高中数学 综合法与分析法
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P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
练一练：
已知a、b、c为不全等的正数， bc-a ca b a bc 求证： 3 a b c
例2在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三 角形．
2
2
点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析
法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论 成立
练一练：
1 tan a 已知 1, 求证： 3 sin 2a 4 cos 2a 2 tan a
3 7 2 5成立
练一练：
1、求证：6 7 2 2 5
2、求证： a a 1 a 2 a 3(a 3)
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= ຫໍສະໝຸດ Baidusinα sinθcosθ= sin β
2
证: 求
1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
二、综合法定义：
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
（ 3 7） （2 5） 10 2 21 20 21 25 21 5
2 2
3 7 2 5
因为21 25显然成立，所以
点评：解决数学问题时，
文字语言
学会语言转换；还要细 致，找出隐含条件。 图形语言 符号语言
a+b ab 回顾基本不等式： 2 分析法
(a>0,b>0) 的证明. 综合法
证法1 因为 ( a b ) 0
2
a+b ab 证法2要证 2 只需证 a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 7 2 5
2 2 （ 3 7 ） （ 2 5 ） 只需证，
只需证： 10 2 21 20 只需证： 21 25 只需证： 21 5
一、复习：
推 理
演绎推理 （必然性推理）
合情推理
（或然性推理）
类比 三段论 (特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
归纳
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
B A
1 4 3 2
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果 分析法的特点：执果索因. 上联：由因导果，顺藤摸瓜 下联：执果索因，逆推破案 横批：得心应手
课后思考：已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*), 它的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
D
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证 明方法称为直接证明，其一般形式为： 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理
a+b ab 成立 所以 2
只需证 a + b 2 ab 0
只需证 ( a b ) 0
2
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果 索因法）．特点：执果索因. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
练一练：
已知a、b、c为不全等的正数， bc-a ca b a bc 求证： 3 a b c
例2在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三 角形．
2
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点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析
法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论 成立
练一练：
1 tan a 已知 1, 求证： 3 sin 2a 4 cos 2a 2 tan a
3 7 2 5成立
练一练：
1、求证：6 7 2 2 5
2、求证： a a 1 a 2 a 3(a 3)
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= ຫໍສະໝຸດ Baidusinα sinθcosθ= sin β
2
证: 求
1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
二、综合法定义：
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
（ 3 7） （2 5） 10 2 21 20 21 25 21 5
2 2
3 7 2 5
因为21 25显然成立，所以
点评：解决数学问题时，
文字语言
学会语言转换；还要细 致，找出隐含条件。 图形语言 符号语言
a+b ab 回顾基本不等式： 2 分析法
(a>0,b>0) 的证明. 综合法
证法1 因为 ( a b ) 0
2
a+b ab 证法2要证 2 只需证 a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 7 2 5
2 2 （ 3 7 ） （ 2 5 ） 只需证，
只需证： 10 2 21 20 只需证： 21 25 只需证： 21 5
一、复习：
推 理
演绎推理 （必然性推理）
合情推理
（或然性推理）
类比 三段论 (特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
归纳
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
B A
1 4 3 2
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果 分析法的特点：执果索因. 上联：由因导果，顺藤摸瓜 下联：执果索因，逆推破案 横批：得心应手
课后思考：已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*), 它的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
D
C
证 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD，BC//DA 故1 2，3 4 又AC=CA 所以ABC CDA 故 AB=CD，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证 明方法称为直接证明，其一般形式为： 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理
a+b ab 成立 所以 2
只需证 a + b 2 ab 0
只需证 ( a b ) 0
2
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab成立
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果 索因法）．特点：执果索因. 用框图表示分析法的思考过程、特点.