有关斐波那契数列及性质的研究

an = Fn+1 (n > 2) 。
例 2 用1×1 和1× 2 两种骨牌覆盖1× n 的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设覆盖方法有 bn 种，考虑最后一块骨牌：若是1×1 的，则有 bn−1 种覆盖方法；若是
1× 2 的，则有 bn−2 种覆盖方法。所以， bn = bn−1 + bn−2 ，其初值为 b1 = 1， b2 = 2 ，于是，
k
k +1
=
1 2
2
n+1 −
n−1
n −1 .
现证 n 时结论成立.
n
∑ F Fk k+1
k =1
∑ F F F F = n−1
+
k k +1
n n+1
k =1
F F F F F =
1 2
2
n+1 −
n −1
n −1 +
n
n +1
F F F F F =
1 2
2
n+1 −
n −1
n −1+ 2
n
n+1
F F F + F F F F =
1 2
2
n+1 + 2
n
n +1
n2 − 1 −
n −1
+
n
n2
F F F =
1 2
2
n+2 −
n
n+1 −1
所以，对任意自然数 n 结论都成立 。
性质 6
若连分数 1
1
1
1
1
1
1
n个 ， = [111...11]
1
1 1
n个
那么 Fn1
= [111...11]
关键词：Fibonacci 数列;通项公式;性质;黄金分割 在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，Fibonacci 数列出 现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用 Fibonacci 数列表示，而且本质上就是 Fibonacci 数列，可见 Fibonacci 数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究 Fibonacci 数列非常必要。 本文通过探讨 Fibonacci 数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋 势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与 Fibonacci 数列相关问题的解决方案，特别是 对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。 1. Fibonacci 数列的由来 斐波那契，公元 13 世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子 繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个 月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多 少对兔子？ 问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的 兔子的对数），如下：
bn = Fn+1 (n > 2) 。
2.2 爬楼梯问题
例 3 某人爬有 n 个台阶的楼梯，一步可以迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的
爬楼方法？
解 设爬 n 个台阶有 cn 种方法。考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前 n − 1个台 阶有 cn−1 种方法；若最后一步迈两个台阶，则前 n − 2 个台阶有 cn−2 种不同的方法。于是，由
数列，而将这个数列中的每一项称为“Fibonacci 数”。 2. 生活中常见的 Fibonacci 数列数学模型:
假如我们把 {Fn }设为 Fibonacci 数列，不难发现数列 {Fn }是由递推关系式： F1 = F2 ， ( ) F3 = F1 + F2 ，……， Fn = Fn−1 + Fn−2 n ≥ 3 (∗) 所给出的一个数列。从而，我们就可以轻
可得： g(x)− x2 − x
= F3x3 + + Fn xn +
= (F1 + F2 )x3 + (F2 + F3 )x4 + + (Fn−1 + Fn−2 )xn +
=
(F1x3
+
F2 x4
++
Fn−1 x n
+ )
+
(F2 x3
+
F3 x 4
++
Fn−2 xn
+ )
= x2 g(x) + x[g(x) − x]
（2）……110
第一类中只要前 n −1位既无 010 也无 101 即可，注意到前 n −1位是以 0 结尾的，所以有 gn−1,0
1
个这样的序列；
第二类中只要前 n − 2 位无 010 和 101 即可，因为前 n − 2 位是以 1 结尾的，故有 gn−2,1 个这样
的序列；
于是有: g n,0 = g n−1,0 + g n−2,1
3.1 基本性质
为了方便讨论 Fibonacci 数列具有的若干性质和变化规律，本文首先从 {Fn }的通项公式
入手，对 Fibonacci 数列展开讨论.
设 g(x) = F1x + F2 x2 + F3x3 + + Fn xn +
由 Fibonacci 数列的递推公式 (∗) ，
------①
可得： F1
+
F2
+
F3
++
Fn
=
Fn+2
−
F2
n
∑ 性质 3 Fibonacci 数列的奇数项和： F2k−1 = F2n k =1
证明 由 F1 = F2 ， F3 = F4 − F2 ， F5 = F6 − F4 ，……， F2n−1 = F2n − F2n−2
性质 4
可得：
F1
+
F3
+
+
= (x2 + x)g(x) − x2
从而
g(x) =
1−
x x2
−
x
=
1
−
1
+ 2
5
x
x
1 −
1− 2
5
x
2
A+ B = 0
再设 g(x) =
A 1−1+
2
5
x
+
B
1−1−
2
5
x
，则有
5 2
(A −
B) =1
从而得 A = 1 , B = − 1
5
5
所以
g
(x
)
=
1
−
x x−
x
2
=
1 1
5
Fn
证明
由 F1 = 1 ， F2 = 1 ， Fn+1 = Fn + Fn−1 有：
而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规
律，我们首先给出几个与 Fibonacci 数列相关的数学模型，然后对 Fibonacci 数列展开讨论。
2.1 覆盖问题
例 1 用1× 2 的骨牌覆盖 2 × n 的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？ 解 设有 an 种不同的覆盖方法，将棋盘水平放置，考虑最后一个骨牌的放法：若垂直放 置，则有 an−1 种不同的覆盖方法；若水平放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有 an−2 种 不同的覆盖方法。于是，由加法原理得： an = an−1 + an−2 ，其初值为 a1 = 1， a2 = 2, 因此，
------①
同样，以 1 结尾的序列有如下两种：（1）……11
（2）……001
于是有： gn,1 = g n−1,1 + g n−2,0
------②
由①+②得： gn = gn,0 + gn,1 = gn−1 + gn−2
再由初值 g1 = 1， g2 = 4 ，得： gn = 2Fn+1 (n > 2)
的个数。
解 设这样的序列有 en 个，考虑最后一个数，如果最后一位是 0，则只要前 n − 1位任何 两个 1 不相邻即可，因此，满足要求的序列有 en−1 个。若最后一位是 1，则倒数第二位是 0， 于是只要前 n − 2 位任何两个 1 不相邻即可，因此满足要求的序列有 en−2 个，由加法原理得： en = en−1 + en−2 ， 由 初 值 e1 = 2, e2 = 3 得 en = Fn+2 ， 当 然 也 可 以 写 成 en = Fn + Fn−1
F2 n −1
=
F2n
Fibonacci 数列的前 n 项平方和:
∑ F F F n
2
k = n n+1
k =1
证明
由 F12 = F2 F1 ， F22 = F2 (F3 − F1) = F2F3 − F2F1 ， F62 = F3 (F4 − F2 ) = F3F4 − F2 F3 ，
……，
3
Fn2 = Fn (Fn+1 − Fn−1 ) = Fn Fn+1 − Fn−1Fn
2.4 一个几何上的例子
例 6 半径为 1 的两个圆 ⊙ O1 , ⊙ O2 外切， l 是它们的一条外公切线，依次作⊙ O3 和
⊙ O1 、⊙ O2 、l 均相切，作⊙ O4 和⊙ O2 、 ⊙ O3 、l 均相切……，作⊙ On+1 与⊙ On−1 、⊙ On 、
l 均相切，求⊙ On 的半径的表达式。 解 作 On−1R 、 OnS ⊥ l ， 过 On+1 作 l 的 平 行 线 分 别 交 On−1R 、 On S 于 P 、 Q , 作
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
大兔子数（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
(n > 2)。
例 5 求长为 n 的 0-1 序列中既不含有 010 也不含有 101 的 0-1 序列的个数。
解 设这样的序列有 g n 个，以 0 和 1 结尾的这样的序列的个数分别用 gn,0 和 gn,1 表示。
则 gn = gn,0 + gn,1 。
以 0 结尾的序列有如下两种：（1）……00
1− 5 2
1+ 5 2
将①和③比较可得数列 {Fn }的通公式，也就是我们所要探讨的 Fibonaccia 数列的通项公式： 性质 1 Fibonacci 数列 {Fn }的通项公式:
Fn =
1 5
1+ 2
5
n
−
1− 2
5
n
（n≥1）
通过观察，我们知道 Fibonacci 数列中的每一项都是整数，但其通项却含有有理数，因
可得： F12
+
F22
++
Fn2
=
Fn Fn+1
利用数学归纳法还可以证明：
性质 5
Fibonacci
数列的相邻项乘积之和：
n
∑
k =1
F
k
F
k +1
=
1 2
F
2
n+2
−
F
n
F
n+1
− 1
证明 对 n 用数学归纳法证明，当 n = 1时，等式显然成立。
∑ F F F F F 假设 n − 1时结论成立，即 n−1 k =1
所以一年后（即第 13 个月初），繁殖的兔子共有 233 对。 仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第 3 个月起，
每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多
项，就构成了一列数列 {Fn }：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为 Fibonacci
有关 Fibonacci 数列及性质的研究
摘要：本文由 Fibonacci 数来自百度文库的模型展开讨论，推导出 {Fn }数列的通项公式；进而利用 {Fn }数列的递推公式、数学归纳等多种方法，探讨了 {Fn }数列各项之间的联系，归纳总结了 {Fn }数列所具有的 14 条基本性质，在其基础上，又给出了 Fibonacci 数列与黄金分割数之间 的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了 {Fn }数列的变化规律。最后，作 为性质的应用，结合例题我们阐述了 {Fn }数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。
此可见 Fibonacci 数列的与众不同之处。
利用 Fibonacci 数列的递推公式可以得到：
n
∑ 性质 2 Fibonacci 数列的前 n 项和： Fk = Fn−2 − F2 k =1
证明 由 F1 = F3 − F2 ， F2 = F4 − F3 ，……， Fn−1 = Fn+1 − Fn ， Fn = Fn+2 − Fn+1 .
加法原理得： cn = cn−1 + cn−2 ，易知其初值 c1 = 1， c2 = 2 ，从而 cn = Fn+1 (n > 2) 。
2.3 0-1 序列问题
例 4 由 0 和 1 组成的序列称为 0-1 序列，序列中数的个数称为这个 0-1 序列的长度，若
果 0100011011 是一个长度为 10 的 0-1 序列，求长为 n 的 0-1 序列中任何两个 1 不相邻的序列
OnM ⊥ On−1R 于 M ，则由 On M = On+1P + On+1Q ，
可得
r r r r r r = n n−1
+
n−1 n+1
.
n n+1
令
an =
1
rn
，则 an+1
=
an
+ an−1 且 a1
=
a2
= 1，故 an
=
Fn ，从而 rn
=
1 Fn2
.
3．Fibonacci 数列的性质
1
−
1
+
−1 5 x 1−1−
5
x
2
2
——-②
再利用 1 = 1 + x + x2 + x3 + ... +xn +... ，并将②式展开得到： 1− x
[ ] g(x) =
1 5
(α
− β )x + (α 2
− β 2)x2
+ + (α n
− β n )xn
+
-——③
其中α = − 2 = 1 + 5 ; β = − 2 = 1 − 5