比特与量子比特

1 1 }。这里应该注意的是量子比特列的排列顺序有其特定含义，即 0 1 ≠ 1 0 。与单个
α 01 ， 的量子比特同样， 量子比特对也可以取这些基底状态的叠加状态。 一般来说使用复数 α 00 ， α10 ， α11 ，量子比特对 ϕ 可以写成
ϕ = α 00 00 + α 01 01 + α10 10 + α11 11
qubit 的两个极化状态 0 和 1 也是 2 维复数列向量，它们构成 2 维复数空间的一对正规 直交基底，也就是说复数向量 0 和 1 的长度均为 1，且 0 和 1 的内积为 0。因此我们可以 用以下的方法选择 0 和 1 。例如：我们可以选择
1 0 0 = ， 1 = 0 1
对应于偏光↗的状态： 对应于偏光↘的状态：
1 1 1 0 + 2 2 1 1 1 0 − 2 2 1 i 0 + 1 2 2
对应于右圆偏光○的状态：
此处 i 表示虚数单位。 服从量子理论的公理体系，以下假设 ket （右矢 0 和右矢 1）与其常数倍一视同仁，也就 是说对于常数 a ≠ 0 ，a ϕ 与
2
2
例题 2.2 让我们来考察一下第一章中提到的被称为贝尔状态基之一（或称为 EPR 对）的量子 比特对
β 00
00 + 11 2
。首先由（2.5）式得知，当这个量子比特对被同时测定时，其状态值为 bit 00 或 bit 11 的概率 都是 1
2 = 1 2 ；为 bit 01 或 bit 10 的概率都是 0。
bit 0 的场合：
α 00 0 + α 01 1 α 00 + α 01
2 2
bit 1 的场合：
α10 0 + α11 1 α10 + α11
2 2
。特 别应该注意 的是测定后 剩余的第二 位 qubit 其 状态 并非单纯的 a 0 + b 1
，例 如
α 00 0 + α 01 1 ，而是要除以 α 00 + α 01 后再一次正规化。
qubit 与 bit 本质上的不同点在于，除了 0 和 1 状态以外，qubit 是以（2.3）式给出的 0 和 1 两个状态的任意重叠组合状态。假定 α 与 β 是一对任意的满足归一化的复数，则量子比 特
ϕ 是（2.3）式描述的所有可能的叠加状态。
ϕ =α 0 +β 1
（2.3）
特别是如若状态 0 和 1 采用式（2.1）表示的话，
ϕ 被视为是同一个 qubit。 在没有特别说明的情况下， 假定 ket
的长度规范为 1。因此（2.3）式中的 α 与 β 必须满足下列关系式
α + β =1
2
2
注：2 维复向量
a1 b1 * 和 b 的内积，可以表示为 a1 a 2 2
[
* a2
]
b1 * * b = a1 b1 + a 2 b2 ，其中*表示共轭复数。 2
α ϕ = β
如果选择（2.2）式给出的状态 0 和 1 为态矢空间的态基，则状态
ϕ 将被表示成
ϕ =
α + β 1 α − β 1
2
1 +
2
− 1
=
α +β
2
0 +
α −β
2
1
（2.4）
那么该状态
ϕ 取 bit 值的概率就分别为
取 bit 0 的概率为 取 bit 1 的概率为
ϕ = 0
通过测定
ϕ 肯定（概率 1）为 bit 0。如果选择由（2.2）式给出的状态 0 和 1 为态矢空间的
态基的话，则
ϕ =
1 1 0 + 1 2 2
1 2
此时通过测定量子比特
ϕ 取值 bit 0 和 bit 1 的概率分别都是 。
§2.3
qubit 对与 qubit 列阵
在这一节里我们将讨论一个以上（复数个）的量子比特以及它们的性质。如果用两个古 典比特表述信息，我们可以获取 4 个状态{00，01，10，11}。但是如果我们拥有两个量子比特， 或者说拥有一个量子比特对，那么我们将拥有 4 个正规直交基底{ 00 ， 01 ， 10 ， 11 }。 这些量子比特对的状态也可以写成两个量子比特的乘积的形式，即{ 0 0 ， 0 1 ， 1 0 ，
也可以选择
（2.1）
0 =
1 1 1 1 1 ， 1 = 2 2 − 1
(2.2)
无论选择哪一对，它们的向量长度均为 1，计算其内积：无论是式（2.1）
[1
还是式（2.2）
0 0] = 1 × 0 + 0 × 1 = 0 1
1 1 1 = (1 × 1 + 1 × (− 1)) = 0 [1 1] 2 2 − 1
2
决定的。
2
2
当 β = 1时
义上来说，qubit 包含了经典 bit，是信息状态的更一般性表示。
我们提请读者在有关测定的过程中应该注意的是：基于某个特定的「状态 0 和 1 的选 择」方法其测定的结果是确定的；如果改变状态 0 和 1 的选择方法，则由测定获取的古典 比特值，即 bit 0 和 bit 1 的发生概率将发生变化。例如，由向量表示的 qubit 为
ϕ 作为 2 维复向量可以写成
1 0 α ϕ = α 0 + β 1 = α + β = 0 1 β
由此可知，任意的 2 维复向量都可以看成是 qubit 的瞬间值。以这样一种叠加状态为例，我们 能够表示光的偏光状态。如果以状态 0 和 1 分别表示水平偏光 (↔ ) 和垂直偏光 (β ) ，那么 我们可以用以下的方式表示 2 种斜偏光和右圆偏光：
通过一个被称为是测定或观测的过程， 我们可以把一个 qubit 的状态以概率幅 （概率区域） 的方式变换成 bit 信息。也就是说通过特殊的测定，量子比特 以
ϕ 将以下列方式被转换，即 ϕ
概率 0
ϕ
2
变换成 变换成
bit 0 bit 1
概率 1 ϕ
2
此处记号 x y 表示 ket x 与 ket y 的内积。
结果都为 0。因此无论选择哪一组 qubit 对，我们都可以确认它们是直交的基底。
决定状态 0 和 1 对应于（选择）怎样的复向量，这依赖于实际的信息的载体采用那一 类微观粒子。假定采用光量子的偏光状态，那么我们可以认为 qubit 的状态 0 和 1 分别对应 于两个相互直交的偏光状态，若采用电子的自旋方向，那么我们可以把 qubit 的状态 0 和 1 看成是电子的不同自旋方向。若采用二能级原子模型，那么我们可以把 qubit 的状态 0 和 1 看成是电子能级处在基态或激活状态上等。
α+β
2 α −β 2
2
2
因此根据状态 0 和 1 的不同选择方法， 即使是同一个量子比特 发生变化。 qubit bit 0 根据 0 和 1 测定 1
ϕ 通过测定其变换过程也会
发生的概率
ϕ
0ϕ 1ϕ
2
2
图 2.1： qubit 的测定
例题 2.1 给定量子比特
ϕ ϕ = 0
1
如果选择（2.1）式给出的状态 0 和 1 为态矢空间的态基，则
（2.6）
在量子比特对的情况下，我们能够只测定其中某一个 qubit 的值。例如考虑只测定量子比 特对的第一位 qubit 值的场合： 其取值 bit 0 的概率等于同时测定第二位 qubit 时 00 出现的概率
00 ϕ
2
加上 01 出现的概率 01 ϕ
2
2
之和； 取值 bit 1 的概率等于同时测定第二位 qubit 时 10
的列阵其正规直交基底是由 2 n 个形为 x1 x2 Λ xn 的 ket 组成。 其中 xi (i = 1,2, Λ , n ) 取 0 或 1 表示。当然，这些 qubit 列阵能够取这些正规直交基底的重合状态，且使用 2 n 维的复向量来表 示。 测定这样的 qubit 列阵
ϕ ， 其取 bit 列为 x1 x2 Λ xn 值的概率是由 x1 x 2 Λ xn ϕ
§2.2
qubit 的测定
对于古典 bit，我们能够准确地判断某一个 bit 在某一时刻取值是 0 还是 1。但对于量子比 特 qubit 来说，要想正确地判定某一个 qubit 在某一时刻的状态，也就是说给定一个 qubit
ϕ =α 0 +β 1
我们通常不可能正确地知道 α 和 β 的值。 以下让我们来讲述如何从一个 qubit 获得所要的（古典）信息。
由 于 内 积是 线 性演 算，且 0 和 1 是 正 规 直 角基 底，因 此 我 们能 够 求出 量子比 特
ϕ = α 0 + β 1 的两个内积 0 ϕ 和 1 ϕ 的计算结果为
0 ϕ =α 0 0 +β 0 1 =α 1ϕ =α 1 0 +β 11 = β
即
ϕ 以概率 α 取值 bit 0、以概率 β 取值 bit 1。特别当 α = 1 时 ϕ 取值 0 的概率为 1， ϕ 取值 1 的概率为 1。在这样的情况下，qubit 的行为与 bit 完全一致。从这个意
第二章 比特与量子比特
本章首先介绍量子通信系统、量子计算机系统等量子信息处理系统的基本存储单元—— —量子比特(qubit：quantum bit)，然后说明古典比特（bit）与量子比特的对应关系、即古典比 特在量子比特的表示和演算中的作用，最后介绍在量子比特上实施的几种基本演算。
§2.1
bit 与 qubit 及其叠加状态
2
另外测定该量子比特对的第一位 qubit 状态时，出现 bit 0 或 bit 1 的概率均为 1 2 ，而测 定后剩余的第二位 qubit 的状态是：当第一位 qubit 测定的结果为 bit 0 的时候、剩余的 qubit 的状态是 0 ；当第一位 qubit 测定的结果为 bit 1 的时候、剩余的 qubit 的状态是 1 。因此在 该贝尔状态的场合，没有被测定的 qubit 的状态总是向被测定的 qubit 状态的结果一方迁移， 即测定剩余的 qubit 获取的结果与最初的测定结果总是完全一致的。 考虑更一般的情况，我们能够考察由 n 个 qubit 组成的量子比特列阵。由 n 个 qubit 组成
在古典信息处理过程中，记述古典信息的二进制存储单元比特（bit）由古典状态(如电压 的高低) 的 1 和 0 表示。从物理角度讲，bit 是个两态系统，它可以制备为两个可识别状态中 的一个。对于量子信息而言，记述量子信息的存储单元称为量子比特（qubit） 。一个 qubit 的 状态是一个二维复数空间的矢量，它的两个极化状态 0 和 1 对应于古典状态的 0 和 1。由于 量子状态具有可叠加的物理特性，因此描述量子信息的 qubit 使用 2 维复数向量的形式表示量 子信息的模拟状态。一个 qubit 与只能取 0 和 1 值的 bit 不同，理论上告诉我们 qubit 可以取无 限多个值。以下的讨论是假设 qubit 与量子状态为同一事物。
2
2
2
2
2
00 ϕ 01 ϕ 10 ϕ 11 ϕ
= α 00 = α 01 = α10 = α11
2
2
2
2
2
2
2
（2.5）
在第一章的讨论中我们知道基底状态 00 ， 01 ， 10 ， 11 分别能够用 4 维复向量表 示如下：
1 0 0 0 0 1 0 0 00 = ， 01 = ， 10 = ， 11 = 。 0 0 1 0 0 0 0 1
2
出现的概率 10
ϕ 加上 11 出现的概率 11 ϕ
之和，也就是量子比特对第一位测定结果为
取 bit 0 的概率是： 00 取 bit 1 的概率是： 10
ϕ ϕ
2
+ 01 ϕ + 11 ϕ
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2
2
2
。这里要提请读者注意的是，在做这样的测定时必须注意到测定后剩余的第二位 qubit 的状态
将发生什么样的变化，由（2.5）式对应于测定结果，剩余的第二位 qubit 的状态将发生下列变 化，即测定结果为
当然量子比特对也必须规范化，因此 α 00 ， α 01 ， α10 ， α11 必须满足下列等式
α 00 + α 01 + α10 + α11 = 1
与单个的量子比特情况相同，通过测定量子比特对可获得其值，他们的值是古典比特列值 00， 01，10，11 的其中之一。取古典比特各种列值的概率为 测定结果 00 01 10 11 出现概率