典型相关分析和通径分析
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( 1 ,1 ) 1 1 1 2 2 ( 1 1 1 1 1 ) 2 ( 1 2 1 2 1 )( 1 )
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
1
121
111
0
1
211
221
0
(2)
1 2 2 11 1 2 1 2 11 1 0 0
(3)
将上面的3式分别左乘 1 和 1
并将第一式代入，得
1111221221的特征根
是 2 ，相应的特征向
1 2 1 21 1 2 11 1 0量为 1
1 1 1 1 2 1 21 1 21 0
将12111 左乘（3）的第一式，并将第二式代入，得
2 1 1 1 1 21 1 11 2 0
2 1 1 1 1 11 2 2 21 2 0 2 1 2 1 1 1 1 11 2 21 0
y3
X1
1.00 0.80 0.26 0.67 0.34
X2
0.80 1.00 0.33 0.59 0.34
y1
0.26 0.33 1.00 0.37 0.21
y2
0.67 0.59 0.37 1.00 0.35
y3
0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
u1a11 x1a21 x2 V1b11 y1b21 y2b31 y3
典型相关分析
一、什么是典型相关分析及基本思想
通常情况下，为了研究两组变量
(x1,x2,,xp) (y1,y2,,Fra Baidu bibliotekq)
的相关关系，可以用最原始的方法，分别计 算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq 个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问 题的本质。如果能够采用类似于主成分的思 想，分别找出两组变量的各自的某个线性组 合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简 捷。
(u1,v1)?
y1
x1
u2a12x1a22x2 v2b12y1b22y2b32y3
y2
x2
(u2,v2)?
y3
典型相关分析的思想：
首先分别在每组变量中找出第一对线性组合，使其具 有最大相关性，然后再在每组变量中找出第二对线性组合， 使其分别与本组内的第一线性组合不相关，第二对本身具 有次大的相关性。如此下去，直至两组变量的相关性被提 取完为止。
2121211121的特征根
是 2 ，相应的特征向 量为 1
令
M M12 1 21112122 1 21112 12112
则
M12
M2
2
结论： 2 既是M1又是M2的特征根， 1 和 1是相应于M1
和M2的特征向量。
至此，典型相关分析转化为求M1和M2特征根和特征 向量的问题。
第一对典型变量提取了原始变量X与Y之间相关的主 要部分，如果这部分还不能足以解释原始变量，可以在剩 余的相关中再求出第二对典型变量和他们的典型相关系 数。。
其协方差阵为
Σ
Σ11 Σ 21
p
Σ12 p Σ 22 q
q
其中11是第一组变量的协方差矩阵；22是第二组变量的协方差 矩阵；‘12 =21是X和Y的其协方差矩阵。
如果我们记两组变量的第一对线性组合为：
u11X v11Y
其中： 1 ( a 1,a 1 2, 1 ,a p 1 ) 1 (1 ,1 2 , 1 ,q 1 )
V ( u 1 ) a 1 V ( X r ) 1 a 1 r 1 1 V ( v 1 ) a 1 V ( Y ) r 1 a 1 2 r 1 2 1
u 1 , v 1 C ( u 1 , v 1 ) o 1 C ( X v , Y ) 1 o 1 1 v 1 2
11 12 2111 11212111 00
11211111 12111221
则： 1 121 ，且 u1和 v1之 是间的相关
将 12212左乘（3）的第二式，得
1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 21 2 0
1 2 1 21 1 11 2 0
例 家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。 调查了70个家庭的下面两组变量：
xx12： ：每 每年 年去 外餐 出馆 看就 电餐 影的 频率频 率
y1：户主的年龄
y2：家庭的年收入
y3：户主受教育程度
分析两组变量之间的关系。
变量间的相关系数矩阵
X1
X2
y1
y2
u2和v2与u1和v1相互独立，但u2和v2相关。 如此继续下去，直至进行到r步，rmin(p,q)， 可以得到r组变量。
U (u 1 , ,u r) V (v 1 , ,v r)
从而达到降维的目的。
二、典型相关的数学描述
（一）想法 考虑两组变量的向量
Z ( x 1 ,x 2 , ,x p ,y 1 ,y 2 , ,y q )
u 1 a 1 x 1 1 a 2 x 2 1 a p 1 x p
v 1 b 1 y 1 1 b 2 y 2 1 b q 1 y q
u 2 a 1 x 1 2 a 2 x 2 2 a p 2 x p
v 2 b 1 y 1 2 b 2 y 2 2 b q 2 y q
所以，典型相关分析就是求1和1，使uv达到最大。
（二）典型相关系数和典型变量的求法
在约束条件 V ( u 1 a ) r 1 11 1 1V ( v 1 a ) 1 r 21 2 1
下，求1和1，使uv达到最大。
根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange乘数， 求极值问题，则可以转化为求
在剩余的相关中再求出第二对典型变量和他们的 典型相关系数。设第二对典型变量为：
u22 x v22y
在约束条件： V ( u 2 a ) 2 r 12 1 1 V ( v 2 a ) 2 r 22 2 1
c u 1 , u 2 o ) c v 1 x , o 2 x ) ( 1 v 1 2 0 1 ( c v 1 , v 2 o ) c 1 v y , o 2 y ) ( 1 v 1 2 0 1 (
在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。如， 在工厂里常常要研究产品的q个质量指标 (x1,x2,,xp) P个原材料的指标 (y1,y2,,yq) 之间的相关关系；也可 以是采用典型相关分析来解决的问题。如果能够采用 类似于主成分的思想，分别找出两组变量的线性组合 既可以使变量个数简化，又可以达到分析相关性的目 的。
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
1
121
111
0
1
211
221
0
(2)
1 2 2 11 1 2 1 2 11 1 0 0
(3)
将上面的3式分别左乘 1 和 1
并将第一式代入，得
1111221221的特征根
是 2 ，相应的特征向
1 2 1 21 1 2 11 1 0量为 1
1 1 1 1 2 1 21 1 21 0
将12111 左乘（3）的第一式，并将第二式代入，得
2 1 1 1 1 21 1 11 2 0
2 1 1 1 1 11 2 2 21 2 0 2 1 2 1 1 1 1 11 2 21 0
y3
X1
1.00 0.80 0.26 0.67 0.34
X2
0.80 1.00 0.33 0.59 0.34
y1
0.26 0.33 1.00 0.37 0.21
y2
0.67 0.59 0.37 1.00 0.35
y3
0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
u1a11 x1a21 x2 V1b11 y1b21 y2b31 y3
典型相关分析
一、什么是典型相关分析及基本思想
通常情况下，为了研究两组变量
(x1,x2,,xp) (y1,y2,,Fra Baidu bibliotekq)
的相关关系，可以用最原始的方法，分别计 算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq 个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问 题的本质。如果能够采用类似于主成分的思 想，分别找出两组变量的各自的某个线性组 合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简 捷。
(u1,v1)?
y1
x1
u2a12x1a22x2 v2b12y1b22y2b32y3
y2
x2
(u2,v2)?
y3
典型相关分析的思想：
首先分别在每组变量中找出第一对线性组合，使其具 有最大相关性，然后再在每组变量中找出第二对线性组合， 使其分别与本组内的第一线性组合不相关，第二对本身具 有次大的相关性。如此下去，直至两组变量的相关性被提 取完为止。
2121211121的特征根
是 2 ，相应的特征向 量为 1
令
M M12 1 21112122 1 21112 12112
则
M12
M2
2
结论： 2 既是M1又是M2的特征根， 1 和 1是相应于M1
和M2的特征向量。
至此，典型相关分析转化为求M1和M2特征根和特征 向量的问题。
第一对典型变量提取了原始变量X与Y之间相关的主 要部分，如果这部分还不能足以解释原始变量，可以在剩 余的相关中再求出第二对典型变量和他们的典型相关系 数。。
其协方差阵为
Σ
Σ11 Σ 21
p
Σ12 p Σ 22 q
q
其中11是第一组变量的协方差矩阵；22是第二组变量的协方差 矩阵；‘12 =21是X和Y的其协方差矩阵。
如果我们记两组变量的第一对线性组合为：
u11X v11Y
其中： 1 ( a 1,a 1 2, 1 ,a p 1 ) 1 (1 ,1 2 , 1 ,q 1 )
V ( u 1 ) a 1 V ( X r ) 1 a 1 r 1 1 V ( v 1 ) a 1 V ( Y ) r 1 a 1 2 r 1 2 1
u 1 , v 1 C ( u 1 , v 1 ) o 1 C ( X v , Y ) 1 o 1 1 v 1 2
11 12 2111 11212111 00
11211111 12111221
则： 1 121 ，且 u1和 v1之 是间的相关
将 12212左乘（3）的第二式，得
1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 21 2 0
1 2 1 21 1 11 2 0
例 家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。 调查了70个家庭的下面两组变量：
xx12： ：每 每年 年去 外餐 出馆 看就 电餐 影的 频率频 率
y1：户主的年龄
y2：家庭的年收入
y3：户主受教育程度
分析两组变量之间的关系。
变量间的相关系数矩阵
X1
X2
y1
y2
u2和v2与u1和v1相互独立，但u2和v2相关。 如此继续下去，直至进行到r步，rmin(p,q)， 可以得到r组变量。
U (u 1 , ,u r) V (v 1 , ,v r)
从而达到降维的目的。
二、典型相关的数学描述
（一）想法 考虑两组变量的向量
Z ( x 1 ,x 2 , ,x p ,y 1 ,y 2 , ,y q )
u 1 a 1 x 1 1 a 2 x 2 1 a p 1 x p
v 1 b 1 y 1 1 b 2 y 2 1 b q 1 y q
u 2 a 1 x 1 2 a 2 x 2 2 a p 2 x p
v 2 b 1 y 1 2 b 2 y 2 2 b q 2 y q
所以，典型相关分析就是求1和1，使uv达到最大。
（二）典型相关系数和典型变量的求法
在约束条件 V ( u 1 a ) r 1 11 1 1V ( v 1 a ) 1 r 21 2 1
下，求1和1，使uv达到最大。
根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange乘数， 求极值问题，则可以转化为求
在剩余的相关中再求出第二对典型变量和他们的 典型相关系数。设第二对典型变量为：
u22 x v22y
在约束条件： V ( u 2 a ) 2 r 12 1 1 V ( v 2 a ) 2 r 22 2 1
c u 1 , u 2 o ) c v 1 x , o 2 x ) ( 1 v 1 2 0 1 ( c v 1 , v 2 o ) c 1 v y , o 2 y ) ( 1 v 1 2 0 1 (
在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。如， 在工厂里常常要研究产品的q个质量指标 (x1,x2,,xp) P个原材料的指标 (y1,y2,,yq) 之间的相关关系；也可 以是采用典型相关分析来解决的问题。如果能够采用 类似于主成分的思想，分别找出两组变量的线性组合 既可以使变量个数简化，又可以达到分析相关性的目 的。