13.和积转换法

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高考数学母题

[母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248) 669

和积转换法

[母题]Ⅰ(11-13):若正数a,b,c,d,x,y 满足ax+by=cxy-d(cd-2ab ),且cd ≥2ab ,则xy 的取值范围是 .

[解析]:由cxy-d(cd-2

ab )=ax+by ⇒cxy-d(cd-2ab )≥2ab

xy ⇒(xy -d)(c xy +cd-2ab )≥0⇒xy -d ≥0

⇒xy ≥d 2

⇒xy 的取值范围是[d 2

,+∞).

[点评]:己知f(a+b,ab)=0,求a+b 的最小值,或ab 的最大值,基本方法是利用基本不等式把其一换为另一式,即进行和积

转换,然后通过解不等式求解;由该题生成高考试题有许多,列举部分如下:

[子题](1):(1999年全国高考试题)若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .

[解析]:由ab=a+b+3⇒ab-3=a+b ≥2

ab ⇒(ab +1)(ab -3)≥0⇒ab ≥3⇒ab ≥9⇒ab 的取值范围是[9,+∞).

注:该题是此类问题在高考中出现的第一题,因此,该题是此类高考试题的始源,显然,该题是母题的子题. [子题](2):(2010年浙江高考试题)若正实数x,y 满足2x+y+6=xy,则xy 的最小值是 .

[解析]:由2x+y+6=xy ⇒xy-6=2x+y ≥2

xy 2⇒(xy 2+2)(xy 2-6)≥0⇒xy 2≥6⇒xy ≥18,等号当且仅当2x=y,即

x=3,y=6时成立⇒xy 的最小值是18.

注:该题是1999年全国高考试题的变式,因此,该题也是母题的子题.

[子题](3):(2010年重庆高考试题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)

2

9

(D)211

[解析]:由x+2y+2xy=8⇒8-(x+2y)=x(2y)≤(

2

2y x +)2

⇒(x+2y+8)(x+2y-4)≥0⇒x+2y ≥4.等号当且仅当x=2y,即x=2, y=1时成立⇒x+2y 的最小值是4.故选(B).

注:该题是1999年全国高考试题的另一种变式,多年高考出现同类试题,证明了高考母题存在的充分性,同时也说明该母题存在的必要性.

[子题系列]:

1.(2014年上海春招试题)已知a 、b ∈R +,若a+b=1,则ab 的最大值是 .

2.(2010年山东高考试题)已知x,y ∈R +,且满足

3x +4

y

=1则xy 的最大值为 . 3.(2014年上海高考试题)若实数x,y 满足xy=1,则x 2

+2y 2

的最小值为 . 4.(2004年重庆高考试题)己知

y

x 32+=2(x>0,y>0),则xy 的最小值是 .

5.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知正数x 、y 满足x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立m 则k 的最小值是_ _ .

6.(2009年天津高考试题)设x,y ∈R,a>1,b>1,若a x

=b y

=3,a+b=2

3

,则

y

x 1

1+的最大值为( ) (A)2 (B)

23 (C)1 (D)2

1

7.(2011年南京第一次质检试题)己知f(x)=log 2(x-2),若实数m,n 满足f(m)+f(2n)=3,则m+n 的最小值是 . 8.(2012年天津高考试题)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2

+(y-1)2

=1相切,则m+n 的取值范围是( )

670 [母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248)

(A)[1-3,1+3] (B)(-∞,1-3]∪[1+3,+∞) (C)[2-22,2+22] (D)(-∞,2-22]∪[2+22,+∞) 9.(2011年重庆高考试题)若实数a 、b 、c 满足2a

+2b

=2a+b

,2a

+2b

+2c

=2

a+b+c

,则c 的最大值是 .

10.(2011年浙江高考试题)设x,y 为实数,若4x 2

+y 2+xy=1,则2x+y 的最大值是 . 11.(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y 满足4x 2

-5xy+4y 2

=5,设S=x 2

+y 2

,则

min

max

11S S +

= .

12.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y 满足x 2

-3xy+y 2

=2,则x 2

+y 2

的值域是 . 13.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2

+xy+y 2

=3,则x 2

-xy+y 2

的最大值和最小值分别为 . 14.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知实数a,b 满足a 2

+ab+b 2

=1,且t=ab-a 2

-b 2

,则t 的最大值和最小值的积为 .

15.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x,y ∈R,且x 2+23xy −y 2=3,则x 2+y 2

的最小值是_____.

16.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2+2xy −y 2=7,则x 2+y 2

的最小值为_____. [子题详解]: 1.解:由1=a+b ≥2ab ⇒ab ≤41. 2.解:由1=3x +4y

≥212

xy ⇒xy ≤3. 3.解:由x 2+2y 2

≥22xy=22 4.解:由2=

y

x 32+≥2

y

x 3

2⋅

⇒xy ≥6.5.解:由5=x+y ≥2xy ⇒xy ≤425⇒lgx+lgy ≤2-4lg2⇒k 的最小值是2-4lg2. 6.解:由a x

=b y

=3⇒log 3a=

x 1,log 3b=y

1

⇒x 1+y 1=log 3a+log 3b=log 3ab ≤log 3(2b a +)2=1.故选(C).

7.解:由f(m)+f(2n)=3⇒log 2(m-2)+log 2(2n-2)=3⇒(m-2)(n-1)=4⇒4=(m-2)(n-1)≤[2

)1()2(-+-n m ]2

⇒m+n 最小值是7. 8.解:由直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2

+(y-1)2

=1相切⇔

2

2)1()1(|2)1()1(|+++-+++n m n m =1⇔m+n+1=mn ⇒m+n+1≤(

2

n m +)2

⇒ |m+n-2|≥22⇒m+n ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).故选(D). 9.解:设2a

=x,2b

=y,2c

=z,则x,y,z>0,且x+y=xy,x+y+z=xyz ⇒z=

1-+xy y x =1-xy xy =1+1

1

-xy ;由x+y=xy ⇒xy ≥2xy ⇒xy ≥4 ⇒z=1+

1

1-xy ≤34⇒2c

≤34⇒c ≤log 234=2-log 23,当且仅当x=y=2⇒a=b=1时,等号成立⇒c 的最大值是2-log 23. 10.解:由4x 2

+y 2

+xy=1⇒(2x+y)2

-3xy=1⇒(2x+y)2

-1=3xy=23(2x)y ≤23(22y x +)2⇒(2x+y)2

≤58⇒2x+y ≤5

102.

11.解:4x 2

-5xy+4y 2

=5⇒xy=1-54S,x 2+y 2

≥2|xy|⇒S ≥2|1-54S|⇒1310≤S ≤3

10. 12.解:设S=x 2

+y 2

,由x 2

-3xy+y 2

=2⇒xy=3

1

(S-2);由x 2

+y 2

≥2|xy|⇒S ≥32|S-2|⇒S ≥54⇒x 2+y 2

的值域是[5

4,+∞). 13.解:设x 2

-xy+y 2

=t,x 2

+y 2

=

21(3+t),xy=21(3-t),x 2+y 2

≥2|xy|⇒2

1(3+t)≥|3-t|⇒1≤t ≤9. 14.解:由a 2

+ab+b 2

=1,且t=ab-a 2

-b 2

⇒1+t=2ab,1-t=2(a 2

+b 2

);由a 2

+b 2

≥2|ab|⇒1-t ≥2|1+t|⇒3t 2

+10t+3≤0⇒t 的最大值和最小值的积为1.

15.解:设x 2+y 2=r 2(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2+23xy −y 2=3⇒r 2(cos 2θ-sin 2θ)+23r 2sin θcos θ=3⇒r 2

(cos2θ

+3sin2θ)=3⇒sin(2θ+

6π)=223r

≤1⇒r 2

≥23. 16.解:设x 2

+y 2

=r 2

(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2

+2xy −y 2

=7⇒r 2

(cos 2

θ-sin 2

θ)+2r 2

sin θcos θ=7⇒r 2

(cos2θ+ sin2θ)=7⇒sin(2θ+4π)=2

27r ≤1⇒r 2≥227⇒x 2+y 2的最小值为227.