矩阵行列式的概念与运算标准答案

矩阵、行列式的概念与运算

知识点总结：

一、矩阵的概念与运算

1、 矩阵111213212223a a a a a a ⎛⎫

⎪⎝⎭

中的行向量是()111213a a a a =，()212223b a a a =；

2、 如：111213111211122122

2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

===

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++⎛⎫⎛⎫

+== ⎪ ⎪

++⎝⎭⎝⎭，

11111221

11121222111312232111222121122222

21132223a c a c

a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++⎛⎫

= ⎪+++⎝⎭

矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有：

,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。

同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。

矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC =

3、 矩阵乘法不满足交换率，如1

11

11

11

122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠

⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号

2

2

11b a b a 表示算式1221b a b a -,即2

2

11b a b a =1221b a b a -,其中

2

2

11b a b a 叫做

二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线

2

2

11b a b a 可把二阶行式写成

它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解

二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222

1

11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记

2

211b a b a 叫做方程

组的系数行列式;记=

x D 2

2

11b c b c ,2

2

11c a c a D y =

即用常数项分别替换行列式D

中x 的系数或y 的系数后得到的.

(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,D

D y D D x y x

==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解;

(3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解.

3。三阶行列式及对角线法则

用

3

3

3

222111

c b a c b a c b a 表示算式;其结果是

231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.

我们把

3

3

3

222111c b a c b a c b a 叫做三阶行列式;

231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算

结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素.

4． 三阶行列式按一行(或一列)展开

把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为j i +-)1(.

三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解

三元一次方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++3333

22221111d

z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i

记

3

33

222

111

c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记

33

3222

1

11

c b

d c b d c b d D x =,3

3

3

222111

c d a c d a c d a D y =

3

3

3

222

1

11

d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的. (1) 当0≠D 时,方程组有惟一解⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧==

=D

D z D D y D D x z y x

(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.

举例应用：

一、填空题：

1、已知

314012212.341241211A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，则

3A B -= ；

解：3A B -=92103758112⎛⎫

⎪

-- ⎪ ⎪⎝⎭

； 2、已知1223,2131A B -⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则AB = ；BA =