高中数学求函数的单调区间

函数的单调区间

单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。一、基础知识：

1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有

()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。若对于

1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系

（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()'

,()0

x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型：，

无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2

f x x =的单调递增区间为

[)0+∞，

，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。

（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()'

,()0

x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()'

,()x a b f x ∀∈，的符

号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出()f x 的导函数'

()

f x （3）令'

()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间

（4）列出表格

4、求单调区间的一些技巧

（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解

（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式

（3）一般可令'

()0f x >，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常

值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'

()0f x >的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若'

()0f x >的解

集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x 是定义域上的减函数

（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。5、求单调区间的一些注意事项

（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数1

y x

=

的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以

1

y x

=

为例，如果写成()()0,,0+∞-∞ ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由1

y x =性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，

是不满足单调减的性质的。6、二阶导函数的作用：

①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于()"

f x 而言，决定的是()'f x 的单调性。

当()''

0f

x >时，()'f x 单调递增，意味着()'f x 随x 的增大而增大，由于导数的几何意义为

切线斜率，故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理，当()''

0f

x <时，()'f x 单调递减，则切

线斜率k 随x 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？

单调增有三种：其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不

同，所以如果说()'

f

x 是决定函数单调性的，那么()''f x 在已知单调性的前提下，能够告诉

我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。（1）当()"

0f x >，其图像特点为：我们称这样的函数为下凸函数（2）当()"

0f

x <，其图像特点为：

我们称这样的函数为上凸函数

②代数意义：当通过()'

f x 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单

调性，再看能否利用条件判断符号。二、典型例题：

例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（）

A.()sin 2f x x

= B.()x

f x xe

= C.()3

f x x x =- D.()ln f x x x

=-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。A 选项()sin 2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'

1x x x f

x e xe x e =+=+，

当()0,x ∈+∞时，()'

0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()23331=333f

x x x x ⎛

⎫⎛=--

+ ⎪⎝

⎭⎝⎭

‘

可得()f x 在30,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在33⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

单调递增；D 选项()'111x

f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。综上，B 符合条件

答案：B

例2：函数()()

212

log 4f x x =-的单调递增区间是（

）

A.

()

0,+∞ B.

()

,0-∞ C.

()

2,+∞ D.

()

,2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()2

40,22,x x ->⇒∈-∞-+∞ ，再观察解析式可得

()f x 可视为函数212

log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，

可分别分析两个函数的单调性，对于12

log y t =而言，y 对t 是减函数。所以如要求得增区间，

则2

4t x =-中t 对x 也应为减函数。结合定义域可得()f x 的单调增区间为()

,2-∞-答案：D