偏微分方程理论学习总结

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偏微分方程理论学习总结

任

荣

珍

院系：理学院

班级：19 班

学号：2014081034

偏微分方程理论学习总结

偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。

下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：

谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。

十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。

而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。

J.达朗贝尔(D’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利(Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出

的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。

十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G.Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：

2222220V V V

V x y z

∂∂∂∆=++=∂∂∂

偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用

在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等

单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1

k

j j K ϕ=⊂

，则

存在函数0

()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，1

1k

j j ϕ=≤∑，且在K 的领域内1

1k

j j ϕ==∑)、；

接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式

对任意的,0a b ≥，有

22

22

a b ab ≤+

(2) 带ε的Cauchy 不等式

对任意的,0a b >和0ε>，有

2

2

22a b ab εε

≤+

(3) Jensen 不等式

设:R R ϕ→是下凸的，则

11(())(())b b

a a

f t dt f t dt b a b a ϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Youn

g 不等式

对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，

11

1p q

+=，有 p q

a b ab p q

≤+

(5) 带ε的Young 不等式

对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，

11

1p q +=，有 p

q p q

a b ab p

q

εε-≤

+

(6) Holder 不等式

p

p L

L uvdx u

v Ω

≤⎰

， 1,p q ≤≤∞，111p

q

+=

(7)一般的Holder 不等式

1

2

121

2

......p p p k

k k

L L L u u u dx u u u Ω

≤⎰

，

111...1k

p p ++=

(7’) Minkowski 不等式

设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使

()

()

()

p p p L L L f g

f

g

ΩΩΩ+≤+

(8) 几何与算术平均不等式

对任意12,,...,0k a a a ≥，有

11212...(...)k k

k a a a a a a k

++≤

(9) p L 空间的内插不等式

1r

s

t

a a L

L

L

u

u

u

-≤， s r t ≤≤，11a a

r s t

-=+

二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)

2

u

u udx u dx u

ds n

Ω

Ω

∂Ω

∂∆=-∇+∂⎰

⎰⎰ 记号

()

()()()()i i x x u x u x n x u x n x n

∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。 (2) (内插不等式)

设2p ≤<∞，u 是光滑函数，在∂Ω上，0u =，则

2121

,1

()

()()i i j p

s

n

n

r

p

r

s x x x i i j u dx C u dx u dx Ω

Ω

Ω

==≤∑∑⎰⎰⎰

其中C 是仅依赖于p 的常数，且211p r s

=+ 三、Sobolev 不等式

设0():p L

n n u W R R R ∈→，则对1P n ≤<，有

111

()

()n n i

n

p

p p p x R

R

i u

dx C u dx *

*

=≤∑⎰⎰

其中C 仅依赖于p 及n