高中数学_必修二_圆与方程_经典例题整理

(B) 18
(C) 6 2
(D) 5 2
八、综合问题
例8
若圆
2
x
2
y
4x
4 y 10
0 上至少有三个不同的点到直线
的取值范围是 ( )
(A) [ , ] 12 4
5 (B) [ , ]
12 12
(C) [ , ] 63
(D) [0, ] 2
l : ax by 0 的距离为 2 2 ，则直线 l 的倾斜角
2.点 P（5a+1， 12a）在圆（ x－ 1） 2+y2=1 的内部，则 a 的取值范围是
A. ｜ a｜＜ 1
1
1
B. a＜ C.｜ a｜＜
13
5
1 D .｜a｜＜
13
3.已知圆的方程为（ x－ a） 2+（ y－ b） 2=r2（ r>0），下列结论错误的是
A.
当
22
a +b =r
2 时，圆必过原点
｜ O1O2｜＝｜ r1－ r2｜ 两圆内切； ０＜｜ O1O2｜＜｜ r1－ r2｜ 两圆内含 .
●点击双基 1.方程 x2+y2－2（t+3）x+2（ 1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则 t 的取值范围是
1 A. － 1<t<
7
11 B.－ 1<t< C.－ <t<1
27
D .1< t <2
B.当 a=r 时，圆与 y 轴相切
C.当 b=r 时，圆与 x 轴相切 D .当 b<r 时，圆与 x 轴相交
●典例剖析 【例 2】 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－ 3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ，求此圆的方程 .
2
夯实基础
1.方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0（ D 2＋ E2－ 4F＞ 0）表示的曲线关于
1
圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件 .圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围
.
(1) 圆的标准方程： (x － a)2＋ (y－ b)2＝ r2，其中 (a， b)是圆心坐标， r 是圆的半径；
(2) 圆 的 一 般 方 程 ： x 2＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 (D 2 ＋ E2 － 4F ＞ 0) ， 圆 心 坐 标 为 (
x
3
1 (D) y 3x 或 y x
3
四、弦长问题
例 4 设直线 ax y 3 0 与圆 ( x 1) 2 ( y 2)2 4 相交于 A、 B 两点，且弦 AB 的长为 2 3 ，则 a
.
五、夹角问题
例 5 从圆 x2 2 x
1
(A)
2
3
(B)
5
y2 2y 1 3
(C)
2
0 外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心 C (a,b ) 和半径 r ，即得圆的标准方程 ( x a) 2 ( y b)2 r 2；已知圆的标准方程 (x a) 2
即得圆心 C (a, b) 和半径 r ，进而可解得与圆有关的任何问题 .
一、求圆的方程
例 1 以点 (2, 1) 为圆心且与直线 3x 4 y 5 0 相切的圆的方程为 ( )
培养能力 7.已知实数 x、 y 满足方程 x2+y2－ 4x+1=0. 求
(A) ( x 2) 2 ( y 1) 2 3
(B) ( x 2) 2 ( y 1) 2 3
(C) ( x 2) 2 ( y 1) 2 9
(D) (x 2) 2 ( y 1)2 9
( y b) 2
r2，
二、位置关系问题
例 2 直线 x y 1与圆 x 2 y2 2ay 0 (a 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是 ( )
DE , )，半 径为 r＝
22
D 2 E 2 4F
2
2. 直线与圆的位置关系的判定方法 . (1) 法一：直线： Ax ＋By ＋ C＝ 0；圆： x2＋ y2＋Dx ＋ Ey ＋ F＝ 0.
Ax By C 0 消元 一元二次方程
x 2 y2 Dx Ey F 0
判别式
0 相交 0 相切 0 相离
(2) 法 二 ： 直 线 ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ； 圆 ： (x － a)2 ＋ (y － b) 2 ＝ r2 ， 圆 心 (a ， b) 到 直 线 的 距 离 为 d ＝
(D) 0
()
六、圆心角问题
例 6 过点 (1, 2 ) 的直线 l 将圆 ( x 2)2 y 2 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线
l 的斜率 k
.
七、最值问题
例 7 圆 x 2 y2 4 x 4 y 10 0 上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是 ( )
(A) 30
4.（2004 年全国卷Ⅲ， 16）设 P 为圆 x2+y 2=1 上的动点， 则点 P 到直线 3x－ 4y－ 10=0 的 距离的最小值为 ____________.
5.（ 2005 年启东市调研题）设 O 为坐标原点，曲线 x2+y2+2x－ 6y+1=0 上有两点 P、 Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称， 又满足 OP · OQ =0. （1）求 m 的值；（2）求直线 PQ 的方程 .
A. D+E=0B.
B.D +F=0 C.E+F=0
D. D +E+F =0
x+y=0 成轴对称图形，则
2.（ 2004 年全国Ⅱ， 8）在坐标平面内，与点 A（ 1，2）距离为 1，且与点 B（ 3， 1）距离为 2 的直线共有
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D .4 条
22
3.（ 2005 年黄冈市调研题）圆 x +y +x－6y+3=0 上两点 P、 Q 关于直线 kx－ y+4=0 对称，则 k=____________.
Hale Waihona Puke Baidu
Aa Bb C A2 B2
dr dr dr
相交 相切 . 相离
3. 两圆的位置关系的判定方法 . 设两圆圆心分别为 O1、 O2，半径分别为 r1、 r2， ｜ O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜ O1O2｜＞ r1＋ r 2 两圆外离；
｜ O1O2｜＝ r1＋ r 2 两圆外切； ｜ r1－ r2｜＜｜ O1O2｜＜ r1＋ r2 两圆相交；
(A) (0, 2 1)
(B) ( 2 1, 2 1)
(C) ( 2 1, 2 1)
(D) (0, 2 1)
三、切线问题
例 3 (06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆 x2
y2
5 4x 2y
0 相切的直线方程为 (
)
2
(A) y
1 3x 或 y x
3
1
(B) y 3x 或 y
x
3
1
(C) y 3x 或 y