第四节输运方程

第四节 系统 控制体 输运公式

一、系统

系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。

系统的特点：

1、从流体中取出的一定质量的流体；

2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）

0d d t

m

； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。

二、控制体

控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。

控制体的特点：

1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。

2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。

3、在控制面上可以存在质量及能量交换。

三、输运方程（雷诺输运定理）

引言：为什么需要雷诺输运定理？

看下图

如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？

根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。

系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。

为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。

绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，

等于系统的动量变化率；再用控制体的动量变化率表示系统的变化率，就完成了板受到的力等于控制体动量变化率的转化；从而，通过计算控制体的动量变化率，求得板受到的力。

另外，还有机械能守恒的问题。机械能守恒也是指的“质量不变的确定物体”的系统的机械能守恒，不是“内含不断变化的新物体” 的控制体的机械能守恒；因此，用控制体的方法研究机械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷诺输运定理。

总而言之，将“适用于系统的牛顿力学基本方程”转化成“适用于空间体积的力学方程”，这就是雷诺输运定理的用途。

下面看看什么是传说中的雷诺输运定理

设N 为t 瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η（--读Eta,伊塔）表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线）II 在t 瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II 。在这里用v 代表体积，V 代表速度。

t+δt 瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III ＋II ’（系统用虚线表示，系统的形状、大小都发生了变化，大小发生变化，意味着流体的密度发生了变化，也就是流体是可压缩流体），则δt 时间间隔内，系统内某

I I I Ⅱ ’

I

种物理量的增量为：

II III II (d d )(d )t t t t t t

N N N v v v δδηρηρηρ'++=-=+-⎰⎰⎰△式 II d v ηρ'⎰中的v d 为空间II’中的任意某一微元体积，乘以这一微元体积对应的密度ρ（这里允许II’内各处的密度ρ不相同，也就是允许流体是可压缩的），得出某一微元的质量，再乘以η得出任意某一微元具有的某种物理量，再在整个II’空间积

分，得到II ’空间内具有某种物理量；注意II ’空间内具有某种物理量是在t t δ+时刻具有的物理量，在其它时刻具有的物理量，不一定是这个值。后两项含义一样，不再赘述。

上式右边加上并减去

I (d )t t δηρν+⎰，用t

δ通除再取极限得：

0(d d )(d )(d )(d )lim lim t t t

t t t t t t t t t N N t v v v t v v t t δδδδδδδηρηρηρδηρηρδδ+→'+→++-=⎡⎤+-⎢⎥

+⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-

⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰⎰ⅡⅠⅡⅢⅠ （a ） 对（a ）式左端取极限为：

d d lim t t t t N N N

t t δδδ+→-= (b)

上式就是系统内某种物理量对时间的变化率。

下面分析（a ）右端各项的物理意义。其中（a ）式右端第一项的物理意义，

对（a ）式右端第一项取极限为：

II I II 0(d d )(d )lim t t t t t δδηρνηρνηρνδ'+→⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰

II II 0(d )(d )lim t t t t t δδηρνηρνδ+→⎡⎤

-⎢

⎥=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰ν

ηρd II ⎰∂∂

=t

注意到，II 所占的体积，就是控制体的体积。而控制体的体积为了能清晰的从别的体

积中识别出来，通常用

cv

表示，所以上式可表示为：

νηρd cv ⎰∂∂

=t

(c)

（c ）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。

用偏导而不用全导的原因是：控制体内流体所具有的某种物理量不仅仅是随时间变化；控制体周围流场的流体具有这种物理量的“密度”若与控制体内流体所具有的某种物理量的“密度”不一致，也会造成由于流场的非均匀性引起的这种物理量之间迁移，进而改变控制体内流体所具有的某种物理量，因此只能用偏导。（这里“密度”概念只是借用，借用来表示单位体积具有的这种物理量的概念）

(c)式表示在同一地点上控制体内的某种物理量随时间的变化率，相当于当地导数项，是由流场的非稳定性引起的。