同济大学线性代数课件__第四章
同济大学线性代数课件第四章
, m
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已知 : ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 2 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ) 例2: 1 2 3
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
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b1 b2 bm
a11 a 21 记 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
R( A) R( A, B )
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定理3: 向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A (1 , 2 , , m ), B ( 1 , 2 , , l )
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 ,
, an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
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1
a1 a 2 (a1 , a2 an
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A : 1 , 2 ,
, m B : 1 , 2 ,
, l B 能由 A 线性表示
j k1 j1 k2 j2
kl jl j 1,2,
,l
( 1 , , l ) (k111 km1 m , , k1l1 kml m )
线性代数-工程版(同济大学第六版)第四章
定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组．
注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量.
(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.
例如 （1）
1
2
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
a11 a21
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
同济大学线性代数第四章PPT课件
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
线性代数-同济大学4-2PPT课件
成行阶梯形矩阵 ,可同时看出矩阵（ 1， 2， 3
及（1， 2）的秩，利用定理 2即可得出结论 .
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1 0 2
r2r1
(1,2,3) 1 2 4
~
1 5 7 r3 r1
1 10 0 22 0 02 2 2 2 10 5 5 7 5
~2 0 2 2，
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4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面 .
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二、线性相关与线性表示的关系
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定理 向量组1,2,,（m 当m 2时）线性相关
的充分必要条件是1,2,,m 中至少有一个向
量可由其余m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1,a2,,am 中有一个向量（比如
能由其余向量线性表示.
即有
am 11 2 2 m1 m1
am）
故 11 2 2 m1 m1 1am 0
因 1,2,,m1,1 这 m 个数不全为0，
故 1,2,,m 线性相关.
而:m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R(A) m m 元齐次线性方程组 Ax o只有零解 R(A) m
所以:
定理2 向量组1,2,,m线性相关 R(A) m, 相关性 其中A(1,2,,m);
秩的判
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四、例题
例１ n 维向量组
T
T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
同济大学线性代数课件共5份(4)
(2) 若是A的对应于的特征向量且x1 + x2 0, 则 x1 + x2也是A的对应于的特征 向量. 由于Ax1 = x1, Ax2 = x2, 于是
A( x1 x2 ) Ax1 Ax2 x1 x2 ( x1 x2 )
由(1)和(2)知，对于方阵A的对应于的 特征向量, 其非零的线性组合 k1 x1 k 2 x2 k m xm 也是A的对应于的特征向量. 令V = {x|Ax = x}, 可以验证V是一个向 量空间,称为A的对应于的特征子空间.
由于其广泛的应用背景，已研究出多种 方法计算方阵的特征值和特征向量，特 别是其经典数值计算方法和各种智能计 算方法. 本章内容涉及到线性方程组、矩阵和向 量方面的诸多知识，要求大家具有一定 的综合运用知识的能力. 本章在复数范围讨论.
4.1 特征值与特征向量的概念 与计算
4.1.1 特征值与特征向量的概念 对于给定的方阵A和非零向量x，可以考 虑通过线性变换得到的向量Ax. 给定方阵A，对于某些非零向量x，通过 线性变换得到的向量Ax与x是共线的， 即存在数满足Ax = x，这时就是A的 特征值，x就是A的对应于的特征向量.
例4.1 设
3 2 2 A 2 3 2 2 2 3
求A的特征值与特征向量. S|
2 2
3 2 (7 )(1 ) 2 3
|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = 1, = 7. 当 = 1时, (A - 1E)x = 0为
3 2 5 1 0 1 row 6 3 9 0 1 1 5 3 8 0 0 0 1 令x3 = 1, ξ 2 1. 1
线性代数(同济大学第五版)第四章
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系:
b11 b12 b1,n r b21 b22 b2,n r br 1 br 2 br ,n r 1 , 2 , , n r . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
提示：可用方法2证明！
课后题9 设 b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1 , 证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 2011期选考题
1、 设 向 量 组 1 , 2 , 3线 性 无 关 ， 则 向 量 组 D） （ （A） 1 2 , 2 3 , 3 1线 性 无 关 ； （B） 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ； （C） 1 2 3 ,2 1 3 2 3 , 1 4 2线 性 无 关 ； （D） 1 2 2 ,2 2 3 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ；
如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！
d1 d2 dr , 0 0
考试类型题
一、向量组线性相关性的判定
方法1. 从定义出发 令 k11 + k22 + · + kmm = 0, 即 · ·
若只有零解, 则1, 2, · , m线性无关; 否则, 1, · · 2, · , m线性相关. · · 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, · , m, 就得到一个相应 · · 的矩阵A=(1, 2, · , m), 求R(A), 则 · · 若R(A)=m, 则 1, 2, · , m线性无关; · · 若R(A)<m, 则 1, 2, · , m线性相关. · · 利用相关定理(秩的相关性质)
线性代数课件(完整版)同济大学
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22
a 1n
a
2n
a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn
线性代数(同济版第五版)经典课 4章
线性代数ppt课件同济
05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中每个向量都可以表示为一组基向 量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如 封闭性、加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些 基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递 推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等 行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的 行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数 余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是 一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用 于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅 在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要 的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、 计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经 形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通 常表示为二维表格。矩阵的行数和列数 可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示 ，其中i表示行号，j表示列号。
线性代数课件第4章
11
2 1 1 例7： 求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量, 4 1 3
并求可逆矩阵P, 使 P 1 AP 为对角阵.
解：
2 1 1 2 | A E | 0 2 0 1 2 4 1 3
| A 3 A 2 E | 9
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定理2：设 1 , 2 ,
, m 是方阵 A的 m 个特征值，
p1 , p2 ,
若 1 , 2 ,
, pm 依次是与之对应的特征向量。
, m 各不相等，则 p1 , p2 ,
, pm
线性无关。
方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
则
( n ) det( A)
ann )( )n1
1 2 n a11 a 22 1 2 n det( A)
a nn
8
1 1 0 例6： 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
解：1、由矩阵 A 的特征方程，求出特征值.
1 1 0 1 1 3 0 (2 ) A E 4 4 3 1 0 2
1 2 0
2
特征值为 = 1, 2
9
2、把每个特征值 代入线性方程组 A E x 0, 求出基础解系。
(2) 有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
25
矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）
定理4： n 阶矩阵 A 与对角阵相似（A可对角化）
A有n个线性无关的特征向量。
26
Api i pi , i 1, 2,
( Ap1 , Ap2 ,
同济大学《线性代数》 PPT课件
01
线性方程组与矩阵
《线性代数》 & 人民邮电出版社
目录/Contents
第1章 线性方程组与矩阵 2
1.1
矩阵的概念及运算
1.2 分块矩阵
1.3 线性方程组与矩阵的初等变换
1.4 初等矩阵与矩阵的逆矩阵
目录/Contents
1.1
矩阵的概念及运算
一、矩阵的定义 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置
03
OPTION
a1
n 1 的矩阵
a2
M
an
称为列矩阵，也称为 n 维列向量.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 7
所有元素都是零的 m n 矩阵称为零矩阵，记为 Omn ，或简记为 O .
m n 矩阵
a11 a12 L
a21
a22
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
i 1, 2L, ,m ;j 1,L2, n，, 则称矩阵 A 和 B 相等，记为 A B.
二、矩阵的线性运算
第1章 线性方程组与矩阵 10
1. 矩阵的加法 定义3 设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和记为 A B ，规定：
ann
称该 n 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是：当 i j 时， aij 0 .
一、矩阵的定义
类似地，有上三角矩阵
a11 a12 L
0
a22 L
M M
线性代数_同济大学(第五版)课件
幻灯片1线性代数（第五版）幻灯片2●在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.●但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.幻灯片3●我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.●在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.幻灯片4●行列式是线性代数的一种工具！●学习行列式主要就是要能计算行列式的值.第一章行列式●内容提要●§1 二阶与三阶行列式●§2 全排列及其逆序数●§3 n 阶行列式的定义●§4 对换●§5 行列式的性质●§6 行列式按行（列）展开§7 克拉默法则●行列式的概念.●（选学内容）●行列式的性质及计算.●——线性方程组的求解.幻灯片5§1 二阶与三阶行列式●我们从最简单的二元线性方程组出发，探●求其求解公式，并设法化简此公式.幻灯片6一、二元线性方程组与二阶行列式●二元线性方程组●由消元法，得●当时，该方程组有唯一解幻灯片7●二元线性方程组●请观察，此公式有何特点？●分母相同，由方程组的四个系数确定.●分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.●求解公式为幻灯片8●我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.●二元线性方程组●记号●数表●其求解公式为●表达式称为由该●数表所确定的二阶行列式，即●其中，称为元素.●i 为行标，表明元素位于第i 行；●j 为列标，表明元素位于第j 列.●原则：横行竖列幻灯片9●二阶行列式的计算●——对角线法则●主对角线●副对角线●即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积幻灯片10●二元线性方程组●若令●(方程组的系数行列式)●则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片11●求解二元线性方程组●例1●解●因为●所以幻灯片12二、三阶行列式●定义设有9个数排成3行3列的数表●原则：横行竖列●引进记号●主对角线●副对角线●称为三阶行列式.●二阶行列式的对角线法则并不适用！幻灯片13●三阶行列式的计算●——对角线法则●实线上的三个元素的乘积冠正号，●虚线上的三个元素的乘积冠负号.●注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.幻灯片14●例2 计算行列式●解●按对角线法则，有幻灯片15●例3 求解方程●方程左端●解●由得幻灯片16§2 全排列及其逆序数幻灯片17●用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？●引例● 1 2 3●解● 1● 3● 2●百位●3种放法● 3● 1● 2● 1●2种放法●十位●1种放法● 1● 2● 3●个位●共有●种放法.幻灯片18●问题把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的●排法？●定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.●显然●即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.● 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法●123，132，213，231，312，321●所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.●因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.幻灯片20●对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.●n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.●定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，●就称这两个元素组成一个逆序.●例如在排列32514中，● 3 2 5 1 4●思考题：还能找到其它逆序吗？●答：2和1，3和1也构成逆序.幻灯片21●定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.●排列的逆序数通常记为 .●奇排列：逆序数为奇数的排列.●偶排列：逆序数为偶数的排列.●思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？●答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.幻灯片22●计算排列的逆序数的方法●设是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.●先看有多少个比大的数排在前面，记为；●再看有多少个比大的数排在前面，记为 ;●最后看有多少个比大的数排在前面，记为 ;●则此排列的逆序数为幻灯片23●例1：●求排列 32514 的逆序数.●解：●练习：●求排列 453162 的逆序数.●解：幻灯片24§3 n 阶行列式的定义幻灯片25一、概念的引入●规律：●三阶行列式共有6项，即3!项．●每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．●每一项可以写成（正负号除外），其中●是1、2、3的某个排列.●当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.幻灯片26●所以，三阶行列式可以写成●其中表示对1、2、3的所有排列求和.●二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.幻灯片27二、n 阶行列式的定义●简记作，●其中为行列式D的(i, j)元● n 阶行列式共有 n! 项．●每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．●每一项可以写成（正负号除外），其中●是1, 2, …, n 的某个排列.●当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.幻灯片28●思考题：成立吗？●答：符号可以有两种理解：●若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则 .●注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 .幻灯片29●例：●写出四阶行列式中含有因子的项.●解：●和●例：●计算行列式幻灯片30●解：●其中幻灯片31幻灯片32●四个结论：●(1) 对角行列式●(2)幻灯片33●(3) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）●(4) 下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）幻灯片34●思考题：用定义计算行列式●-1●解：用树图分析●3●1●-2●1●-1●2●-2●3●3●-1●故幻灯片35●思考题●已知，求的系数.幻灯片36●解●含的项有两项，即●对应于●故的系数为－1.幻灯片37§4 对换幻灯片38一、对换的定义●定义●在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．●将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．●例如幻灯片39●备注●相邻对换是对换的特殊情形.●一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.幻灯片40二、对换与排列奇偶性的关系●定理1 对换改变排列的奇偶性.●证明●先考虑相邻对换的情形．幻灯片41●注意到除外，其它元素的逆序数不改变.幻灯片42●当时，，， .●当时，，， .●因此相邻对换改变排列的奇偶性.幻灯片43●既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么●因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.●推论●奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，●偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.●由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立.●证明幻灯片44●因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即●每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列●与都同时作一次对换，即与同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变.幻灯片45●设对换前行标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 .●设经过一次对换后行标排列的逆序数为●列标排列的逆序数为●因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，也是奇数.●所以是偶数，●即是偶数.●于是与同时为奇数或同时为偶数.●因此，交换中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.幻灯片46●经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有幻灯片47幻灯片48●例1 试判断和●是否都是六阶行列式中的项.幻灯片49●例2 用行列式的定义计算幻灯片50●解幻灯片51三、小结● 1. 对换改变排列奇偶性．● 2. 行列式的三种表示方法幻灯片52§5 行列式的性质幻灯片53一、行列式的性质●记●行列式称为行列式的转置行列式.●若记，则 .●性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .幻灯片54●性质1 行列式与它的转置行列式相等.●证明●若记，则●根据行列式的定义，有●行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.幻灯片55●性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.●备注：交换第行（列）和第行（列），记作 .●验证●于是●推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.●证明●互换相同的两行，有，所以 .幻灯片56●性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.●备注：第行（列）乘以，记作 .●验证●我们以三阶行列式为例. 记●根据三阶行列式的对角线法则，有幻灯片57●推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．●备注：第行（列）提出公因子，记作 .幻灯片58●性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．●验证●我们以4阶行列式为例.幻灯片59●性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,●例如：●则幻灯片60●验证●我们以三阶行列式为例.幻灯片61●性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．●备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作 .●验证●我们以三阶行列式为例. 记●则幻灯片62二、应用举例●计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为●上三角形行列式，从而算得行列式的值．●例１幻灯片63●解幻灯片64幻灯片65幻灯片66幻灯片67幻灯片68●解幻灯片69幻灯片70●例3 设●证明幻灯片71●证明●对作运算，把化为下三角形行列式●设为●对作运算，把化为下三角形行列式●设为幻灯片72●对 D 的前 k 行作运算，再对后 n 列作运算，●把 D 化为下三角形行列式●故幻灯片73三、小结● (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).●行列式的6个性质●计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．幻灯片74●思考题●计算4阶行列式幻灯片75●思考题解答●解幻灯片76幻灯片77§6 行列式按行(列)展开●对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.●本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.幻灯片78一、引言●结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.●思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？幻灯片79●在n 阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作 .●把称为元素的代数余子式．●例如●结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列●式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.幻灯片80●引理一个n 阶行列式，如果其中第行所有元素除●外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．●例如幻灯片81●当位于第1行第1列时,●分析●即有●（根据P.14例10的结论）●又●从而●下面再讨论一般情形.幻灯片82●我们以4阶行列式为例.●思考题：能否以代替上述两次行变换？幻灯片83●思考题：能否以代替上述两次行变换？●答：不能.幻灯片84●被调换到第1行，第1列幻灯片85二、行列式按行（列）展开法则●定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即幻灯片86●同理可得幻灯片87●例（P.12例7续）幻灯片88●例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式●证明用数学归纳法●所以n=2时(1)式成立.幻灯片89●假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行●减去前行的倍：●按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有幻灯片90● n−1阶范德蒙德行列式幻灯片91●推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即●分析我们以3阶行列式为例.●把第1行的元素换成第2行的对应元素，则幻灯片92●定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即●推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即●综上所述，有●同理可得幻灯片93●例计算行列式●解幻灯片94幻灯片95●例设 , 的元的余子式和●代数余子式依次记作和，求●及●分析利用幻灯片96●解幻灯片97幻灯片98§7 克拉默法则幻灯片99●二元线性方程组●若令●(方程组的系数行列式)●则上述二元线性方程组的解可表示为幻灯片100一、克拉默法则●如果线性方程组●的系数行列式不等于零，即幻灯片101●那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成●其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即幻灯片102●定理中包含着三个结论：●方程组有解；（解的存在性）●解是唯一的；（解的唯一性）●解可以由公式(2)给出.●这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.幻灯片103关于克拉默法则的等价命题●设●定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .●定理4′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.幻灯片104●例解线性方程组●解幻灯片105幻灯片106幻灯片107●线性方程组●常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.●齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.●我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.幻灯片108●齐次线性方程组的相关定理●定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次●线性方程组只有零解，没有非零解.●定理5′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.●备注●这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.●在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零幻灯片109●练习题：问取何值时，齐次方程组●有非零解？●解●如果齐次方程组有非零解，则必有 .●所以时齐次方程组有非零解.幻灯片110●思考题●当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？●答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法●则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.幻灯片111三、小结● 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件●(1)方程个数等于未知量个数；●(2)系数行列式不等于零.● 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解●和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于●理论推导．幻灯片112第二章矩阵及其运算幻灯片113§1 矩阵●一、矩阵概念的引入●二、矩阵的定义●三、特殊的矩阵●四、矩阵与线性变换幻灯片114● B一、矩阵概念的引入● C● A●例某航空公司在A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.● D●城市间的航班图情况常用表格来表示:●√●√幻灯片115● A B C D●√●√● A● B● C● D●√●√●√●√●√●为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：●这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.幻灯片116二、矩阵的定义●由 m×n 个数排成的 m 行 n 列的数表●称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．●记作幻灯片117●简记为●这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.●元素是实数的矩阵称为实矩阵，●元素是复数的矩阵称为复矩阵.幻灯片118矩阵行列式●行数不等于列数●共有m×n个元素●本质上就是一个数表●行数等于列数●共有n2个元素幻灯片119●三、特殊的矩阵●行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 .●只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量) .●●只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量) .元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O .●例如：幻灯片120●形如的方阵称为对角阵．●特别的，方阵称为单位阵．●记作●记作．幻灯片121●同型矩阵与矩阵相等的概念●两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.●例如●为同型矩阵.●两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元●素相等，即则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .幻灯片122●例如●注意：不同型的零矩阵是不相等的.幻灯片123●四、矩阵与线性变换● n 个变量与 m 个变量之间的●关系式●表示一个从变量到变量线性变换，●其中为常数.幻灯片124●系数矩阵●线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.幻灯片125●例线性变换●称为恒等变换.●单位阵 En幻灯片126●例 2阶方阵●投影变换●例2阶方阵●以原点为中心逆时针●旋转j 角的旋转变换幻灯片127§2 矩阵的运算幻灯片128●一、矩阵的加法●定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为●说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.幻灯片129●知识点比较幻灯片130●矩阵加法的运算规律●设 A、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵．显然幻灯片131●二、数与矩阵相乘●定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为幻灯片132●数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵，l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.幻灯片133●知识点比较幻灯片134●一、矩阵与矩阵相乘●定义：设，，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵，其中●并把此乘积记作 C = AB．幻灯片135●矩阵乘法的运算规律●(1) 乘法结合律●(2) 数乘和乘法的结合律（其中 l 是数）●(3) 乘法对加法的分配律●(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即●纯量阵不同于对角阵●推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.幻灯片136●(5) 矩阵的幂若 A 是 n 阶方阵，定义●显然●思考：下列等式在什么时候成立？●A、B可交换时成立幻灯片137●四、矩阵的转置●定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT .●例幻灯片138●转置矩阵的运算性质幻灯片139●解法2幻灯片140●定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足，即●那么 A 称为对称阵.●如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵.●对称阵●反对称阵幻灯片141●例：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.●证明：●从而 H 是对称阵．幻灯片142●五、方阵的行列式●定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.●运算性质幻灯片143●定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵●称为矩阵 A 的伴随矩阵.●性质幻灯片144●六、共轭矩阵●当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.●运算性质●（设A，B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：幻灯片145§3 逆矩阵幻灯片146●矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.●矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？●这就是本节所要讨论的问题.●这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.●从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位．一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入幻灯片147●定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得●这里 E 是 n 阶单位矩阵.●根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.●对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯一的（如果有的话）.●定义：如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，●记作 A－1 .幻灯片148●下面要解决的问题是：●在什么条件下，方阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？幻灯片149●结论：，其中幻灯片150●例：求3阶方阵的逆矩阵.●解：| A | = 1，幻灯片151●方阵A可逆●此时，称矩阵A为非奇异矩阵●定理：若方阵A可逆，则．幻灯片152●推论：如果 n 阶方阵A、B可逆，那么、、●与AB也可逆，且幻灯片153●线性变换●的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记●则上述线性变换可记作 Y = AX .幻灯片154§4 矩阵分块法幻灯片155前言●由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?●这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.●家具的拆卸与装配●问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？幻灯片156问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.●这是2阶方阵吗？幻灯片157思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵．幻灯片158问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.幻灯片159分块矩阵的加法幻灯片160●若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即●则有●形式上看成是普通矩阵的加法！幻灯片161分块矩阵的数乘幻灯片162●若l 是数，且●则有●形式上看成是普通的数乘运算！幻灯片163分块矩阵的乘法●一般地，设A为m l 矩阵，B为l n矩阵，把A、B 分块如下：幻灯片164按行分块以及按列分块m n 矩阵A 有m 行n 列，若将第i 行记作若将第j 列记作则幻灯片165于是设 A 为 m s 矩阵，B 为 s n 矩阵，若把 A 按行分块，把 B 按列块，则幻灯片166分块矩阵的转置若，则例如：●分块矩阵不仅形式上进行转置，●而且每一个子块也进行转置．幻灯片167分块对角矩阵●定义：设 A 是 n 阶矩阵，若● A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，●其余子块都为零矩阵，●对角线上的子块都是方阵，●那么称 A 为分块对角矩阵．例如：幻灯片168分块对角矩阵的性质●| A | = | A1 | | A2 | … | As |●若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且幻灯片169第三章矩阵的初等变换与线性方程组幻灯片170知识点回顾：克拉默法则●设●结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）●结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. （P.24定理4'）●线性方程组的解受哪些因素的影响？●用克拉默法则解线性方程组的两个条件：●(1) 方程个数等于未知量个数；●(2) 系数行列式不等于零.幻灯片171§1 矩阵的初等变换●一、初等变换的概念●二、矩阵之间的等价关系●三、初等变换与矩阵乘法的关系●四、初等变换的应用幻灯片172一、矩阵的初等变换●引例：求解线性方程组幻灯片173●③÷2幻灯片174●②－③●③－2×①●④－3×①幻灯片175●②÷2●③＋5×②●④－3×②幻灯片176●④－2×③幻灯片177●①●②●③●恒等式●④●取x3 为自由变量，则●令x3 = c ，则幻灯片178●三种变换：●交换方程的次序，记作；●以非零常数 k 乘某个方程，记作；●一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 .●结论：●由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．●其逆变换是：幻灯片179●定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：●对调两行，记作；●以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作；●某一行加上另一行的 k 倍，记作 .●其逆变换是：●初等行变换。