第二十五章 动力学普遍方程

=
−
d dt
(
∂T
∂ q&
j
)
+
∂T
∂q
j
由以上将 k n
∑ ∑ F r ∑ m a r q [ q q j=1 i=1
∂
n
• i + (−
i∂
j =1
∂ ) • i ]δ ii ∂
=0
j
j
j
∑ q n
[Q −
d (
∂T
)+
∂T
]δ
=0
q q i=1
dt ∂
∂
j
j
j
改写为
因为
δ
q ,δ 1
q .......q
(1)
取小球和
弹簧组成的系统为
研究对象，系统由
两个自由度，选取
小球的极坐标 (r,θ ) 为
广义坐标
o
r
β
k
m
(2)系统的动能为 T = 1 m[r&2 + (rθ )2]
2
（3）设衡位置时系统的势能为零， 则系统的势
能为
l l V = mg(l − r cosθ ) + 1 k(r − ）2 − 1（l - )2
∂ vri ∂q
r k ∂2
∑ r =
i
q q j=1 ∂ ∂
&q + j
r ∂ 2 i
∂t∂ q
s
j
s
s
=
k∂
∑ q j=1 ∂
(
∂ ∂
rri q
)&q
j
+
∂ ∂t
( ∂ rri ) ∂q
j
s
s
即
∂ vri = d ( ∂ rri )
∂ q dt ∂ q
s
s
也可以写为 ∂ vri = d ( ∂ rri ) 或
（6） 由拉氏方程
d dt
∂L ∂x&
−
∂L ∂x
=
0
d dt
∂L
∂ϕ&
−
∂L
∂ϕ
=
0
可得到
l (3M + 2m)&x&+ mlϕ&&cosϕ − mlϕ& 2 sinϕ + 2k(x −
)=0
0
2lϕ&& + 3&x&cosϕ − 3g sinϕ = 0
例25.4 质量为M的均质圆柱再三角块斜边上作 纯滚动，如图所示。三角块的质量也为M， 置于光滑水平面上，其上有刚度系数为k的弹簧
例25.3 图是一质量为M的均质圆盘，半径为
R,其中心A与弹性系数为k，弹簧原长为 l 0，
且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧
的另一端固定。质量为m，长为l 的均质杆
AB通过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆
盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的
拉式方程。
x
kC
B
ϕ
vA
vCA
P
vC
解 （1） 系统的自由度为2，以图中的
1 2
mlϕ&& cos ϕ
−
1 2
mlϕ& 2
sin ϕ
∂L ∂x
=
−k(x
−
l
)
0
∂L
∂ϕ&
=
1 ml 2ϕ&
3
+
1 2
mlx& cosϕ
d dt
∂L
∂ϕ&
=
1 ml 2ϕ&& +
3
1 2
ml&x&cosϕ
−
1 2
mlx&ϕ& 2
sin ϕ
∂L
∂ϕ
=
−
1 2
mlx&ϕ&
sin ϕ
+
mg
l 2
sin ϕ
j
j
j
( j = 1,2...k)
n
得 G ∑ m v v ∑ v = −
d [(
q& m v q j
i=1 dt
∂
n
)• i ]+ (
ii ∂
i =1
j
∂ )• i ii ∂
j
引入系统动能
对q& j,q j求偏导数
∑ m v ∑ m v v T = n 1 i=1 2
∑ r vr ∂T = n
2= n1
通过轮心的达朗伯惯性力
F F = = P a
1q
2q g
达朗伯惯性力偶矩 M 1q = M 2q = Jα
其中
α=a
r
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其
质心的一个达朗伯惯性力
F =Qa 3q g
若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为δs ,
则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角δϕ
=
δs
r
（5） 根据动力学普遍方程
由 ri
=
ri
(q , 1
q 2
,......,
q k
,t)
再对 求偏导数
对时间求导
qj
得到
∂ vi ∂ q& j
=
∂ ri ∂q
j
或
∂ r&i ∂ q& j
=
∂ ri ∂q
j
( j = 1,2...k)
（2） 第二个经典拉格朗日方程
在上式对s个广义坐标 q (s = 1,2...,k)求偏导数得 s
x，ϕ 为系统的广义坐标。
设杆的质心为C，圆盘的速度瞬心为P
(2) 圆盘和杆的动能分别为
T J ω r = 1 12
P
2 = 1 (3 M 1 22
2) x& )2 = 3 Mx&2 r4
T v J ω = 1 m 2 + 1
2
22
C2 C 2
v v v v l = 1 m[ 2
2+
A
2 −2
CA
A
设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自
由度为k,广义坐标为 q ,q ......,q
12
k
各质点相对于定点O的矢径可表示为
ri
=
ri
(q , 1
q 2
,......,
q k
,t)
(i = 1,2,.......)
各点的虚位移可表示为
(25.5)
n∂
r ∑ r q δ =
iδ
q∂ i i =1
（2）写出广义坐标，广义速度表示的系统 的动能
（3）计算广义力。比较方便而且常用得式 由力时公，式则Q需j =求[δδWq广]jj 义计坐算标。表当示主的动系力统均的为势有能势， 并写出拉氏函数。
（4）计算各相应的导数
（5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系 的运动微分方程。
例25．2 一质量为m的小球与弹簧的一端相 连，弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不 计，弹性系数为k，在平衡位置式的长度为L。 是求小球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。
2
n
的相互独立性
得第二类拉格朗日方程
d dt
∂T
∂ q& j
−
∂T
∂q j
=
Q j
若质点系所受的全部的主动力为有势力
Q
j
=
−
∂V
∂q
j
系统的势能只是系统广义坐标的函数
∂V
∂ q& j
=0
可得
d dt
[
∂(T ∂
−
q&
V
j
)
]
−
∂(T ∂
−
q
V）=
j
0
引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为
d dt
∂r
0
∂L
∂θ&
=
m r2θ&
d dt
∂L
∂θ&
=
2mrr&θ&
+
m r 2θ&&
∂L = −mgr sinθ ∂θ
（6）由保守系统的第二类拉格朗日方程
d dt
∂L ∂r&
−
∂L ∂r
=
0
d dt
∂L
∂θ&
−
∂L
∂θ
=
0
得
m&r&− mrθ&2 + mg(1− cosθ ) + k(r −1) = 0 rθ&&+ 2r&θ& + g sinθ = 0
i
i
iq
i
(i = 1,2,..........n)
对这n个式子求和
(25.2)
n
∑
F N F r ( + + )δ = 0
i
i
iq
i
i=1
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
n
∑
N
δ
i
ri
=
0
i =1
上式变为：
n
n
∑ (F i + F iq)δ ri = 0或者∑（F i − mi ai)δ ri = 0(25.4)
平行于斜面系在圆柱体轴心O上。设角α = 300
试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
k
解： 取整个系统为研究对象
o
三角块作平动，
圆柱作平面运动，
α
系统具有两个自由度。
选三角块的水平位移 x1 和圆柱中心O沿三角块
斜面的位移 x2 为广义坐标，其中 x1 由静止 时三角块任一点位置计起，x2 由弹簧原长处计起
F F F M M (2P + Q)sin βδs − ( + + )δs − ( + )δϕ = 0
1q
2q
3q
1q
2q
得：
a = (2P + Q)g r2 sin β (2P + Q) r2 + 2Jg
方向平行于斜面向下.
25.2 第二类拉格朗日方程
直接用质点系的广义坐标的变分来表示各 质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推 得与系统自由度相同的一组独立的运动微 分方程
∂L
∂ q& j
−
∂L
∂q j
=
0
应用动力学普遍方程解题时的注意事项：
（1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。
（2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。
拉格朗日方程得解题步骤 （1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标
i=1
i=1
动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理
说明 在具有理想约束的质点系中，在 运动的任一瞬时，作用在其上的主动力 系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何 一组虚位移上的虚功之和等于零。
例25.1 如图所示，有两个半径皆为 r的轮子A，B，轮心通过光滑圆柱铰链
与直杆AB相连，在倾角为 β的固定不
⋅
F j=1 i=1 i
∂ rri ∂q
n
∑ r + (− m a j=1
)•
ii
∂ rri ∂q
]δ
q j
=
0
j
j
r n
Q ∑ r r =
F q j i=1
∂ •i i∂
广义达朗伯惯性力：
G
j
=
n
∑
i =1
(−
mi
ari)
j
•
∂ rri ∂q
j
先引入两个经典的拉格朗日关系式：
（1） 第一个经典拉格朗日方程
cos(π −ϕ)] + 1 ( 1 m
CA
2 12
2)ϕ& 2
l = 1 m[x&2 + ( l ϕ&)2 + 2x&( l ϕ&) cosϕ ] + 1 m 2ϕ& 2
2
2
2
24
l = 1 mx&2 + 1 m 2ϕ& 2 + 1 mlx&ϕ& cosϕ
2
6
2
故系统的动能为 T = T 1 +T 2
如图 。因为作用在系统上的主动力mg 和弹性力 均为有势力，所以，可用拉格朗日方程式求解
d dt
∂L
(∂ x&1)
−
∂L
∂ x1
=
0
d dt
(
∂L
∂ x&2
)
−
∂L
∂ x2
=
0
l0
k
x2
o
ve
α
mg mg
取圆柱中心O为动点，动系与三角块固连， 定系与水平面固连，则O点的绝对速度
vrO = vre + vrr
i
∂ 2 i i =1
•
ii i
•i
m v &q ∂&q j i=1 i i ∂
j
∂T
∂q
=
n
∑
i =1
mi
vr
i
•
∂ ∂
vri q
j
j
n
将以上公式代入 G ∑ m v v ∑ v = −
d [(
q& m v q j
i=1 dt
∂
n
)• i ]+ (
ii ∂
i =1
j
∂ )• i ii ∂
j
得G
j
（3）设过A的水平面为重力势能的零势能面， 弹簧原长为弹性势能的零势能点 则系统的势能为
l V = 1 k(x − )2 + mg l cosϕ
2
0
2
（4）系统的拉格朗日函数为
L=T-V
(5) 计算导数
∂L ∂x&
=
(
3 2
M
+
m)
x&
+
1 2
mlϕ&
cosϕ
d dt
∂L ∂x&
=
(3 2
M
+
m) &x& +
j
j
(i = 1,2...n) （25.6)
代入 ∑ rr ∑ m ar rr n
(
r F
i
+
r F
iq
)δ
i =1
i
=
0或者
n
（
r F
i =1
i
−
)δ = 0
ii
i
得
n
∑
i =1
(Fr
i
−
mi
ari)
⋅
k
∑
j =1
∂ ∂
rriδ q
q
j
=
0
（25.7）
i
交换上式
求和顺序得
广义主动力： k n
∑ ∑ r [
第二十五章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程
25.1 25.2
动力学普遍方程
例题1
第二类拉格朗日方程
例题2 例题3 例题4 例题5
第二十五章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
根据达朗伯原理和虚位移原理，可 以导出非自由质点的动力学普遍方程。 利用它解决问题时，可以避免约束反力 在动力学方程中的出现，比较方便!
2
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0
2
0
其中
l0
=
l
−
mg k
（4）系统的拉格朗日函数
r& r l l L = T − V = 1 m( 2 + 2θ&2 ) − mg(l − r cosθ ) − 1 k(r − )2 + 1 k(l − )2
2
2
02
0
（5）分别计算导数
∂L ∂r&
=
mr&
d dt
∂L ∂r&
=
m&r&
l ∂L = mrθ&2 + mg cosθ − k(r − )
动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 P，重心都在轮上，对轮心的转动惯量 为J，连杆重Q。求连杆运动的加速度。
M a1q
A
F 1q P
M 2q
F B 2q
F 3q QP
解: (1)以两轮和连杆组成
的系统为研究对象 系统所受约束为理想约束
β
(2)系统所受的主动力为重力P,P和Q (3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为
∂ q dt ∂ q
j
j
∂ rri = d ( ∂ rri )
∂ q dt ∂ q
j
j
对于不变质点系 G
j
=
n
−∑[ i =1
d dt
(m i
vi)]
•
∂ ri ∂q
j
由
d dt
[(mi
vi
)
•
∂ ri ∂q
]=[d dt
(mi vi)] •
∂ ri ∂q
+ (mi vi)
d dt
( ∂ri ∂q
)
第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的
非自由质点系的拉格朗日方程 ------模拟和求解复杂系统的动力学问题
第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动
力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以 推得。
----可以直接写出个数与系统自由 度相同的独立运动方程。
25.1 动力学普遍方程
设一个质点系由n个质点组成，
第i个质点的质量为mi
在任意瞬时,加速度为ari
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r r m a Fiq
=
−
ii
则
约束反力的合力
r F
i
+
r N
i
+
r F
iq
=
0
(i = 1,2,..........n)
(25.1)
作用于此质点上 的主动力的合力
达朗伯惯性力
点积虚位移 δ ri
F N F r ( + + )δ = 0