章协方差分析研究生精品PPT课件
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33协方差及相关系数解析精品PPT课件
(1) ρXY 1. ——课本100页定理3.3
证明 : 考虑标准化随机变量
X X E( X ) 与Y Y E(Y ) ,
D( X )
D(Y )
则E( X ) E(Y ) 0,
D( X ) D(Y ) 1,
XY
Cov( X ,Y ) E( X E( X ))(Y E(Y ))
第三章
3.3 协方差及相关系数
一、协方差与相关系数的 概念及性质
二、相关系数的意义 三、协方差矩阵 四、内容小结
一、协方差与相关系数的概念及性质
对于二维随机变量 (X , Y )，除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量 之间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期 望和方差来说明，这就需要引进描述这两个分量 之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数， 但如何来刻画这种关系呢？
| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;
| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
定义：当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
注：需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关 系上看没有关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许 此时还存在别的关系
注 (1) 不相关与相互独立的关系
cn1 cn2 cnn
为 n 维随机变量的协方差矩阵.
例如
二维随机变量 ( X1, X2 ) 的协方差矩阵为 C c11 c12 c21 c22
其中 c11 E{[ X1 E( X1 )]2 },
c12 E{[ X1 E( X1 )][ X2 E( X2 )]},
c21 E{[ X2 E( X2 )][ X1 E( X1 )]}, c22 E{[ X 2 E( X 2 )]2 }.
协方差与相关系数 PPT
D(V ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 17
所以
Cov(U ,V ) Cov(2X Y , 2X Y )
Cov(2X , 2X ) Cov(2X ,Y ) Cov(Y , 2X ) Cov(Y ,Y )
所以D(t0X*-Y*)=0,由方差得性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1
其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X)、
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0、 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
协方差与相关系数
一、协方差得概念及性质 二、相关系数得概念及性质 三、协方差得关系式
§1 协方差
• 定义:设二维随机向量(X,Y)得数学期望 (E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称 它为随机变量X与Y得协方差,记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] • 协方差有计算公式
9 ， XY
1 3
，设
U
2X
Y
，
V 2X Y ， 求 UV .
解
Cov( X ,Y ) XY
D( X ) D(Y ) 1 3
49 2
D(U ) D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2Cov(2X ,Y )
4D( X ) D(Y ) 2 2 Cov( X ,Y ) 33
E( X ) (1) 0.15 1 0.35 0.20
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
FEyy(ad)jS1 k1 S1 N2k
Eyy(ad)jEyybw2Exx
k
S1 Eyy
b E 2 wi xxi
i1
k
[(Eyybw2Exx)(Eyy bwi2Exxi )]/(k1)
对于芬兰白酒专卖的问题，交通事故显然不是仅仅与销售方式有关，而把其 他变量都归为随机误差又太过粗糙．这样。我们就想到了引入其他变量．在
协方差分析的模型中，我们称之为协变量．
下面我们再看协方差分析数据结构：
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
从离差分解的角度我们来解释协方差分析
对于方差分析:
总离差=分组变量离差+随机误差(组内离差)
对于协方差分析:
总离差=分组变量离差+协变量离差+随机误差
Mslab @ TianjinUniv
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
ALBERT R.WLDT OLLI AHT
报告人:白寅
Mslab @ TianjinUniv
我们先来看一个问题：
芬兰由几十个小的自治区组成。在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄 断的。几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
k
n
概率论与数理统计协方差和相关系数精品PPT课件
X
E(
X
)Y
E(Y
)
D( X )
D( Y )
Cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
6
二、相关系数 (correlation coefficient)
1、定义:设(X,Y)是一随机向量，当D(X)>0, D(Y)>0,则称数
数
记作 XY
C值OV ( X ,Y )
D( X ) D(Y )
为了克服这一缺点，在计算协方差时，先对X与Y进行标准化.即:
征 X X E( X ) ,Y Y E(Y ) ,
D( X )
D(Y )
E( X ) 0, E(Y ) 0,
= Cov( X ,Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) E( X Y )
=
E
准化。
=
注意:更重要的是要知道如何将一个随机变量标准化.
2
§3 协方差和相关系 数
corrCeolvaatriioannce and coefficient
一、协方差
1、定义对: 于设向(X量,YX)和是Y一，随期机望向和量方，差称只E反{[映X-了E(变X)量][各Y-自E(的Y)情]}况，
没有相互之间的关系若。X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，
= (5) 切比雪夫不等式
D(X)= 2
(b a)2 D(X)=
12
1
D( X ) 2
设r.vX具有均值E(X)= ,D(X)=2，则对 >0 ,有不等式
=
P
X
2 2
P
X
2
1 2 .
1
P99T10： 设E(X),D(X)均存在,且D(X) ≠0
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
概率论与数理统计(第三版)第三章4协方差与相关系数-PPT精品文档
o 3 X , Y 不相关 E ( XY ) E ( X ) E ( Y ).
3. 相关系数的性质
是一个用来表征 X ,Y之间线性关系紧密 XY
程度的量 .
1 . 1 ρ XY
a , b使 1 的充要条件是 :存在常数 2 ρ XY
P { Y a bX } 1 .
0.3 0.7
0 . 3 0 0 . 7 1 0 . 7
0 . 6 1 0 . 4 2 1 . 4
0 . 9 50 . 7 1 . 4 0.03
c o v (,) X Y E X Y E X E Y
三、 相关系数的意义
1 . 当 ρ 表明 X,Y的线性关系联 XY 较大时
例1 已知 (X,Y)的分布律求Cov(X，Y)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: c o v (,) X Y E X Y E X E Y
EX ( Y ) 0 .9 5
x 0 1
EX ( ) EY ( )
y 1 0.15 0.45 0.6
2 0.15 0.25 0.4
3.设X和Y是随机变量，若
E(XkYL)
k, L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
k L 4.若 E {[ X E ( X )] [ Y E ( Y )] } 存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
二、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ独立 ,那么
3 Cov( X X , Y ) Cov( X , Y ) Co X , Y ). 1 2 1 2
协方差分析讲课课件
导入所需的库，如 NumPy和SciPy。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
总离差平方和修正值的定义和计算式如下：
kn
Tyy(adj)
(Yij(adj) Y )2
• 协方差分析可以解决这类问题。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 首先,我们看看方差分析数据结构：
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
实验前后，同一地区的交通事故量应该有某种联系！－－回归关系 销售白酒后交通事故多的地区有可能是因为其原来交通事故就比其他地区多！
直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数 据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数 据中的干扰因素从而提高精度。——我们知道，就算12个地区白酒的销售方式 是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与 白酒的销售有关而其他因素统一水平。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
总思路
Mslab @ TianjinUniv
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Y i(ja)d Y jij(X ij X ) u ti e ij
协变量修正后的 观测值
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
10.协方差分析-09 PPT课件
a. R Squared = .671 (Adjusted R Squared = .643)
有关参数估计
Par ameter Esti mates Dependent Variable: 胆固醇 Parameter Intercept YEAR [GROUP=1] [GROUP=2] a. This 95% Confidence Interval B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound 1.656 1.028 1.610 .121 -.471 3.783 9.417E-02 .018 5.162 .000 5.643E-02 .132 -.895 .406 -2.207 .038 -1.735 -5.619E-02 a 0 . . . . . parameter is set to zero because it is redundant.
一、协方差分析概述
1、关于协变量
在实际研究过程中，实验结果常常受一些非 处理因素（即混杂因素）的影响，在统计学上把 这些混杂因素称为协变量。 若忽视协变量（混杂因素）的作用，直接对
资料进行分析，则会因为混杂因素的影响而得出
片面的结论。
一、协方差分析概述
2、基本思想
协方差分析是将直线回归和方差分析结合应用的一种 统计方法，用来消除混杂因素对分析指标的影响。其基本
a y bx
一、协方差分析概述
应用条件要求 1= 2，但由于抽样误差b1与
b2不一定恰恰相等，故取公共斜率（bc）
组内l xy bc 组内l xx
, 则：y1 y 1 bc ( x1 x 1 ) , y2 y 2 bc ( x 2 x 2 )
方差分析与协方差分析(共52张PPT)
类错误的概率大大增加：如6次检验H0的概率是时的误差为：6 。
方差分析概念
• 第一类因素：可以控制的控制因素 • 第二类因素：不能控制的随机因素
• 受前两类因素影响的事物为观察变量
• 方差分析目的：分析控制变量的不同水平是否对观察变量产生 了显著影响，检验各个水平下观察变量的均值是否相等
方差分析分类之一
般并不要求检验总体的正态性。
(2)变异可加性。各因素对离差平方和的影响可以分割成几个可 以加在一起的部分。（多因素） (3)独立性。观察对象是来自所研究因素的各个水平之下的独立随 机抽样
(4)方差齐性(homogeneity of variance)，也称变异的同质性，各
个水平下的总体具有相同的方差。这是方差分析一个很重要的前 提，因此在进行方差分析之前，应当进行方差齐性检验。
配伍设计(Randomized block design) 随机区组或双因素无重复试验设计.
交双叉因设 素计（：无安交进排互两作行种用评或）两试价种验以的。上方协处差理分变因析素表量，一定要是连续数值型。
与LSD方法基本相同。
析因设计• ：安非排两定种量或两方种以差上分处理析因素：，因变量为定序变量
协方差分析的假设
• 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
方差分析概念
• 第一类因素：可以控制的控制因素 • 第二类因素：不能控制的随机因素
• 受前两类因素影响的事物为观察变量
• 方差分析目的：分析控制变量的不同水平是否对观察变量产生 了显著影响，检验各个水平下观察变量的均值是否相等
方差分析分类之一
般并不要求检验总体的正态性。
(2)变异可加性。各因素对离差平方和的影响可以分割成几个可 以加在一起的部分。（多因素） (3)独立性。观察对象是来自所研究因素的各个水平之下的独立随 机抽样
(4)方差齐性(homogeneity of variance)，也称变异的同质性，各
个水平下的总体具有相同的方差。这是方差分析一个很重要的前 提，因此在进行方差分析之前，应当进行方差齐性检验。
配伍设计(Randomized block design) 随机区组或双因素无重复试验设计.
交双叉因设 素计（：无安交进排互两作行种用评或）两试价种验以的。上方协处差理分变因析素表量，一定要是连续数值型。
与LSD方法基本相同。
析因设计• ：安非排两定种量或两方种以差上分处理析因素：，因变量为定序变量
协方差分析的假设
• 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
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检验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后
同一个体两个不同时间的观测
两个个体的实验观测结果相互独立 两个不同时间观测结果常不相互独立
对差数用成对资料 t 检验推论两种处理 对差数用成对资料 t 检验推论该处理有
有无差别
无作用；
处理前后的相关与回归分析。
重复测量设计(单因素)
受试者编号
1 2 3 4 5 6 7 8
受试者血糖浓度(mmol/L)
原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离 回归平方和或剩余平方和，记为SS剩。
SS总 SS回 SS剩
F SS回/ 回 MS回
SS剩 / 剩
MS剩
F MS组间 MS组内
SS总
(Y Y )2
Y 2 ( Y)2 n
SS回
blXY
l
2 XY
l XX
SS剩
SS总SS回l 源自y1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方 法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2 个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目 的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再 来比较修正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。
3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
处理。
单因素方差分析变异构成
个体变异
处理因素
随机误差
组间变异
• SS组间
总变异
SS 总
随机误差
组内变异
SS组内
个体变异
各种变异的表示方法
• SS总 • 总 • MS总
SS组内 组内 MS组内
三者之间的关系：
SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
• SS总 • 总
2.各组间不同质：但在医学科研中常遇到以 下情况：如在食品营养的动物实验中，各组动物 所增加的平均体重不仅与各种饲料的营养价值有 关，还与各组动物的初始体重、进食量有关。初 始体重、进食量都是影响观察指标的变量，亦称 混杂因素，在统计分析中又称协变量；考虑协变 量影响的方差分析，即为协方差分析。
概念
lx2y lxx
(重点）
离均差4种表达方式平方和
第一节 协方差分析的基本思想和步骤
• 协方差分析（analysis of covariance）是 把直线回归分析与方差分析结合起来的一种统计 分析方法，用来消除混杂因素对处理效应的影响， 提高分析结果的真实性。属多元统计方法范畴。
一 基本思想
1.各组间同质： 在多个样本均数比较的方 差分析中，我们要求除处理因素外，其他影响 观察指标的因素应齐同，即各组间应有同质基 础。举例说明。
重复测量设计与随机区组设计区别 重复测量设计 ●处理因素在区组间（受试者）随机分配； ●区组内各时间点固定，不能随机分配；
区组内实验单位彼此不独立。
随机区组设计 ●处理因素在区组内随机分配； 每个区组内实验单位彼此独立。
• 请设计一个实验：
• 饮食（肉食者，素食者）与运动强度（轻、 中、重）对脉搏的影响（人群研究）。
进食量 线性 性别
处理因素
不同蛋白质
增长体重
窝别
出生体重 线性
• 例如，在上述的营养研究中，若要比较不同 饲料组的动物增重有无差别，而动物的增重又与 进食量、初始体重有线性关系时，可先用直线回 归的方法，找出各组因变量（增重）与协变量 （进食量或动物体重）之间的数量关系，求得在 假定协变量相等时的修正均数，然后用方差分析 比较修正均数间的差别。
二 、协方差应用条件及其用途
1．协方差分析的应用条件
(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：
.
2 1
2 2
2 k
(2)各样本的X与Y呈直线回归关系，即： i 0 ;且各组间回
归直线平行（组间差别无统计学显著性意义） ，即：
1 2 k 在做协方差分析之前，须先进行方差齐性检验、正态性
组内均方:MS组内=SS组内 /(N−k)。 • 组间变异(variation among groups)：（SS组间 ν组
间=（k−1）, 组间的均方：MS组间=SS组间 /(k−1)。
配对设计与前后测量设计的区别与联系
配对设计
前后测量设计
两种处理作用于同一对的两个个体 一种处理作用于同一个体
可以对两个个体同时观测
放 置 时 间（分）
0 5．32 5．32 5．94 5．49 5．71 6．27 5．88 5．32
45 5．32 5．26 5．88 5．43 5．49 6．27 5．77 5．15
90 4．98 4．93 5．43 5．32 5．43 5．66 5．43 5．04
135 4．65 4．70 5．04 5．04 4．93 5．26 4．93 4．48
方差分析（analysis of variance, ANOVA）
• 应用范围
• 1.用于两个或两个以上样本均数的比较
• 2.分析两个或多个研究因素的交互作用
• 3.回归方程线性假设检验等。
• 应用条件
• 1.各样本是相互独立的随机样本；
• 2.各样本来自正态分布总体
• 3.各总体方差齐。
•
如果不符合上述条件就要对资料进行
讲课内容
第一节 协方差分析的基本思想与步 骤(重点)
第二节 完全随机设计资料的协方差 分析
第三节 随机区组设计资料的协方差 分析
复习方差内容
• 1.方差分析的基本思想 • 2.成组设计的多个样本均数比较 • 3.配伍组设计的多个样本均数比较 • 4.多个样本均数的两两比较 • 5.重复测量方差分析（与方差对应）
p(x,y)
直线回归的变异来源
( y y)2 ( yˆ y)2 ( y yˆ)2
( y y)2 ：反映了y的总变异程度，称为y的总平
方和，记为 SS总 ；
( yˆ y)2 ：映了由于y与x间存在直线关系所引
起的y的变异程度，称为回归平方和，记为 SS回 ；
( y yˆ)2 ：反映了除y与x存在直线关系以外的
SS配伍间 配伍间 MS配伍间
变异间的关系
SS组内 组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
变异之间的关系：
• SS总= SS组内+ SS组间+ SS配伍间
= 总 组内+ 组间+配伍间
方差分析的基本思想
• 总变异(total variation)：SS总 ν总=（N−1）。 • 组内变异(variation within groups)：SS组内 ν组内=N−k，