自相关函数的估计
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方法三：利用DFT计算自相关函数的估计
1. 对长度为N的x[k]补零形成L点序列：
xL [k ](L 2N 1)
2.计算DFT：
X L [m] DFT{xL [k ]}
3.计算自相关函数的估计：
1 2 ˆ R x [n] IDFT{ X L [m] } N
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 分析：
已知平稳各态遍历随机序列单一样本的N个观测值，其自 相关函数估计的计算方法有：
N 1 1 ˆ [ n] (1) 根据定义： R x[k ]x[k n] x N k 0 1 ˆ (2) 利用卷积和： R x [n] x[n] * x[n] N
(3) 利用DFT
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
k 0
x[k ]x[k n ]
n N 1
2、自相关函数估计的计算
方法二：按照卷积和计算自相关函数的估计
自相关函数的估计由定义：
1 ˆ R x [ n] N
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
可以得到：
1 ˆ R x [n] x[n] * x[n] N
——卷积和
2、自相关函数估计的计算
n bia{Rx [n]} E{Rx [n]} Rx [n] Rx [n] N 1 2 var{Rx [n]} 2 {R [r ] R[r n]R[r n]} N r
( N |n|1) 1 随机信号高斯分布时 2 ( N | n | | l |)( R [n] R[n l ]R[n l ]) 2 N l ( N |n|1)
已知x[k]的N个观测值x[0]，x[1]，，x[N1]， 则自相关函数的估计为：
1 ˆ R x [ n] N
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
1 x[n] * x[n] N
( N 1) n N 1
1、自相关函数估计的质量
自相关函数估计的好坏，需要对自相关函数估 计值的偏差和方差来判断。
第六章 功率谱估计
6.4
•
自相关函数的估计
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
1、自相关函数估计的质量
2、自相关函数估计的计算
自相关函数的定义及其估计
X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本， 则X[k]的自相关函数可由样本x[k]的时间平均来实现：
N 1 Rx [n] lim x[k ]x[k n] N 2 N 1 k N
N 1 n
1 ˆ Rx [n] N
N 1n 1 ˆ [n] R x[k ]x[k n] x N k 0 ( N 1) n 0 N 1 1 ˆ x [n ] R x[k ]x[k n] N k n 1 N 1n x[l ]x[l n] N l 0
N，偏差、方差趋于零，是一致估计。 N 固定时，n N，偏差、方差较大。
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算自相关函数的估计 1 ˆ R x [ n] N
x[k]
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
0 n N 1
N1
0 x[k+n], n 0 n
N1n x[k+n], n 0 n N1n
ˆ x [n ] 1 解： 方法一：根据定义 R N
x[k ]
x[k n] n 0
n 1 n2 n 1 n 2
k 0
N 1
x[k ]x[k n]
1 {1, 0, 2, 0, 1} 3
{1, 0, 1} {1, 0, 1}
{1, 0, 1} {1, 0, 1} {0, 1, 0,1}
xL [k ](L 2N 1)
2.计算DFT： X L [m] DFT{x L [k ]}
ˆ [ n] 3.计算自相关函数的估计： R x
1 2 IDFT{ X L [m] } N
三 、小结
1、自相关函数估计的质量
N 1 1 1 ˆ 自相关函数的估计： R x [n] x[k ]x[k n] x[n] * x[n] N N k 0 n 估计值的偏差： bia{Rx [n]} E{Rx [n]} Rx [n] Rx [n] N 1 var{Rx [n]} 2 {R 2 [r ] R[r n]R[r n]} 估计值的方差： N r
2、自相关函数估计的计算 N 1 1 ˆ [n] x[k ]x[k n] 方法一：按照定义计算 R x N k 0 1 ˆ x[n] * x[n] 方法二：按照卷积和计算 R x [n] N
方法三：利用DFT计算
ˆ x [0] 2 / 3 R ˆ x [1] 0 R ˆ x [2] 1/ 3 R ˆ x [1] 0 R ˆ x [2] 1/ 3 R
{0, 0, 1, 0,1}
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 解： 方法二：利用卷积和计算
1 ˆ R x [n] x[ n] * x[n] N
1 {1, 0, 2, 0, 1} 3
结论：
自相百度文库函数具有偶对称性， 且 Rx [0] Rx [n]
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 解： 方法三：利用DFT计算 1.对x[k]补零形成L点序列：
1. 对长度为N的x[k]补零形成L点序列：
xL [k ](L 2N 1)
2.计算DFT：
X L [m] DFT{xL [k ]}
3.计算自相关函数的估计：
1 2 ˆ R x [n] IDFT{ X L [m] } N
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 分析：
已知平稳各态遍历随机序列单一样本的N个观测值，其自 相关函数估计的计算方法有：
N 1 1 ˆ [ n] (1) 根据定义： R x[k ]x[k n] x N k 0 1 ˆ (2) 利用卷积和： R x [n] x[n] * x[n] N
(3) 利用DFT
例1：已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。
k 0
x[k ]x[k n ]
n N 1
2、自相关函数估计的计算
方法二：按照卷积和计算自相关函数的估计
自相关函数的估计由定义：
1 ˆ R x [ n] N
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
可以得到：
1 ˆ R x [n] x[n] * x[n] N
——卷积和
2、自相关函数估计的计算
n bia{Rx [n]} E{Rx [n]} Rx [n] Rx [n] N 1 2 var{Rx [n]} 2 {R [r ] R[r n]R[r n]} N r
( N |n|1) 1 随机信号高斯分布时 2 ( N | n | | l |)( R [n] R[n l ]R[n l ]) 2 N l ( N |n|1)
已知x[k]的N个观测值x[0]，x[1]，，x[N1]， 则自相关函数的估计为：
1 ˆ R x [ n] N
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
1 x[n] * x[n] N
( N 1) n N 1
1、自相关函数估计的质量
自相关函数估计的好坏，需要对自相关函数估 计值的偏差和方差来判断。
第六章 功率谱估计
6.4
•
自相关函数的估计
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
1、自相关函数估计的质量
2、自相关函数估计的计算
自相关函数的定义及其估计
X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本， 则X[k]的自相关函数可由样本x[k]的时间平均来实现：
N 1 Rx [n] lim x[k ]x[k n] N 2 N 1 k N
N 1 n
1 ˆ Rx [n] N
N 1n 1 ˆ [n] R x[k ]x[k n] x N k 0 ( N 1) n 0 N 1 1 ˆ x [n ] R x[k ]x[k n] N k n 1 N 1n x[l ]x[l n] N l 0
N，偏差、方差趋于零，是一致估计。 N 固定时，n N，偏差、方差较大。
2、自相关函数估计的计算
方法一：按照定义计算自相关函数的估计 1 ˆ R x [ n] N
x[k]
N 1 k 0
x[k ]x[k n]
0 n N 1
N1
0 x[k+n], n 0 n
N1n x[k+n], n 0 n N1n
ˆ x [n ] 1 解： 方法一：根据定义 R N
x[k ]
x[k n] n 0
n 1 n2 n 1 n 2
k 0
N 1
x[k ]x[k n]
1 {1, 0, 2, 0, 1} 3
{1, 0, 1} {1, 0, 1}
{1, 0, 1} {1, 0, 1} {0, 1, 0,1}
xL [k ](L 2N 1)
2.计算DFT： X L [m] DFT{x L [k ]}
ˆ [ n] 3.计算自相关函数的估计： R x
1 2 IDFT{ X L [m] } N
三 、小结
1、自相关函数估计的质量
N 1 1 1 ˆ 自相关函数的估计： R x [n] x[k ]x[k n] x[n] * x[n] N N k 0 n 估计值的偏差： bia{Rx [n]} E{Rx [n]} Rx [n] Rx [n] N 1 var{Rx [n]} 2 {R 2 [r ] R[r n]R[r n]} 估计值的方差： N r
2、自相关函数估计的计算 N 1 1 ˆ [n] x[k ]x[k n] 方法一：按照定义计算 R x N k 0 1 ˆ x[n] * x[n] 方法二：按照卷积和计算 R x [n] N
方法三：利用DFT计算
ˆ x [0] 2 / 3 R ˆ x [1] 0 R ˆ x [2] 1/ 3 R ˆ x [1] 0 R ˆ x [2] 1/ 3 R
{0, 0, 1, 0,1}
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 解： 方法二：利用卷积和计算
1 ˆ R x [n] x[ n] * x[n] N
1 {1, 0, 2, 0, 1} 3
结论：
自相百度文库函数具有偶对称性， 且 Rx [0] Rx [n]
例1：自相关函数估计的计算 已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本 的N个观测值为x[k]={1, 0，1}，试计算该随机序 列的自相关函数估计。 解： 方法三：利用DFT计算 1.对x[k]补零形成L点序列：