因式分解之提取公因式法四注意
初学因式分解的“四个注意”-
初学因式分解的“四个注意”在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，本文提出以下“四个注意”，供同学们学习时参考。
一、首项有负常提负例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。
二、各项有公先提公例2（2003年广西省中考题）因式分解8a4－2a2解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.三、某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。
四、括号里面分到“底”。
例4因式分解x4－3x2－4解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1）这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。
因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
七年级数学提公因式法知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。
初学分解因式的四个注意点
初学分解因式的四个注意点因式分解是整式运算的基础，而且因式分解的方法灵活，技巧性强，那么对于初学因式分解的同学们来说应该注意的是什么呢？笔者认为除了要能正确理解因式分解的概念，区别与整式的乘法，还要注意以下四个问题：一、注意各项有公因式时应首先提出公因式例1把多项式4a4b2－16b4a2分解因式.解4a4b2－16b4a2＝4a2b2(a2－4b2)＝4a2b2(a+2b)(a－2b).说明如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取这个公因式，再进一步分解因式.分解时要注意防止出现诸如4a4b2－16b4a2＝(2a2b+4ab2) (2a2b－4ab2)，而又不进一步分解的错误.二、注意首项为负时，首先应提出负号例1把多项式－x2－4y2＋4xy＋25分解因式.解－x2－4y2＋4xy＋25＝－(x2－4xy+4y2－25)＝－(x－2y＋5)( x－2y－5).说明因式分解时，如果多项式的第一项含有负号，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的.防止出现诸如－a2－b2＝(－a+b)(－a－b)的错误.另外，为了避免负号，本题也可以这样考虑：－x2－4y2＋4xy＋25＝25－x2－4y2＋4xy＝(5＋x－2y)(5－x+2y).三、注意提取公因式时，某项就是公因式，提出不能漏掉1例3把多项式(a－b)3c－2(a－b)2c+(a－b)c分解因式.解(a－b)3c－2(a－b)2c+(a－b)c＝c(a－b)[(a－b)2－2(a－b)+1]＝c (a－b)(a－b－1)2.说明对于多项式的某一项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1.应注意堵绝出现(a－b)3c－2(a－b)2c+(a－b)c＝c(a－b)[(a－b)2－2(a－b)]的错误，另外在书写结果时，一般应将多项式写在单项式的前面.四、注意将多项式分解到不能再分解为止例4把多项式a4b4－3a2b2－4分解因式.解a4b4－3a2b2+4＝(a2b2＋1)(a2b2－4)＝(a2b2＋1)(ab＋2)(ab－2).说明分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解.。
提取公因式应当注意的几个问题
提取公因式应当注意的几个问题提取公因式法是最基本的也是最常用的因式分解方法，对于提取公因式法应当注意以下几个问题：1. 公因式要提尽也就是提取公因式后的多项式的各项不应该再有公因式。
例如：都是没有提尽公因式，因而没有达到因式分解的目的。
2. 小心丢掉“1”当多项式中的某一项恰好是公因式时，提完公因式这一项的位置应该是“1”，而不能把它丢掉。
例如：提取公因式的结果是，而不是。
3. 当多项式第一项系数为负时，要提出“－”号，使提取公因式后的多项式的第一项系数为正但要注意，提出“－”号后，括号内的各项都要变号。
例如：4. 公因式是多项式时，要小心符号对于公因式是多项式或多项式的幂时，要注意几种常见的变形：一般地，n为偶数时，；n为奇数时，。
例如：5. 多项式系数中出现分数的处理一般来说，当提取系数为分数的公因式后，得到的多项式的各项的系数都应该是整数，为了达到这样的目的，有两种处理方法：（1）利用分数的基本性质化成同一分母后再提取公因式。
例如：（2）直接提取各项系数中分子的最大公约数，分母的最小公倍数，作为整个公因式的系数。
如分子8、4的最大公约数是4，分母27、9的最小公倍数是27，故系数提取，于是：6. 提取公因式后，括号中的多项式要注意化简例如：7. 提取公因式分解因式的结果，对于相同因式的积一般写成幂的形成例如：例1. 下列各式因式分解正解的是（）A.B.C.D.解：A错，因为提取y后，第二项应为1而不是0。
B错，因为提取后，括号中的第二项、第三项没有变号。
C错，因为公因式没有全部提取尽，应提取，而不是。
对于D。
因为，故分解正确，应选D。
例2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）。
初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结
初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m 十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
2 提公因式法
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)源自C．5a2b(b－a)D．以上均不正确
新课讲解
知识点2
提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
新课讲解
确定一个多项式的公因式时，要从__数__字__系__数____ 和___字__母__及__其__指__数_____分别进行考虑 . 数字系数
母最低次幂；
新课讲解
典例分析
例 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (42) 8xy3－
9
27
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
x3y2；
新课讲解
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因 式是3y.
新课讲解
添括号法则： (1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不
变. (2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改
变符号.
新课讲解
典例分析
例 把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个
因式是( B )
A．a－b
B．a＋b
C．x＋y
D．x－y
分析：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为 ＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确
5
5
因式1 是－
5
ab，那么另一个A因式是( )
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋ 1 ac
5
ac
1D．c＋b－
4.2 提取公因式法
提公因式要一次提“全”提“尽”,直到不能再分解为止。
因式分解
回顾
提公因式的方法
1. 当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 2. 字母取各项的相同的字母,且各字母的指数取次数最低的; 3. 取相同的多项式,且多项式的次数取最低的.
6(x-2)2+x(2-x) =6(2-x)2 +x(2-x)
=(2-x)[6(2-x)+x] =(2-x)(12-5x)
注意负号的处理
因式分解
回顾
提公因式的方法
1. 当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 2. 字母取各项的相同的字母,且各字母的指数取次数最低的; 3. 取相同的多项式,且多项式的次数取最低的. 4. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“—”号,使括号内的第一项的
(2) 若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 019，则需要应用上述方法 ____2_0_1_9_次，分解因式后的结果是___(1_+_x_)_20_2_0___．
(3)请用上面的方法分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(其中n为正
整数)，必须有具体过程．
C．－3a2b
D．－3a3b3
-3a 2 b 2
注意：取相同字母的最低次幂
因式分解
T32 ．下列利用提取公因式法分解因式，正确的是( ) A．x2y＋7xy＋y＝y(x2＋7x) B．3a2b＋3ab＋6b＝3b(a2＋a＋2) C．6xyz－8xy2＝2xyz(3－4y) D．－4x＋2y－6z＝2(2x＋y－3z)
系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号.
-3ab+6mabx-9aby =-( 3ab-6mabx+9aby ) 6mabx -3ab-9aby
提取公因式法
把一个多项式化为几个整式的乘积 的形式,叫做多项式的因式分解.
●
多项式
●
因式分解
整式乘法
（整式） （整式）…… （整式）
因式分解的注意事项：
（1）因式分解的对象是一个多项式。 （2）因式分解是整式乘法的逆变形，而不是逆运算。
（3）因式分解的结果是积的形式。
（4）因式分解的结果中每一个因式都是整式。 （5）因式分解必须彻底。
乐观者与悲观者 ——乐观者在每次危难中都看到了机会,而悲观的人在每个 机会中都看到了危难. 父亲欲对一对孪生兄弟作性格改造,因为其中一个过分 乐观,而另一个则过分悲观.一天,他买了许多色泽鲜艳的新 玩具给悲观孩子,又把乐观孩子送进了一间堆满马粪的车房 里. 第二天清晨,父亲看到悲观孩子正泣不成声,便问:为什 么不玩那些玩具呢? 玩了就会坏的.孩子仍在哭泣. 父亲叹了口气,走进车房,却发现那乐观孩子正兴高采 烈地在马粪里掏着什么. 告诉你,爸爸.那孩子得意洋洋地向父亲宣称,我想马粪 堆里一定还藏着一匹小马呢! 温馨提示:乐观者与悲观者之间,其差别是很有趣的:乐 观者看到的是油炸圈饼,悲观者看到的是一个窟窿.
5
7
5
2
例1 把下列多项式分解因式：
-5a2+25a 解： -5a2+25a
=5a•(-a)+5a•5
把5a提到括号的外面,把 剩下数、字母和符号的搬到括号里面
=5a(-a+5)
= -5a(a-5)
再把负号提到括号的外面
例2 把下列多项式分解因式：
3a2-9ab
2 解：3a -9ab
在不熟练的情况下， 不要一部到位，应该 一步一步的做，循序 渐进。熟练后，这一 步可以省略。
初二数学因式分解技巧
初二数学因式分解技巧因式分解技巧方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a+b)(a-b)2)。
(a±b)^2= a^2±2ab+b^2———a^2±2ab+b^2=(a±b)^23) (a+b)(a-ab+b) =a^2+b^2———a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)4)。
(a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^26) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例如，已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca⇒2a+2b+2c=2ab+2bc+2caa-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0a=b=c因此，三角形ABC为等边三角形。
三、分组分解法。
一）分组后能直接提公因式例如，分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
提公因式法分解因式
汇报人： 2024-01-10
目录
• 提公因式法简介 • 提公因式法的应用场景 • 提公因式法的步骤与技巧 • 提公因式法的注意事项 • 提公因式法的练习与实例
01
提公因式法简介
定义将多项式分解为几个因式的乘 积，其中每个因式都包含一个公 共因子。
将提取公因式后的多项式 进行简化，确保结果正确 。
重复提取
如果存在多个公因式，需 要重复提取，直到无法再 提取为止。
化简表达式
合并同类项
将多项式中的同类项合并 ，简化表达式。
化简结果
对提取公因式后的多项式 进行化简，得到最终结果 。
检查答案
最后检查结果是否正确， 确保答案无误。
04
提公因式法的注意事项
避免过度化简
在化简过程中，要避免过度化简，以免改变多项式的值。
避免提取复杂公因式
避免提取复杂公因式
在提取公因式时，应尽量提取简单的公因式，避免提取复杂的公因式，以简化 计算过程。
灵活运用提取公因式法
在提取公因式时，应根据具体情况灵活运用提取公因式法，以达到更好的化简 效果。
05
提公因式法的练习与实例
提取公因式的正确性
确定公因式的正确性
在提取公因式时，需要确保提取的公 因式是正确的，即公因式应该是多项 式中各项的公共因子。
避免误提公因式
在提取公因式时，要仔细检查，避免 误提公因式，以免影响后续的化简和 计算。
化简表达式的简洁性
保持化简的简洁性
在提取公因式后，需要进一步化简多项式，使表达式更加简 洁。
02
提公因式法的应用场景
代数表达式
01
代数表达式中，如果存在多个项 具有相同的公因数，可以使用提 公因式法进行因式分解，简化表 达式。
八年级数学上册第14章提取公因式四劝(人教版)
提取公因式“四劝”提公因式法是因式分解中首先必须考虑的第一步，是因式分解的最基本最常用的方法，学好提公因式法是学好因式分解的必要前提．同学们应注意以下几个方面的问题：一劝——理解基本概念公因式是指多项式的各项中都含有的因式，它的确定一般采取 “三找”的策略：一找各项系数绝对值的最大公约数，如2227918m n mn mn -+各项系数绝对值的最大公约数是9，公因式的系数是9；二找各项都含有的字母，如2227918m n mn mn -+各项都含有字母,m n ，所以公因式的字母是,m n ；三找相同字母的最小指数，如2227918m n mn mn -+中字母,m n 的最小指数均为1，所以2227918m n mn mn -+的公因式为9mn ．二劝——明确理论依据我们在学习乘法分配律时知道，mc mb ma c b a m ++=++)(，现在把它反过来就有mc mb ma ++=)(c b a m ++，这就是提公因式法，可见提公因式法的依据是乘法分配律的逆运用．三劝——掌握方法步骤运用提公因式法分解因式一般分为三步：第一步，确定公因式；第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式；第三步，把公因式提到括号前面，余下的项写在括号内．如32223246b a ab b a --=2a 2b ·32a -2a 2b ·2-2a 2b ·ab=2a 2b （32a - ab-2）．四劝——领会若干注意1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如)2(22--=+-x x x x ；2．不能漏项，提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同．特别注意，当多项式的某一项与公因式相同，被全部提出后，剩下的多项式应在相应位置上补上1，而不是0，如)123(22462223-+=-+xz y x xy xy yz x y x ，而不是)23(22462223xz y x xy xy yz x y x +=-+；3．最后要检查是不是分解到最后结果，不能有公因式遗漏未提，应养成检查的习惯；4．要注意“字母”的广泛性及一些隐含的公因式，如a （a —b ）—b （b —a ），从表面上看似乎没有公因式，但由于b —a=—（a —b ），因此有公因式a —b ．。
4.2 提取公因式法
要点小结
1．运用提取公因式法分解因式应注意不要犯以下错误： ①提取不尽；②漏项(尤其要注意当某项恰好为公因式 时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏掉)；③疏忽 变号；④只提取部分公因式，而最后整个式子未变成 乘积的形式．
2．公因式既可以是单项式，也可以是多项式． 3．添括号法则和去括号法则正好相反，因此可以用去括
是
．
【答案】 (b＋c)(2a－3)
4．分解因式： (1)4x3－6x2．
【解】 原式＝2x2(2x－3)．
(2)a3b3＋a2b2－ab．
【解】 原式＝ab(a2b2＋ab－1)． (3)6a(b－a)2－2(a－b)3．
【解】 原式＝6a(a－b)2－2(a－b)3 ＝2(a－b)23a－(a－b) ＝2(a－b)2(2a＋b)． (4)x(x－y)2－y(x－y)．
【点拨】 添括号时，所添括号前面是“－”号，括到括 号里的各项都要改变符号，这是易错点． 【解析】 (1)前一个小括号前为“＋”号，故小括号内 各项符号不变；后一个小括号前为“－”号，故小括号 内各项都要变号． (2)两个小括号前都没有符号，即都为“＋”号，小括号 内各项符号不变．
【答案】 (1)b＋c b＋c (2)x－3 x－3
【答案】 (1)3a (2)2x2y2 (3)(p－q)
【典例 2】 把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c． (2)8m2n＋2mn2． (3)2a(b＋c)－3(b＋c)． (4)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
【点拨】 (1)提取公因式时，对数字系数和字母应分别 进行考虑：如果是整数系数，就应取最大公因数；字母取 各项都含有的相同字母的最低次幂的积． (2)提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因 式．
因式分解注意事项
一、要注意到“1”的存在而避免漏项在提取公因式时,多数同学易忘记观察被分解多项式的项数是多少,更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系,而在分解因式时应注意到“1”在这个多项式分解中的存在和作用。
例1分解因式23x +5xy+x=x(3x+5y)错解: 23x +5xy+x=x(3x+5y),这样就漏了“x”这一项,提出“x”后应由“1”来补其位。
正解: 23x +5xy+x=x(3x+5y+1)二、提取公因式时要注意符号的变化牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号,去括号时括号里的各项都要变号”这一运算律,而因式分解与乘法运算之间互为逆变形,首相为负号应提取负号,但加括号并且括号里的各项都要变号。
例2分解因式2-10x +10xy .错解: 2-10x +10xy =-10x(x+y),错在括号里没有变号。
正解: 2-10x +10xy =-10x(x-y).三、要注意整体与个体之间的关系在公式22a -b =(a+b)(a-b) ，222a +2ab+b =(a+b), 222a -2ab+b =(a-b)中,a 、b 代表符合这一特点的整个代数式里的整个因式,而不只代表这个代数式里的某一个因式。
如216x 是表示2(4x),而不是216x .因此再分解因式时要注意整体与个体之间的关系。
例3分解因式29x -1错解: 29x -1=(9x+1)(9x-1),错在29x -1只能写为2(3x)不能写为29x . 正解: 29x -1=(3x+1)(3x-1).四、要注意分解完整因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式的乘积形式,因式分解需要分解到不能再分解为止。
例4分解因式4216x -72x +81错解: 4216x -72x +81=22(4x -9),很多学生就分解到此为止,但没有注意到24x -9还可以分解。
因为24x 可以写成2(2x),9可以写成2(3),故24x -9符合平方差公式的特点应继续分解。
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
因式分解注意4点
因式分解注意4点1. 什么是因式分解因式分解是一种数学运算方法，用于将一个多项式表达式分解成若干个乘积的形式。
在因式分解中，我们要找到多项式的因子，将其拆解成可简化的形式。
因子是指可以整除原始多项式的表达式。
对于多项式 x^2 + 5x + 6，我们可以进行因式分解得到 (x + 2)(x + 3)。
2. 因式分解的重要性因式分解在数学中具有重要的地位和作用。
它不仅能够帮助我们简化复杂的多项式表达式，还能够揭示多项式的性质和特点。
通过因式分解，我们可以更好地理解和应用代数运算。
因式分解还在其他数学领域中起着重要作用，如求根、求极值、化简等问题都可以借助因式分解来求解。
3. 因式分解的基本方法a. 公因子提取法公因子提取法是最基本也是最常见的一种因式分解方法。
它适用于多项式中存在公共因子的情况。
步骤如下： - 找出多项式中的公共因子； - 将多项式中的每一项都除以公共因子；- 将公共因子与剩余部分相乘。
对于多项式 2x^2 + 4x，我们可以提取出公因子 2x，得到 2x(x + 2)。
b. 完全平方公式完全平方公式适用于多项式是两个平方数之和或差的情况。
完全平方公式可以表示为：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2通过应用完全平方公式，我们可以将多项式转化为可简化的形式。
对于多项式 x^2 + 6x + 9，我们可以将其视为 (x + 3)^2。
c. 分组分解法分组分解法适用于多项式中存在四个以上的项，并且可以进行配对的情况。
步骤如下： - 将多项式按照某种方式进行分组； - 在每一组内进行因式提取； - 将每一组内提取出来的因子相乘。
对于多项式 x^3 + x^2 + x + 1，我们可以将其分组为 (x^3 + x^2) + (x + 1)，然后在每一组内进行因式提取得到 x^2(x + 1) + (x + 1)，最终得到 (x^2 +1)(x + 1)。
2021年中考数学知识点指导：因式分解的方法之提取公式法考点解析
2021年中考数学知识点指导：因式分解的方法之提取公式法
考点解析
初三年级是一个至关重要的学年，大家一定认真复习，接下来看看为大家推荐的____中考数学知识点指导，会有很大的收获哦!
因式分解的方法：
一、提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2;字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2。
②提公因式的步骤
第一步：找出公因式;
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
这篇____中考数学知识点指导的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
提公因式分解因式四注意
提公因式分解因式四注意用提公因式法分解因式的一般步骤是先确定多项式各项的公因式，然后提取出来，写成乘积的形式。
提取公因式法不仅是一种重要的分解因式的方法，也是把一个多项式分解因式时首要考虑的步骤。
在提公因式时应注意以下五点：一、提公因式需完整例1分解因式 32844x x x ++.错解：3228442(422).x x x x x x ++=++分析：确定公因式时要对数字系数和字母分别进行考虑，当各项系数都是整数时，把它们的最大公约数提出来；把各项都含有的字母的最低次幂的积提出来．不难看出错解中错在了只是找到了公约数2，但不是最大公约数.正解：3228444(21).x x x x x x ++=++二、提公因式后勿漏项例２分解因式 3232a a a ++.错解：32232(32)a a a a a a ++=+.分析：当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后所剩余的项是1.在错解中2a 提取后就漏写了1。
正解：32232(321)a a a a a a ++=++.三、首项为负勿忘提例3． 分解因式263251339ab x a b x --.错解：26325252133913(3)ab x a b x ab x x a --=--.分析：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，特别注意在提出“-”号时多项式各项都要变号．正解：26325252133913(3)ab x a b x ab x x a --=-+.四、整体代换可省力例4分解因式3(x －y )2－(y －x )3.错解：232232233()()3(2)(33)x y y x x xy y y yx y x x ---=-+-+--想合并同类项再分解，然而因代数式较为复杂，无法继续。
分析：观察多项式中的每一项都含有多项式x －y ，同时注意(y －x)3=－(x －y)3的变形，且(x －y )的最低次数是2，所以多项式的公因式是(x －y )2。
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因式分解之——提取公因式法四注意
提取公因式法分解因式是因式分解最基本、最常用的方法，也是学习因式分解的基础，要学好这部分内容，必须注意以下四点：
㈠注意提取公因式法的概念和步骤
一个多项式中每一项中都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式，一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。
提取公因式法的依据是乘法分配律。
提取公因式法分解因式的关键是确定公因式。
确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母系数分别进行考虑：⑴对于系数，如果是数字系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；⑵对于字母，要考虑两条，一是提取各项的相同字母；二是各相同字母的指数取其次数最低的。
提取公因式法分解因式的基本步骤：
⑴确立应提取的公因式；⑵用公因式去阶除这个多项式，所得的商作为另一个因式；⑶把多项式写成这两因式积的形式。
1、公因式为纯数字
例1：分解因式：2468x x -+
思路分析：多项式有三项，各项系数的最大公约数是2，而最后一项中不含有字母，只要提公因式2即可分解因式。
解：()224682234x x x x -+=-+
2、公因式为单项式
例2：分解因式：3223215205x y x y x y -+。
思路分析：⑴系数：其最大公约数是5；⑵字母：都含有字母x,y ；⑶指数：字母x 的最低次数是2，字母y 的最低次数是1，因此公因式为25x y 。
解：()3223222152055341x y x y x y x y xy y -+=-+。
例3：分解因式：22121236
a b ab ab -+ 思路分析：对于含有分数系数的多项式，应注意公因式系数的确定，分母为各分母的最小公倍数，分子为各分子的最大公约数。
解：
()2212113412366
a b ab ab ab a b -+=-+ 点评：可将公因式16ab 乘回去，验证分解结果的正确性。
3、公因式为多项式
例4：分解因式：()()2
a a
b a b -+-。
思路分析：将()a b -视为一个整体，方法同上。
解：()()()()()()22a a b a b a b a a b a b a b -+-=-+-=--⎡⎤⎣⎦。
点评：如果把多项式的一部分看做一个整体时，符合提取公因式法的条件，就可以采用整体方法进行分解。
㈡注意提取公因式时的符号变化
1、 带有“－”号的公因式
例5：分解因式：222462a b a b ab -+-
思路分析：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出负号，使括号内第一项的系数成为正数，提出负号时，多项式的各项都要变号。
解：()()2222224624622231a b a b ab a b a b ab ab ab a -+-=--+=--+。
点评：当公因式和原多项式中某项相同或互为相反数时，提公因式后，该项应为1或－1，而不是0。
1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成为一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检验。
2、底数互为相反数的因式
例6：分解因式：()()2105a x y b y x ---。
思路分析：当多项式的因式中出现底数为互为相反数的因式时，先将底数为互为相反数的因式转换为底数相同的因式，再提取公因式，常见的规律有()()22n n a b b a -=-，()21n a b --
()()21n b a n -=--为正整数。
解：()()2105a x y b y x ---()()()()210552a y x b y x y x a y x b =---=---⎡⎤⎣⎦
()()522y x ay ax b =---。
点评：上述关于字母重排列的问题，要注意排列后的符号，常用的变形有：
()()22n n b a a b -=-，()()2121n n b a a b ---=--（n 为正整数）。
㈢注意要合并同类项
提公因式后，如果另一因式中有同类项，要合并同类项。
例7：分解因式：()()23
1812b a b a b ---。
思路分析：首先，可以确定公因式是()26a b -；提出公因式后，另一个因式为()322b a b -+，其中3b 和2b 要合并同类项。
解：()()231812b a b a b ---=()()()()22
6322652a b b a b a b b a --+=--。
点评：在合并同类项后，一定要检验能否再继续分解。
㈣注意相同因式要写成幂的形式
提公因式后，如果结果中出现相同因式，要写成幂的形式。
例8：分解因式：()()()433
m n m m n n n m -+-+-。
思路分析：首先，可以确定公因式是()3m n -，提出公因式后，另一个因式合并同类项后仍然含有（m-n ），所以要将（m-n ）写成幂的形式。
解：()()()433m n m m n n n m -+-+-
=()()()()()4333m n m m n n m n m n m n m n -+---=--+- ()()()3422m n m n m n =--=-
提取公因式法分解因式速记口诀：
即学即练：
⑴ ()()2226m n p m
p n --+-应提取的公因式是（ ） ()222A m n p --、 ()22m n p -B 、 ()2m n p -C 、- 2m D 、-
⑵下列各式从左到右变形错误的是( )
()()22y x x y -=-A 、 B 、()a b +-a-b=-
()()33
m n n m -=--C 、 ()2m n +D 、-2m+n=-
2、用提取公因式法把下列多项式分解因式。
⑴555x y z ++； ⑵2525a a -+； ⑶()()23a b c b c +-+； ⑷()()1ab a b +++； ⑸32
41628m m m -+-。
3、因式分解：
()()()32
3a m n a n m a n m ---+- 确定公因式，要分两步走， 系数与字母，分别搞清楚， 系数最好找，最大公因数， 相同字母挑，指数选最小， 找准公因式，一次要提走， 全家都搬净，留1把家守， 提负要变号，变形看奇偶。