圆切线长定理及弦切角练习题
切线长定理综合练习题
切线长定理综合练习题切线长度定理是初级数学中的一个重要知识点，它在几何、微积分等领域中具有广泛的应用。
本文将通过一系列的综合练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线长度定理。
练习题一：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，切线与弦的交点分别为B、C。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与圆相切的点A到圆心O的距离等于半径r，即AO = r。
其次，根据弦的定义，弦所对的圆心角等于切线与弦所对的圆心角，即角BOC = 欧，且BO = OC = r。
根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题二：设点A为圆的外切点，弦BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
练习题三：设点A为圆的内切点，切线BC过点A。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，我们可以根据切线的定义，知道切线与切点到圆心的线段垂直，并且切点到圆心的线段等于半径r，即OA ⊥ BC且OA = r。
其次，根据正弦定理，我们可以得到BC的长度等于2r。
综合练习题四：设圆O的半径为r，点A是圆上一点，弦BC经过点A。
已知AC = x，AB = y。
求证：BC的长度等于2r。
解题思路：首先，根据角平分线定理，我们可以得出AO与BC垂直、且AO 平分∠BAC。
其次，根据勾股定理，我们可以得到AO² = AB² + OB²。
最后，结合前两个条件，我们可以得到BC的长度等于2r。
通过以上一系列的综合练习题，我们可以发现无论是切线与弦的交点在圆内还是在圆外，无论是给定弦长还是切线长，切线长度定理都成立。
切线长等于2r这个简单而有趣的定理，不仅在几何学中有着重要的应用，还在微积分、物理学等领域中被广泛使用。
初三数学切线长定理练习题
初三数学切线长定理练习题在初中数学中，学习切线是一个重要的内容，而切线的长度计算更是基础中的基础。
接下来，本文将为同学们提供一些切线长定理的练习题，帮助大家巩固和应用相关知识。
题目一：求切线长已知一个圆的半径为5cm，切线与半径的夹角为60°，求切线的长解题思路：根据数学知识，切线长定理表达式为：切线长 = 2 * 半径 * sin(夹角/2)。
其中sin函数需要转化为角度制进行计算。
解题步骤：1. 将给定的夹角60°转化为弧度制。
60° = π/3。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 5cm * sin(π/6)≈ 2 * 5cm * 0.5= 5cm。
因此，切线的长为5cm。
题目二：求切线长已知一个半径为8cm的圆，切线与半径的夹角为45°，求切线的长度。
解题思路：同样利用切线长定理，求解切线的长度。
解题步骤：1. 将给定的夹角45°转化为弧度制。
45° = π/4。
2. 代入切线长定理进行计算。
切线长= 2 * 8cm * sin(π/8)≈ 2 * 8cm * 0.383≈ 6.128cm。
因此，切线的长约为6.128cm。
题目三：已知切线长在一个半径为10cm的圆上，有一条长为12cm的切线，求切点与圆心连线和切线的夹角。
解题思路：由切线长定理的逆运算可得，夹角 = 2 * arcsin(切线长/2 * 半径)。
其中，arcsin函数结果需要转化为角度制。
解题步骤：1. 代入已知数据进行计算。
夹角 = 2 * arcsin(12cm/(2 * 10cm))≈ 2 * arcsin(0.6)≈ 73.74°。
因此，切点与圆心连线和切线的夹角约为73.74°。
通过以上练习题的解答，我们可以巩固切线长定理的应用，提高解题能力。
在实际问题中，我们常常需要用到切线长定理，因此熟练掌握此定理对于数学学习和实际运用都非常重要。
郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
郭氏数学-圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥A B于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
圆的切线、切线长、线切角
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。
例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。
例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
第三章圆之切线长定理练习北师大版2024—2025学年九年级下册
第三章圆之切线长定理练习北师大版2024—2025学年九年级下册一、选择题1.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．102.如图，一圆外切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．383.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化4.如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°第1题第2题5.如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC 的度数为（）A．70°B．90°C．60°D．45°6.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A．13 B．12 C．11 D．107.如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A．12 B．24 C．8 D．68.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9 B．10 C．3D．2第5题第6题第7题第8题二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是．10.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为．11.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm ，则此光盘的直径是cm．12.如图，MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若∠AMB=60°，AB=1，则⊙O的直径等于．第9题第10题第11题13.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为．14.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．15.如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB=4，AC=5，AD=1，那么BC的长为．16.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是．三、解答题17.如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．18．已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．19．如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．20．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．21.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求的值．。
切线长定理练习题
切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。
通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。
练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。
求切线的长度。
解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。
练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。
求切线的长度。
解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。
圆的半径等于直径的一半，即5 cm。
接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。
练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。
求切线的长度。
解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。
切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。
即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。
圆弧、切线、弦练习题
圆弧、切线、弦练习题问题1：圆弧（Arc）给定一个半径为10 cm的圆，如图所示，求圆弧AB的长度。
解法：根据圆的性质，圆的周长等于直径和半径的关系，我们可以使用圆的周长公式来求解：周长= 2 × π × 半径周长 = 2 × 3.14 × 10 cm周长≈ 62.8 cm因此，圆弧AB的长度为62.8 cm。
问题2：切线（Tangent）给定一个半径为8 cm的圆和切线CD，如图所示，求切线CD 的长度。
解法：利用切线的性质，切线与半径的垂直关系，我们可以使用勾股定理来求解：CD² = AC² - AD²由于AC是半径，AD是切线与半径的垂直距离，根据勾股定理，我们可以计算出CD的长度。
AC = 8 cmAD = 6 cmCD² = 8² - 6²CD² = 64 - 36CD² = 28CD ≈ √28 cm因此，切线CD的长度约为5.29 cm。
问题3：弦（Chord）给定一个半径为12 cm的圆和弦EF，如图所示，求弦EF的长度。
解法：利用弦的性质，弦与半径的垂直关系，我们可以使用勾股定理来求解：EF² = 2 × OA² - 2 × OA² × cosθ其中，OA是半径的长度，θ是弦与半径夹角的角度。
OA = 12 cmcosθ = 0.866 (取自查表或计算器)EF² = 2 × 12² - 2 × 12² × 0.866EF² = 288 - 248.832EF² ≈ 39.168EF ≈ √39.168 cm因此，弦EF的长度约为6.26 cm。
切线长定理练习题
切线长定理练习题一、选择题1、如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．43D．83答案：B2、如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD = 20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50答案：C解析：由切线长定理，AD=AE=20，BD=BF，CE=CF，△ABC的周长为AB+AC+BF + CF = AB+AC +BD + CE = AD+AE= 40。
3、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（）A．21B．20C．19D．18答案：D解析：作图如下：斜边AB =AD+BD =8，根据切线长定理AF=AD，BE=BD，则AF+BE=8；由切线的性质，OE⊥BC、OE⊥AC，四边形OECF为正方形，CE=CF=1。
于是△ABC的周长为8+8+2 = 18。
4、如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD =3，BC = 6，则AB+CD的值是（）A．3B．6C．9D．12答案：C解析：如下图，不妨设AB、AD、CB、CD分别与⊙O相切于点E、F、H、G，由切线长定理，AE=AF，BE=BH，CH=CG，DF=DG，于是AD+BC = AF+DF+BH+CH = AE+BE+DG+CG = AB + CD，所以AB+CD的值为3+6 = 9。
5、如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P。
若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12B．122C．62D．63答案：C解析：连接CP，作CD⊥OB，则OA与⊙C相切于点P，OB与⊙C相切于点D。
易知四边形CDOP是正方形，所以OP=CP=6，∠POC=45°，OC = 62。
二、填空题1、如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm。
弦切角定理例题
弦切角定理例题一、在圆O中，弦AB与切线CD在C点相交，若∠ACB为锐角，则下列哪个角等于∠ACB 的一半？A. ∠ADCB. ∠OCDC. ∠CBAD. ∠OAC（答案）B二、已知圆P中，弦MN与过圆上一点Q的切线QR在R点相交，若∠MQR=40°，则∠MPN 的大小为？A. 20°B. 40°C. 80°D. 无法确定（答案）A三、在圆S中，弦EF与切线GH在G点相交，若∠EGF=120°，则∠GSH的大小为？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即∠GSH = 1/2 * (180°-∠EGF) = 30°，但考虑到切线与半径垂直，∠GSH实际应为与切线相邻的角，即90°-30°的补角，在此情境下应理解为弦切角的外角，故直接取弦所对劣弧的圆周角一半60°为答案，具体解释依题目设定而异）四、圆T中，弦AB与切线CD相交于点C，若∠CTA=50°，则∠ACB的大小为？A. 25°B. 50°C. 65°D. 100°（答案）A（注：∠CTA为圆周角，弦切角∠ACB应为其一半）五、在圆U中，弦XY与切线ZZ'在Z点相交，若弦XY所对的劣弧圆心角∠UYX=100°，则弦切角∠UXZ的大小为？A. 25°B. 50°C. 75°D. 100°（答案）B（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即劣弧圆心角的一半）六、圆V中，弦PQ与切线RS在R点相交，若∠VRS=90°，且弦PQ所对的优弧圆心角为240°，则∠VPQ的大小为？A. 30°B. 60°C. 120°D. 无法确定（答案）C（注：利用弦切角定理及圆内角性质，弦所对优弧圆心角补角为120°，弦切角等于弦所对劣弧圆周角，即补角的一半60°，而弦PQ所对圆周角∠VPQ与弦切角在同一直线上，和为90°，故∠VPQ=120°-弦切角（此处弦切角与题目无关，直接由优弧圆心角得出∠VPQ）七、在圆W中，弦LM与切线NO在N点相交，若∠WNO=90°，且已知弦LM所对的圆心角为120°，则∠LNM的大小为？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即60°，但此处需理解∠LNM为弦LM 与切线NO夹角的外角，直接由弦所对圆心角得出劣弧圆周角为60°，弦切角为其补角的一部分，在此情境下直接取60°为答案）八、圆X中，弦GH与切线IJ在I点相交，若∠GIX=45°，则弦GH所对的圆心角大小为？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°（答案）B（注：弦切角等于弦所对圆周角的一半，即∠GIX为弦GH所对圆周角的一半，故弦GH所对的圆周角为90°，圆心角等于其所截弧的圆周角两倍，在此情境下直接理解为弦所对劣弧圆心角）。
(完整word版)圆切线长定理及弦切角练习题
切线长定理及弦切角练习题（一）填空1.已知：如图7- 143,直线BC切。
O于B点，AB=AC AD=BD那么/ A= ______ :團7-1432 .已知：如图7- 144,直线DC与O 0相切于点C,AB为。
0直径，AD丄DC于D, / DAC=28 狈忆CAB= ___ .3. 已知：直线AB与圆0切于B点，割线ACD与O 0交于C和D两点.BD = 160* , BC^60° ,则厶二 _______ .4. ______________ 已知：如图7- 145, PA切。
0于点A,割线PBC交O O于B和C两点，/ P=15，/ ABC=47，则/ C= .F5. ___________________________ 已知：如图7- 146,三角形ABC的/C=90，内切圆0与厶ABC的三边分别切于D, E, F 三点，/ DFE=56，那么/ B= .6. ________________________________________________________________________ 已知：如图7 —147」ABC内接于。
O, DC切。
0于C点，/仁/2,则厶ABC为__________________ 三角形.7. 已知：如图7—148，圆0为厶ABC外接圆，AB为直径，DC切O 0于C点，/ A=36°, 那么/ ACD=___.K) 7-140（二）选择8 .已知：△ ABC内接于O 0,Z ABC=25，/ ACB=75°,过A点作O 0的切线交BC的延长线于P,则/ APB等于A. 62.5 ° ;B. 55°;C. 50°;D. 40°.9. 已知：如图7 —149, PA PB切。
0于A, B两点，AC为直径，则图中与/ PAB相等的角的个数为A. 1 个；B. 2 个；C. 4 个；D. 5 个.10. 已知如图7—150,四边形ABC助圆内接四边形，AB是直径, BCM=38，那么/ ABC的度数是11. 已知如图7—151, PA切于点A, PCB交O O于C, B两点, BP 交于E,则图中与/ CAP相等的角的个数是A. 1 个；B. 2 个；C. 3 个；D. 4 个.（三）计算12. 已知：如图7—152, PT与O0切于C, AB为直径，/ BAC=60 / ADC 与Z PCA的度数.MN切O O于C点，ZA. 38°；B. 52°；C. 68D. 42PCB过点O, AE1[],AD为O0—弦.求图7-15013. 已知：如图7- 153, PA 切。
切线长定理练习题
切线长定理练习题切线长定理，又称垂径定理，是几何学中的一条重要定理。
它描述了一个圆和一条切线之间的关系。
在本篇文章中，我们将探讨一些切线长定理的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
练习题一：已知一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，求切线的长度。
解答一：根据切线长定理，切线的长度等于圆的半径和切线与半径的长度的乘积的平方根。
因此，我们可以得出以下公式：切线长= √(r * x)练习题二：一个圆的半径为5cm，切线与半径的长度为12cm，求切线的长度。
解答二：根据练习题一的公式，我们可以得出：切线长= √(5 * 12) = √60 ≈ 7.746cm练习题三：一个圆的半径为10cm，切线的长度为15cm，求切线与半径的长度。
解答三：我们可以反过来使用切线长定理的公式来求切线与半径的长度。
将已知的切线长度和圆的半径代入公式，得到以下方程：15 = √(10 * x)对方程两边进行平方，解得：225 = 10 * x因此，切线与半径的长度为22.5cm。
练习题四：一个圆的半径为8cm，切线与半径的长度为6cm，求切线的长度和切线与半径的长度的乘积。
解答四：根据切线长定理的公式，我们可以得到切线的长度：切线长= √(8 * 6) = √48 ≈ 6.93cm而切线与半径的长度的乘积可以计算得出：切线与半径的长度的乘积 = 6 * 8 = 48练习题五：一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，切线的长度为y，求y 与x的关系。
解答五：根据切线长定理的公式，我们可以得到：切线长= √(r * x)将切线长用y表示，则得到以下方程：y = √(r * x)对方程两边进行平方，整理得到：y² = r * x通过此方程，我们可以得出y与x的关系。
总结：通过练习题的探讨，我们进一步理解了切线长定理的应用。
切线长定理在几何学中具有重要的意义，它不仅有助于解决实际问题，也可以帮助我们更好地理解圆和切线之间的关系。
九年级数学下直线与圆的位置关系-第二讲 切线长定理、弦切角
切线长定理【知识要点】1、切线长的概念．如图,P 是⊙Ｏ外一点,PA,ＰB 是⊙O 的两条切线，我们把线段P Ａ，ＰＢ叫做点P 到⊙O 的切线长.２、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.３、切线长定理的基本图形研究如图，ＰＡ，PB 是⊙O 的两条切线，A,Ｂ为切点.直线ＯP 交⊙O 于点D,E,交A Ｐ于C (１)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3）写出图中所有的相似三角形; (４)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础．【典型例题】：例1．如图所示,过半径为５cm 的⊙O 外一点P 引⊙O 的切线ＰA 、P Ｂ，连结PO 交⊙O 于点M,过M 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于点E 、D ，如果OP=13c ｍ,则PED 的周长为例2.已知：如图,P 为⊙O 外一点,PA ，ＰB 为⊙O 的切线, Ａ和B 是切点，ＢC 是直径.求证：AC ∥O Ｐ．例3.如图所示，在梯形A ＢC Ｄ中,ＡB ∥CD,AD ＝3，B Ｃ=2,半圆O 与ＡＤ、DC 、BC 都相切，且圆心O 在AB 上，则A Ｂ＝ ．· A PE M DBOADCB· O例４．如图所示,已知过⊙O 的直径AB 的两端及A Ｂ上任一点E 作⊙O 的三条切线A Ｄ、B Ｃ和CD ，它们分别交于D 、C 两点．求证:BC AD •为定值.例５．如图，已知A Ｄ是⊙Ｏ的直径，AB 、D Ｃ是⊙O 的两条切线,且ＡB+CD=B Ｃ,求证：BC 与⊙O 相切【典型练习】一、填空题1．如图１,AB 、ＡC 是⊙O 的切线,将OB 延长一倍到D ，若∠D ＡC=︒60，则∠D= . 2.如图2，PC 为⊙O 的切线，Ｃ是切点，P Ｏ交⊙O 于点Ａ，过A 的切线交P Ｃ于点Ｄ，ＣD:ＤP ＝1:2,ＡＤ＝2ｃm ，则⊙O 的半径长为 cm.3．如图3，⊙O 内切于等腰梯形A ＢＣD ，圆的半径r=5ｃｍ,等腰梯形的中位线长=12cm ，则梯形的周长为 ｃm ，面积为 2cm4.如下图1,ABC ∆外切于⊙Ｏ,Ｄ、E 、F 为切点,AB ＝5,B Ｃ=７，AC=８，则AD ＝ ,BE ＝ ，CF= .5．如下图2，ＰA 、P Ｂ是⊙O 的切线，A 、B 为切点，若⊙O 的半么为5,A Ｂ=８，则P Ａ= .·ADO BCE· AB CDO· ABODC图1 · AOD C P 图2· AODBC图3二、选择题。
(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
中考专题――切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。
AB 交PO 于点C ，则有如下结论： （1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】 如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。
高中数学选修4-1切线长定理及弦切角
高中数学选修4-1切线长定理及弦切角练习题（一）填空1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC 于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．（二）选择8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于[ ]A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为[ ]A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O 于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是[ ]A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB 过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是[ ]A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．（三）计算12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O 交于B，∠C=33°．求∠P的度数．18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE ⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M 引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O 于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE 的度数．29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC 于F，AF=BF．求∠A的度数．30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线31．已知：如图7－170，与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE 交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC 于D．（1）求证：E为△ABC内心；（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．（四）证明39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．⊥EC于H，AO交BC于D．求证：BC·AH=AD·CE．*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O 于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC 于F．求证：AB=BF．52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．（五）作图53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．切线长定理及弦切角练习题(答案)（一）填空1．36° 2．28° 3．50° 4．32°5．22° 6．等腰 7．54°（二）选择8．C 9．D 10．B 11．C（三）计算12．30°，30°．13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．从而22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM=180°－∠PNA=42°．23．28°，39°．提示：连接PC．24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．25．100°．以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD．32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°．45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP=（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC=[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC．所以2∠PBC－∠BPQ=45°．（1）又∠PBC+∠BPQ=39°，（2）从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．（四）证明39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°．40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．44．提示：证法一延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．证法二连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证AG2=DG·AH=DG·CG．49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB 的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先所以CM=MD．。
圆---切割线定理与相交弦定理练习题(1)
圆---相交弦定理与切线长定理及切割线定理练习题一、选择题1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A. B. C. 5 D. 82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）图1A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A. B.C. D.6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
图212.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
第06讲 切线长定理与弦切角定理(原卷版)-2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(人教)
第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理 1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。
2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA 与PB 是圆的切线，切点分别是A 与B，则PA与PB 的长度是切线长。
2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。
圆心和这一点的连线两条切线的夹角。
即P A PB，∠APO∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒⌒AM⌒AM⇒AB OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。
三角形叫做圆的。
2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。
所以圆心到三角形三边的距离相等。
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切线长定理及弦切角练习题（一）填空1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．（二）选择8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为[ ]A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是[ ]A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是[ ]A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．（三）计算12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O 直径．求∠ADC的度数．16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度数．18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求BD的长．21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC， PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度数．29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度数．30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．31．已知：如图7－170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．（1）求证：E为△ABC内心；（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．（四）证明39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C 切于D，E两点．求证：AD∥BE．40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．⊥EC于H，AO交BC于D．求证：BC·AH=AD·CE．*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O于C，CD⊥OA 于D．求证：CA平分∠BCD．45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆 O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG 的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC于F．求证：AB=BF．52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB 于M．求证：CM=MD．（五）作图53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．切线长定理及弦切角练习题(答案)（一）填空1．36° 2．28° 3．50° 4．32°5．22° 6．等腰 7．54°（二）选择8．C 9．D 10．B 11．C（三）计算12．30°，30°．13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．从而22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM=180°－∠PNA=42°．23．28°，39°．提示：连接PC．24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．25．100°．以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD．32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°．45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP=（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC=[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC．所以2∠PBC－∠BPQ=45°．（1）又∠PBC+∠BPQ=39°，（2）从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．（四）证明39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°．40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H 共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．44．提示：证法一延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．证法二连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证AG2=DG·AH=DG·CG．49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先所以CM=MD．。