第三讲 杆系有限元-单元分析部分

两类坐标系统的变换矩阵
平面桁架杆单元
cos T 0
sin 0
0 cos
0 sin
两类坐标系统的变换矩阵
空间桁架杆单元
cos T 0
cos 0
cos 0
0 cos
0 cos
0 cos
两类坐标系统的变换矩阵
空间一般杆单元
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
在单元坐标系统中，在平面一般杆单元中，截面位移包括截面转角 和轴、切向线位移；有意义的截面合力也对应包括截面弯矩、截面 轴力和截面剪力 将单元两端结点位置的截面位移合成一个向量，即为单元杆端位移 向量； 将单元两端结点位置的截面合力合成一个向量，即为单元杆端力向 量； 在不同类型的杆单元中，由于结点的自由度不同，杆端位移和杆端 力向量有着不同的表达
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
一般空间杆系结构中， 结点自由度为6。 包括三个平动自由度和 相关于三个主轴的转动 自由度
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
根据位移法的概念： 体系分析时，结点的自由度确定后，则结 点的力向量、位移向量的分量则可以确定 映射到单元的单元力向量和位移向量分量 的性质和数目也就随之确定。
(e)
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面桁架杆单元 单元坐标系统下
杆端力向量
FNi FNj ui u j
结构整体坐标系统下
杆端位移向量
Fxi F yi Fxj Fyj
ui v i u j v j
T
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
先处理法中，体系的未知量数目 少，计算量小一些，但需要在整 体分析之前引入边界约束条件， 对位移进行预处理 后处理法在整体分析之后再引 入边界约束条件，使得整体分 析的计算量较大，但边界约束 的引入更为容易一些 先后处理法在大型结构限元软件中的应用相 对复杂，并非如教学程序所演示的那么单纯 的功用，许多几何条件的处理都计算过程中 并行处理
结构分析中的有限元法
杆系结构有限元
第三讲
杆系结构的单元分析
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
在一般的实体有限元分析单元 中，结点通常为真实的“点”， 自由度与空间坐标维数相关， 三维空间内，结点拥有三个自 由度；平面分析时，结点拥有 两个自由度。 而对于杆元或壳元这样的单元， 由于引入平截面假定，其中 “结点”实际上是截面的概念， 转动自由度被引入。
坐标变换矩阵： 将杆端力和位移向量根据计算的需要，在两个正交坐标系统进行变换的变换矩阵Ｔ。 Ｔ矩阵为正交矩阵。
F e TF e Fe TTFe
平面梁单元的变换矩阵 平面一般杆单元的变换矩阵 平面桁架单元的变换矩阵 空间桁架单元的变换矩阵 空间一般杆单元的变换矩阵
两类坐标系统的变换矩阵
平面梁结构中，单元坐标系 统与结构坐标系统通常一致， 向量不用进行坐标变换
杆端位移向量
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面内一般杆单元 单元坐标系统下
(e) FN i (e) FQi (e) M F e (ie ) FNj F (e) Q(je ) M j
ui( e ) (e) vi (e) δ e i(e) u j v (e) j( e ) j
单元分析与单元刚度矩阵
位移法中单元分析的目的在于建立单元结点位移与单元结点力之间的变换关系
F k δ
F 1 F2 F 3 F4
(e)
M xi 结构整体坐标系统下 M yi FQi e F M xj M yj FQj
(e)
,
xi yi wQi e xj yj wQj
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
平面桁架结构中，此时结 点转动无意义，结点自由 度为2，为结点的两个平 动自由度
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
平面交叉梁系（楼盖）结 构中，结点自由度为3， 包括结点的竖向平动自由 度，及相关于楼层平面内 两个主轴方向的转动自由 度
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面交叉梁单元 单元坐标系统下
M xi M yi FQi e F M xj M yj FQj
(e)
,
xi yi wQi e xj yj wQj
从而可得体系的结点位移向量
u1
v1 1 u2 v2 2 3 u4 v4 4 u5 v5 5 6
T
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
在后处理法中，将结构的所有结 点位移作为结构分析的基本未知 量 体系的结点位移向量
u1
v1 1 u2 v2 2 3 u4 v4 4 u5 v5 5 u6 v6 6 u7 v7 7
z
3 2
Y
cos 1 cos 2 T0 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2
cos 3 cos 3 cos 3
1
X
坐标变换矩阵T
12x12
y
T0 0 0 0 0 T 0 0 0 T 0 0 T0 0 0 0 0 T 0
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
整体分析和单元分析都是基于结点的物理量进行的，在单元 分析时，需要将结点对应到相关的单元上面去。 因此，当考虑到结点与单元的关系时，结点的概念需要进 一步细化：
在刚性结点位置，由于结点位移与杆端位移一致，“结点”即对 应刚结点； 在其它结点位置（即组合结点处），若结点无法完全协调各 杆端位移，不同杆端位移的几个分量无法完全相同时，“结点” 应考虑在不同的杆端结点处。
x
Z
z
3 2
Y
1
局部坐标系的三个轴与结构坐标系的三 个轴之间的夹角分别为： X 1,2,3 1,2,3 1,2,3
y
则一个力（位移）向量在两个坐标系中的变换关系为可分为两组：
轴力、剪力为一组，扭矩、弯矩为一组，变换关系相同
两类坐标系统的变换矩阵
空间一般杆单元
Z
x
则坐标变换中的子块T0可描述为：
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
空间桁架杆单元 单元坐标系统下
杆端力向量
FNi FNj ui u j
结构整体坐标系统下
杆端位移向量
Fxi F yi Fzi Fxj F yj Fzj
SAP2000中的坐标系统
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
由于杆单元的方向各异，因此，同 一向量或许会在不同分析阶段放在 不同的空间坐标系统中进行度量 单元分析时，需要有意义的物理量 进行截面分析，此时使用单元坐标 系统。每一单元都将拥有自己独立 的单元坐标系统 结构整体分析时，需要各单元同时 并行进行平衡方程的描述，需要将 所有的向量归于同一坐标系统内， 此时，使用结构整体坐标系统。
结构整体坐标系统下
Fx(ie ) (e) Fyi (e) M i F e (e) Fxj F (e) yj( e ) M j
ui( e ) (e) vi (e) e i( e ) u j v(e) (j e ) j

T
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
杆系结构中杆单元的方向各 异，杆端力与杆端位移只有 在与截面正交的方向上才有 明确的力学意义，也才能与 横截面的合力联系在一起， 以在平截面假定的条件下， 准确地根据一维材料本构模 型导出截面力与截面变形的 关系。 在杆单元、壳单元等有类似截 面应用的单元中，单元坐标系 统相对更为重要
两类坐标系统的变换矩阵
平面交叉梁单元
cos sin 0 T 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 0 sin 0 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面梁，单元坐标系统和结 构坐标系统通常是一致的 单元无切向位移时
杆端力向量
Mi M j i j
杆端位移向量
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
梁单元有横向位移时
杆端力向量
Mi F Qi M j FQj i v i j v j
杆系有限元分析的基本未知量
二、结点力、结点力向量
结点力和结点力向量与位移的表达方式类似 一般用于结构的平衡条件表达，即 位移法方程的建立原则： 在所有结点位移发生处，应该满足 基本的平衡方程，由此建立位移法 方程。
FFx1
Fy1 M1 Fx2 Fy2 M2 M3 Fx4 Fy4 M4 Fx5 Fy5 M5 M6
ui v i wi uj v j wj
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
空间一般杆单元 单 元 坐 标 系 统
FNi F Q iy FQ iz M ix M iy M iz F Nj FQjy F Qjz M jx M jx M jx
两类坐标系统的变换矩阵
平面内一0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 0 sin 0 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
平面梁体系中，结点的转 动自由度是主要分析分量。 如果因为单元的划分还存 在结点的竖向平动自由度， 则还应一并考虑。
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
平面刚架结构中，结点自由 度为3，包括结点的两个平 动自由度和一个转动自由度。
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
根据以上原则，即可完成体系的结点编号 结点位移为杆系有限元分析的基本未知 量，根据结构分析中引入支座约束条件 的不同，可将结构分析分为先处理法和 后处理法两类。 在先处理法中，将结构的未知结点位移 作为结构分析的基本未知量，而已知的 结点位移（如支座约束处），则不计入 体系计算对象中。
F
(e)

(e)
ui v iy viz ix iy iz uj v jy v jz jx jy jz
两类坐标系统的变换矩阵
结构坐标系统与单元坐标系统