例 1.函数)(x f y =的图象与x y )3
1(=的图象关于直线y=x 对称.则
)2()(2x x f x F -=的单调增区间为( ).
A.[1,+∞)
B.(- ∞, 1]
C. (0, 2)
D. [1, 2)
例2.(2000京皖春招)已知),()(,0.lg )(b f a f b a x x f ><<=且若证明ab<1. 法一: 平方法. 法二: 图象法
例3.比较下列各组数大小.
(1))1,0(1.12.1≠>a a a a 且与 分析:按a 分类讨论. (2)3log 3log 54与 分析:换底,化为同底. (3)3.0322,
2log ,
3.0 分析:插入中间桥梁 “1”，“0”.
(4)若0<x <1, a>0,且a ≠1,比较:p=||)1(log ||)1(log x q x a a +=-与的大小. 分析:①分类讨论;②作差比较;③作商比较. 例4.(2002高考)
设y=)0,0](1)(2[2
1
log 22>>+-+b a b ab a x x x 求使y 为负值时,x 的取值范围. 分析:利用指数、对数函数的单调性,解不等式.
[小结]
1.指数、对数函数是中学数学中重点内容,在高考中考查力度大,特别是它们的图象,性质的应用,都有全面的考查.解决问题时多注意底数、真数的取值范围以及对底数进行讨论。
[课外练习]
1．（1995年全国）已知f(x)=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A （0，1）
B （1，2）
C （0，2）
D [2，+∞） 2.函数)
2(log 1
)(2
1x x f -=
的定义域是 .
3.已知2log 2)(,3log 1)(x x x g x f =+=.试比较)()(x g x f 与的大小.
4.已知x 满足.03log 7)(log 22
122
1≤++x x
求函数)4
(log )2(log 22x x y ⋅=的最值. 5.已知函数)1,0()
1(log )(≠>-=a a a x f x a
(1)证明:函数)(x f 的图象在y 值的一侧. (2)设)()()
,(),,(212211x f x x y x B y x A 是<图象上两点,证明:直线AB 的斜率
大于0.
(3)求函数)()2(1x f y x f y -==与的图象的交点坐标. [板书设计]。