2010年最新高考模拟试题压轴选(二)

围，并证明 1 1 4. x1 x
2
解答（1）当 x R 时， f (x) x2 bx 2 的图象是开口向上对称轴为 x 线，
b 2
的抛物
2
∴ f (x) 的值域为 8 4b ,
2
，∴ F (x) f [ f (x)]的值域也为 8 4b ,
的充要条件
是8
b2 4
≤
b , 即b2 2
2b
8≥ 0,
b ≤ 2,或b≥ 4 ，
若 x1, x2 (1,2) ，即 x1、x2 就是 2x2 bx 1 0 的解， x1x2
1 2
0 ，与题设矛盾.
因此， x1 (0,1], x2 (1,2).由 H (x1) 0得b
1 ，所以b ≤ 1 ； x1
由 H (x2 )
0得b
1 x2
2x2, 所以
7 2
b
1.
故当 7 b 1 时，方程 f (x) | x2 1| 2在(0,2) 上有两个解. 2
(1 2n 1
1 2n 2
所以 f (n 1) f (n) ．
21 ) 1 2
n1
2
n
n 11 0
由于 f (1)
S21
1
(1 1) 1 2
0 ，此时 S 21
1；
f (2)
S22
2
(1 1 2
1 3
1) 2 4
0 ，此时 S22
2；
f (3)
S23
3
(1 1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1) 3 8
得证．
T2
n
．．．．．．．．．．．．．．．．．14 分
13.(湖北省部分重点高中 2010 届高三联考（数学理）已知二次函数 f (x) ax2 bx（ a, b 为常数 且 a 0 ），满足条件 f (1 x) f (1 x) ，且方程 f (x) x 有等根．
(Ⅰ)求 f (x) 的解析式；
(Ⅱ)设 g(x) 1 2 f (x) (x 1) 的反函数为 g 1(x) ,若 g 1(22x ) m(3 2x ) 对 x [1,2]恒成 立，求实数 m 的取值范围； (Ⅲ)是否存在实数 m, n(m n) ，使 f (x) 的定义域和值域分别为[m, n] 和[3m,3n] ，如果存
3n 1 (n an
N *) ，数列{b }的前 n 项和为 S ，试比较 S 与 n 的大小；
n
n
n
2
an 1 (n n1
N *) ，数列{(cn2cn1)2 } 的前 n 项和为Tn ．求证：对任意 n
N*，
都有 Tn 2 ．
解：(Ⅰ)由题 a
n
由累加法，当 n
n n
1 an
1
2 时， an n
0 ，此时 S23
3；
由于， f (n 1) f (n) ，故 n 3 时， f (n) f (3) 0 ，此时 S2n n ．
综上所述：当 n 1,2 时， S2n n ；当 n 3(n N *) 时, S2n n ． ．．．．．．．．．．．10 分
（III） c
n
an 1 n1
3n
当n
2
时，
2 (3
当 n 3(n N *) 时, S2n n ．
11 方法 2： S2n 1 2 3
记函数 f (n) S2n n (1
所以 f (n 1)
(1
1 2
1 3
1 2
n
12 13 1) 2n 1
1 2
)
n
(n n 1)
．．．．．．．．．．．．．．．10 分 ．．．．．．．．．6 分
则 f (n 1)Leabharlann f (n)3n 1)2
n
所以当 n
2 时 Tn
3 2
2 3n (3 1)(3n
n
2 32 (32 1)2
3)
(3 n
21)(33nn
1 1
1)
1
3 n1
1
1 1. 3n
2 3n (3n 1)2
3 2
(1 2
1 1) 32
(3 1 1
1 33 1)
＋
且 T1
1
(3 3n
1
2
1
2
1 1) 3n
2
1
31
n
2．
2
故对 n N * ，
方法 1：当 n 1 时， S21
11 2
1；当 n
2 时， S22
11 2
1 3
1 4
2；
当n
3 时， S23
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
3．
猜想当 n 3 时， S2n n ．
．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
下面用数学归纳法证明：
①当 n 3 时，由上可知 S23 3 成立；
11 ②假设 n k(k 3) 时，上式成立，即1 2 3
1 2
k.
当n
k
1 时，左边 1
1 2
1 3
11 2k 2 1
k1
k1
k
2
k
1 2k 1
1
2
2k 1
k
2
k
1
k 1，所以当 n
k 1 时成立．
k
由①②可知当 n 3,n N * 时, S2n n ．
综上所述：当 n 1 时, S21 1；当 n 2 时, S22 2 ；
由b
1 和b x1
1 x2
2 x2
消去
b，得
1 x1
1 x2
2x . 由 x (1,2),得
2
2
1
x1
1 x2
4.
12.(湖北省黄冈中学 2010 届高三 10 月份月考)
已知数列{an}中， a1
1，且 a
n
n n
1 an
1
2n 3n 2 (n
2,n
N *)．
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 令 bn (Ⅲ) 令 cn
在，求出 m, n 的值，如果不存在，说明理由．
解：(Ⅰ) ∵ f (1 x) f (1 x) ，∴ b 1 ，又方程 f (x) x 有等根
2a
ax 2 (b 1)x 0 有等根，
0 b 1, a 1 , f (x)
即 b 的取值范围为 ( , 2] [4, ).
（2） f (x) | x2 1| 2,即x2 bx | x2 1| 0 ，由分析知b 0
不妨设 0 x1 x2 2,令H (x) x 2 bx | x2 1|
bx 1,| x |≤1, 2x
2 bx 1,| x | 1,
因为 H (x)在(0,1]上是单调函数，所以 H (x) 0 在 (0,1]上至多有一个解.
2010 年最新高考模拟试题压轴选（二）
11.(湖北黄冈中学 2010 届 8 月份月考数学试题（理科）已知 f (x) x2 bx 2, x R.
（1）若函数 F (x) f [ f (x)]与f (x)在x R 时有相同的值域，求 b 的取值范围；
（2）若方程 f (x) | x2 1| 2 在（0，2）上有两个不同的根 x1、x2，求 b 的取值范
2n 3n 2 知，
an n
an 1 n1
a1 1
2 2 3 2 32
2 3n 2
，
2 3n 2
代入 a1
1 ，得 n
2 时， an n
1
2(1 3n 1) 13
3n 1
又 a1
1 ，故 a
n
n 3n 1 (n
（II） n
N * 时， b
n
3n 1 an
N
*
1 n
)．
．
．．．．．．．．．．．．．．．．4 分