第12章参数模型功率谱估计

a1, a 2 ,a p ,
p
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
由这些参数，得到 x(n) 的功率谱 px (e jw ) 的估计，
即：


p AR (e jw )
p
p
2
1
a k e jwk
k 1
对 在单位圆上均匀抽样，设分点为N个，则得
到离散谱：
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
零，则 (12.1.1) 给出的模型为自回归—移动平 均模型，简称ARMA模型，显然此模型是一 个既有极点，又有零点的模型。
总结：
由于ARMA模型是一个极—零模型，它易于 反映功率谱中的峰值和谷值。AR模型易反映 谱的中峰值，而MA模型易反映谱中的谷值。
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
假定 u(n)、x(n) 都是实平稳的随机信号，u(n)为

x(n


m)
x(n)


x
(n)

0,
m

1,,
p
由此式可得:
(12.2.9)
p
rx (m) ak rx (m k),m 1,2, p k 1
再由最小均方误差公式(书312页下)有 :
(12.1.10)
x min

Ex(n)x(n)
AIC (k ) N ln( pk ) 2k
其中 N为数据xN (n)的长度，当阶次 k由1增加
时，FPE(k) 和 AIC(k)都将在某一个 k处取得极
小值。将此时的 k定为最合适的 p 。在实际
运用时发现，当数据较短时，它们给出的阶次 偏低，且二者给出的结果基本上是一致的。上 面两式仅为阶次选择提供一个依据，究竟阶次 取多少为好，还要在实践中由所得到的结果作 多次比较后，予以确定。
Px
(e
j
)

2B(e j )B (e j
A (e j ) A(e j )
)

2 | B(e
| A(e j
j ) ) |2
|2
（12.1.5）
12.1 平稳随机信号的参数模型：
AR模型：
在 （12.1.1）中，如果：
（1）b1 , b2 ,..., bq 全为零，那么 (12.1.1) ，
p
rx (m) Ak 2 exp( jk m) k 1
则由前p 1个值 rx (0), rx (1),, rx ( p) 组成的自相关矩 阵 Rp1 是奇异的，而 R1, R2 ,, Rp 是正定的， 即：
det(Rp1) 0, det(Rk ) 0 k 1,2, p
12.3.1 AR模型谱估计的性质
1 AR谱的平滑性 AR谱比周期图谱平滑的多。
2）AR 谱的分辨率 经典谱估计的分辨率反比于使用的信号长度， 现代谱估计的分辨率不受此限制。
3）AR 谱的匹配性质
每在一整局个部频处率，范它围跟内随，PARp(xe(ejwjw))和的峰px(点e jw)要相比跟跟随随，谷但点在 的程度好。



j 2 l
p AR (e N )
p
p j 2 lk 2
N 1
p j 2 lk 2
1 ak e N
ak e N
k 1
k 0
式中 a0 1, a p1,..., aN 1 0
这样上式可用FFT快速计算。
12.3 AR模型谱估计的性质及阶次p的选择
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
Levinson-Durbin递推算法：
km


m1 k 1
am1
(k
)rx
(m

k
)

rx (m) /
m1
am (k) am1(k) kmam1(m k)
m m1 1 km2
Levinson-Durbin递推算法从低阶开始递推，直
白噪声，方差为 2，现在我们建立AR模型
的参数 ak 和 x(n) 的自相关函数的关系，也就
是AR模型的正则方程（Yule-Walker方程）。
rx (0) rx (1)

rx
(1)
rx (0)
rx (2) rx ( p) 1 2
rx (1)

rx
(
p
1)


a1


0


rx
(2)
rx (1)
rx (0)

rx (
p
2)

a2



0

(12.2.4)
rx ( p) rx ( p 1) rx ( p 2) rx (0) ap 0
12.1 平稳随机信号的参数模型：
MA模型：
（2）a1, a2 ,..., a p 全为零，那么 (12.1.1) ，
(12.1.3) ，(12.1.5) 全变成：
q
q
x(n) bk x(n k) u(n) bk x(n k),b0 1 (12.1.9)
k 1

我们利用这p个数据来预测n时刻的值x(n)。记 x (n)是对真实值x(n)

p
的预测，那么x (n) ak x(n k)
k 1
(12.2.6)

记预测值x (n)和真实值x(n)之间的误差为e(n),则：

e(n) x(n) x (n)
因此总的预测误差功率为：
(12.2.7)
模型的最小误差功率 达到所指定的希望值，
或是不再发生变化时，其时的阶次即是要选的
正确阶次。因此， p 降到多少才合适，有几个
不同的准则被提出，常用的有两个：
（1）最准预测误差准则：
FPE (k ) k
N (k 1) N (k 1)
12.3.2 AR模型阶次的选择
（2）信息论准则：
(12.1.3) ，(12.1.5)分别变成：
p
x(n) ak x(n k) u(n) k 1
(12.1.6)
H(z) 1
1
A(z)
p
1 ak zk
k 1
(12.1.7)
Px (e j )
2
p
| 1 ak e jk |2
k 1
(12.1.8)
k 1
q
H (z) B(z) 1 bk zk k 1
(12.1.10)
q
Px (e j ) 2 |1 bke jk |2 k 1
(12.1.11)
12.1 平稳随机信号的参数模型：
ARMA模型：
（3）若 a1, a2 ,..., a p b，1, b2 ,..., bq 不全为
E e2 (n)
Ex(n)
p
ak
x(n

k
)
2


k 1

(12.2.8)
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
为求得使最小的ak , k 1,, p,应使x(n p,, x(n 1)和预差
误差序列e(n)正交,即 :
E
12.3.1 AR模型谱估计的性质
且在有的算法中，还可能出现“谱线分裂”的 现象，即在本来应只有一个谱线的位置附近分 裂成两个谱线。 其三，谱估计的质量受到阶次p的影响。P选的 过低，谱太平滑，反映不出谱峰。P选的过大， 可能产生虚假的峰值。
12.3.2 AR模型阶次的选择
AR模型的阶次p是单调下降的，直观上讲，当
k 0
(12.1.1) (12.1.2 )
12.1 平稳随机信号的参数模型：
对上式两边分别取z变换，并假定 bo 1 ，可
得：
H (z) B(z) A( z )
(.1.3)
p
其中：A(z) 1 ak z k k 1
q
B(z) 1 bk z k k 1

H (z) h(k )z k k 0
(12.1.4a) (12.1.4b ) (12.1.4c )
12.1 平稳随机信号的参数模型：
为了保证 H (z) 是一个稳定的且是最小相位系 统，A(z) ，B(z) 的零点都应在单位圆内。 假定u(n) 是一个方差为 2 的白噪声序列， 由随机信号通过线性系统的理论可知，输出 序列x(n) 的功率谱：

并记其行列式的值为det(Rp1) 。用三个结论来 说明矩阵 Rp1 的性质与AR模型稳定性的关系。
12.4.1 AR模型的稳定性
结论一：如果Rp1 是正定的，那么，由Yule-
Walker方程解出的 a(1),a(2),, a( p) 构成的 p
阶AR模型是稳定的，且是唯一的。也即 A(z)
12.4.1 AR模型的稳定性
12.4 AR模型的稳定性及对信号建模问题 的讨论
12.4.1 AR模型的稳定性
重新定义自相关矩阵 R 为：
rx (0)
Rp1


rx (1)
rx (1) rx (0)

rx ( p)
rx ( p 1)


rx ( p) rx ( p 1)
rx (0)
12.3.1 AR模型谱估计的性质
4）AR 谱的统计特性
AR谱的方差反比于数据xN (n)的长度 N 和信噪
比 SNR。
5）AR 模型谱估计方法的不足 其一，AR 谱的分辨率和求 AR 模型时所使用的
信号的信噪比 SNR 有着密切的关系。信噪比越 小，谱的分辨率降低的越明显。 其二，如果 x(n)是含有噪声的正弦信号，在应用 时发现，谱峰的位置易受 x(n)的初相位的影响，
第12章：参数模型功率谱估计
12.1 平稳随机信号的参数模型： 该参数模型的思路是： （1）假定所研究的过程x(n) 由一个输入序列 u(n)
激励一个线性系统的H (z)输出，如图：
u(n)
x(n)
H (z)
（2）由已知的 x(n)，或者其自相关函数rx m来
估计 H (z) 的参数。
12.1 平稳随机信号的参数模型：
的零点都在单位圆内。此性质称为AR模型的最 小相位性质。 结论二：若x(n)由 p 个复正弦组成，即
p
x(n) AK exp jk n k k 1
12.4.1 AR模型的稳定性
式中 Ak, k 为常数， k是在( ~ ) 内均匀分布
的零均值随机变量，x(n) 的自相关函数为:
（3）由H (z)的参数来估计 x(n) 的功率谱。
不论x(n)是确定性信号还是随机信号，对上图所示的线性系统， 和 u(n)之间x总(n有) 如下的输入输出关系：
p
q
x(n) ak x(n k) bku(n k)
k 1
k 0

及 : x(n) h(k)u(n k)
模型的阶次一样，那么有：
mk
ak
in
2
k 1,2,...p
上两式说明，一个p阶AR模型的 p 1 个参数 ( 2, a1,...,ap )
同样可以用来构成一个P阶的最佳线性预测器。所以AR模型和 线性预测器是等价的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意 义上对数据的拟合。
到阶次p，给出了在每一个阶次时的所有参数，
即 am (1), am (2),..., am (m),
m 1,2,..., p
这一特点有利于选择AR模型的合适阶次。
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
上述算法的递推导是建立在x(n) 的前 p 1 个自
相关函数已知的基础上，但在实际的工作中，
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
上式可简单的表示为：
2
Ra


p

(12.2.5)
式中a 1, a1, , ap T，P为p 1全零列向量,
R是( p 1) ( p 1)的自相关矩阵
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
设x(n)在n时刻之前的p个数据x(n p), x(n p 1),, x(n 1)已知，
往往不能精确的知道 x(n) 的自相关函数，而知 道的仅仅是N点数据，即 xN (n)，为此，可以这 样：
1）首先由xN (n)
估计 x(n)
的自相关函数，得

r
x
(m)

2）用rx (m)代替上述递推算法中的rx (m) ，重新求
解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数
是真实参数的估计值，即

(n)

rx (0)
p k 1
ak rx (k )
(12.2.11)
方程(12.2.10)和(12.2.11)称为线性预测的Wiener Hopf方程
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出他们及其
相似，因为 x(n)是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和AR