计算流体力学(中科院力学所)_第9讲-有限体积法1

单侧离散，可推进求解， 单侧离散，可推进求解，免受 解方程组之苦。 解方程组之苦。真简单
4 Copyright by Li Xinliang
q n + t
n n A q = RHS n x
迭代收敛后q趋于 ， 迭代收敛后 趋于0， 趋于 精度由右端项决定
可是， 有正有负 有正有负， 可是，A有正有负， 无法单侧差分化
u nj +1 u n j
Taylor分析 分析
Fourier分析 分析
t
+a
u n u n1 j j x
=0
u nj = An e
ikx j n +1 ikx j
~ k ikx j 修正波数 u j = e , Fj = e 3. 激波捕捉格式 x GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO ~ k ikx 4. Euler (N-S) 方程的通量分裂 逐点分裂、 建议使用Roe平均） 平均） 逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用 平均
若采用零阶重构： 若采用零阶重构
u n ( x) = u j x j 1/ 2 ≤ x ≤ x j +1/ 2
f j +1 / 2 = au j
假设时间步长足够小
x j +1 / 2 a(t t n ) ∈ [ x j 1 / 2 , x j +1 / 2 ]
则：
u n ( x j +1 / 2 a (t t n )) = u j
0阶重构 阶重构—— 1阶精度 阶重构 阶精度 线性重构—— 2阶精度 线性重构 阶精度
x a 2 n n = 1 tn+1 au f j +1/ 2 ) D j t j +1 / 2 (t ) dt = a (u j + D j t ∫tn 2 2
u jn +1 u jn t + f jn+1 / 2 f jn1 / 2 x
x = x(ξ ,η , ζ ) y = y (ξ ,η , ζ ) z = z (ξ ,η , ζ )
U f1 f 2 f 3 V1 V2 V3 + + + = + + t ξ η ζ ξ η ζ
f1 = J 1 (ξ x f1 + ξ y f 2 + ξ z f 3 )
=0
积分方程
离散化
u jn =
1 x
∫
x j +1 / 2
x j 1 / 2
u n ( x)dx
u jn → u n (x)
1 u n ( x) → f jn+1 / 2 = t
重构（ 重构（Reconstruction)
1 f jn+1 / 2 = t
∫
t j +1 / 2
t j 1 / 2
f j +1 / 2 ( x) dt
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实质： 把几何信息包含于离散过程中 实质：
9.1.1 有限体积法 的基本概念
u f (u ) + =0 t x
j-1/2 j+1/2
虽然简单，但有助 于建立基本概念
j+1
j-1
j
1. 全离散型过程 在控制体上积分原方程 控制体上积分原方程
∫ ∫
tn
1 u = x
n j
∫
x j +1 / 2
x j 1 / 2
u ( x)dx
n
空间平均 时间平均
提示： 提示：
u jn
f jn+1 / 2
1 tn+1 = ∫ f j +1/ 2 (t ) dt f t tn u jn +1 u jn f jn+1 / 2 f jn1 / 2 + =0 t x
An+1 q n+1 An1 q n1 j j j j 2x
= RHS n j
多对角方程组， 多对角方程组，不好解 多维情况） （多维情况）
x
= RHS n j
q n = ( RHS n + σAn1q nj1 ) /(1 + σAn ), j j j j
σ = t / x
如果能单侧差分 就好解了！ 就好解了！
n j +1 / 2
精确推导， 精确推导，不含误差
为区间内的空间及时 间平均值， 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 们理解为某点的值， 会产生误差
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u f (u ) + =0 t x
积分（精确） 积分（精确）
u jn +1 u jn t
+
f jn+1 / 2 f jn1 / 2 x
u f (u ) + =0 t x
方法2 方法
u n +1 u n j j t
以一维为例，多维可直接推广 以一维为例，
方法1： 方法 ：直接隐式离散
+ f jn++1/ 2 f jn+1/ 2 1 1 x =0
直接 求解
非线性方程组， 非线性方程组，计算量大
差量化
u n +1 u n t
+ [ f (u n +1 ) f (u n )] = [ f (u n )] x x
u f (u ) + = 0, f (u ) = au , a > 0 t x
需要得知时间演化信息， 需要得知时间演化信息，通常利用特征方程
u u +a = 0, a > 0 t x
Riemann解 解
u ( x, t ) = u0 ( x at )
f j +1 / 2 (t ) = au j +1 / 2 (t ) = au n ( x j +1 / 2 a(t t n ))
∫
t j +1 / 2
t j 1 / 2
f j +1 / 2 ( x)dt
反演（ 反演（evolution)
(1) 重构过程
j+1
A. 零阶重构，假设分片常数 零阶重构，
u n ( x) = u j x j 1 / 2 ≤ x ≤ x j +1/ 2
j-1
j
B. 线性重构，假设分片线性函数 线性重构，
强行单侧差分会不稳定的
σ = t / x
q + t [( A+ + A ) q n ] = RHS n x
n
q n + σ ( A+ q n A+1q n1 + A+1q n+1 A q n ) = RHS n j j j j j j j j j
1 LF分裂： A ± = ( A ± λ* ) → A + A = λ* 2
则方程为： 则方程为：
u jn +1 u jn t
+a
u jn u jn1 x
=0
等价于一阶迎风差分
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若采用线性重构
u n ( x) = u jn + D j ( x x j )
u ( x, t ) = u 0 ( x at )
u j +1 / 2 (t ) = u n ( x j +1/ 2 a(t t n )) = u jn + D j ( x j +1/ 2 x a(t t n ) x j ) = u jn + D j ( a(t t n )) 2
讲义、 流体中文网） 流体论坛” “ 讲义、课件上传至 www.cfluid.comห้องสมุดไป่ตู้(流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 流体中文网 基础理论 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
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求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况） 求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）
q n + t
如果单 侧离散
q n + t j
n n A q = RHS n x
中心（双侧）离散
q n + t j
A j q A j1 q
n n j n n j 1
计算流体力学讲义
有限体积法（ ） 第九讲 有限体积法（1）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼 力学所主楼219； 82543801 ； 知识点： 知识点：
有限体积法的基本概念—— 重构和反演 有限体积法的基本概念 迎风型有限体积法——Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解 迎风型有限体积法 求解器； 格式的新理解：近似 解 求解器 格式的新理解 多维迎风型有限体积法——坐标旋转 多维迎风型有限体积法 坐标旋转
t n+1
x j 1 / 2
(
x j 1 / 2
u f (u ) + )dxdt = 0 t x
含义： f在j+1/2点的值 含义： 在 点的值 注意与差分法的区别） （注意与差分法的区别）
∫
定义： 定义：
x j 1 / 2
x j 1 / 2
(u n +1 u n )dx +
∫
t n+1
tn
( f j +1 / 2 f j 1 / 2 )dt = 0
f (u
n +1
f ) f (u ) = A u , A = , u n = u n +1 u n u
n n n n n
线性化
q n ≡ u n
q n + t
n n A q = t [ f (u n )] ≡ RHS n x x
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已知项 线化微分方程
J 1 =
( x, y , z ) (ξ ,η , ζ )
坐标变换函数必须足够光滑 坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 必须足够光滑 实际问题： 外形复杂， 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 不足 有限体积法
简单、计算量小、 本身包含几何信息， 简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 易处理复杂网格 于提高精度 差分离散与几何解耦，复杂、 差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
j -1 -> j
* n j
(D + L + U)Q = RHS
近似LU分解
(1 + σλ )q + σA q
* n j
n j +1 j +1
= (1 + σλ )q
j+1> j
(D + L )D 1 (D + U)Q = RHS
两次扫描）， ），免受解方程组之苦 均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦
有限差分法的离散： 有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散： 有限体积法的离散：数值积分过程
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重构是有限体积的空间离散化 重构是有限体积的空间离散化 过程， 过程，有多种方法
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以线性方程为例） （2） 演化过程 （以线性方程为例） ）
1 tn+1 f jn+1/ 2 = ∫ f j +1/ 2 (t ) dt t tn
LD 1 UQ = RHS
以上描述适用于求解定常问题， 以上描述适用于求解定常问题，求解非定常 问题该过程可用于内迭代。 问题该过程可用于内迭代。
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L Q = RHS D 1 UQ = Q
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§ 9.1 有限体积法入门
有限体积法主要优势： 有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
u n ( x) = u jn + D j ( x x j )
Dj = u jn u jn1 x u jn+1 u jn x u jn+1 u jn1 2x
零阶重构与一阶重构示意图
or
Dj =
or
Dj =
或其他方法
C. 更高阶的重构例如 分片二次函数 （PPM）, WENO等 更高阶的重构例如: 等 ）
+a
=0
= a2 t ( D j D j 1 ) 2x =a
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Euler方程： 方程： 方程 演化过程可通过Riemann 演化过程可通过 解或近似Riemann解进行 解或近似 解进行
还是个三对 角的 奇思妙想： 奇思妙想：如果分成 两个子步， 两个子步，各自用单 侧值，就简单多了 侧值，
q n (1 + σλ* ) σA+1q n1 + σA+1q n+1 = RHS n j j j j j j
近似LU分解 近似LU分解 Step 1: Step 2:
q jn (1 + σλ* ) σA +1q jn1 = RHS n j j
ikx j
u nj +1 = A e
G = An +1 / An
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5. 隐格式求解的 隐格式求解的LU-SGS方法 方法
要点： 引入差量， 要点： a. 引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式（推进）化 单边差分，隐式代数方程显式（推进）
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知识回顾
1. 差分方法的基本概念： 差分方法的基本概念：
差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、 差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理 等价定理
u u +a =0 t x
2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数） 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）