数学建模习题--第五章

习 题

1、对于5.1节传染病的SIR 模型证明；

①若σ/10>s ，则)(t i 先增加，在σ/1=s 处达到最大 ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至∞s 。

②若σ/10

2、对于传染病的SIR 模型证明(20)~(22)式。

3、在5.2节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数)(t Q 折算成现金，仍用)(t Q 表示。考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)(t p (设1)0(=p )。则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间满足)(t y =)()(t P t Q 。 ①导出)(t y 、)(t Q 、)(t p 的相对增长率之间的关系，并作解释。

②设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为)(t W ，企业的利润简化为从产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定的成本。利用5.2节的（5）式讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。

4、在5.4节的房室模型中证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4）、（5）式所示，说明方程的两个特征根α和β一定是负实根。

5、模仿5.4节建立的二室模型建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出浓度曲线图。

6、利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔T 每次给予固定剂量D 的多次重复给药方式。为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度C 控制在（21,C C ）范围内。设中心室容积V 为已知。

① 在快速静脉注射的多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定T 和D 使血药浓度的变化满足上述要求。

② 在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定T 和D 的问题。

7、在5.5节香烟过滤嘴模型中，

① 设800=M 毫克，801=l 毫米，202=l 毫米，02.0=b （1/秒），08.0=β（1/秒），50=v 毫米/秒，3.0=a ，求Q 和21/Q Q 。

②若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上。比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别。

8、在5.6节水电站调压塔模型中，设调压塔出口水流速度在稳定值0v 附近有一阶跃变化，即

⎩

⎨⎧<≥==0,00,1)(1t t t v 利用方程（8）讨论调压塔水位)(t h 在稳定值0h 附近的变化过程)(1t h 。

9、在5.7节人口的预测和控制模型中，总和生育率)(t β和生育模式),(t r h 是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子，晚婚晚育，及生第2胎的一些规定，怎样通过这两种控制手段加以实施。

10、在5.8节连续交通流模型中，考察在],[t t t ∆+内公路段],[x x x ∆+的流量),(t x q 和密度),(t x ρ的变化，直接导出交通流方程（5）。

11、在5.8节红绿灯模型中，讨论初始密度是拥挤流即*0ρρ>时密度函数),(t x ρ的

变化（类似于图5-23对于稀疏流*0ρρ<的分析，画出分阶段的),(t x ρ示意图，求出“追上车队”和“堵塞消失”的时刻，分析间断点的变化规律等）。

12、证明红绿灯模型中左右间断线)(t x sl 和)(t x sr 当t 足够大后以相同速度向前移动。

13、讨论绿灯模型。设初始密度（0=t ）为

⎩⎨

⎧><=0,

00,)0,(x x x m ρρ ①画出0>t 时),(t x ρ的示意图。 ②证明（0=t ）时位于)0(>-=d d x 处的车辆通过0=x 的时刻为m u d t 4=

。 ③证明],0[T 内通过0=x 的车辆数为T u m

m 4ρ。

14、将5.10节得到的万有引力定律（18）式与熟知的形式（19）进行比较。查询太阳质量、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据，说明二者是一致的。

*15. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型。

① 推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

② 总人数有限，因而推广速度随着尚未采用新技术人数的减少而降低，

③ 在②的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用]

27,10[。

*16. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。

*17、 根据经验当一种新商品设入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。建立销量)(t s 的模型。若广告宣传只进行有限时间τ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化]10[。

*18.人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置。它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通（见图5-26）。人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。

设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的

浓度差成正比。人工肾总长L 。建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型]10[。

*19. 在鱼塘中投放0n 尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。 ① 设尾数)(t n 的相对减少率n

n 为常数；由于喂养引起的每尾鱼量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼量的减少率与鱼重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

② 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量|/|n n

表示，记作E ，即单位时间捕获量是)(t En 。问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大 ]

10[。

*20. 侦察机搜索潜艇。设0=t 时艇在O 点，飞机在A 点，6=OA 海里（见图5-27）。此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20海里/时，飞机以速度40海里/时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它。