13.和积转换法

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高考数学母题
[母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248) 669
和积转换法
[母题]Ⅰ(11-13):若正数a,b,c,d,x,y 满足ax+by=cxy-d(cd-2ab ),且cd ≥2ab ,则xy 的取值范围是 .
[解析]:由cxy-d(cd-2
ab )=ax+by ⇒cxy-d(cd-2ab )≥2ab
xy ⇒(xy -d)(c xy +cd-2ab )≥0⇒xy -d ≥0
⇒xy ≥d 2
⇒xy 的取值范围是[d 2
,+∞).
[点评]:己知f(a+b,ab)=0,求a+b 的最小值,或ab 的最大值,基本方法是利用基本不等式把其一换为另一式,即进行和积
转换,然后通过解不等式求解;由该题生成高考试题有许多,列举部分如下:
[子题](1):(1999年全国高考试题)若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .
[解析]:由ab=a+b+3⇒ab-3=a+b ≥2
ab ⇒(ab +1)(ab -3)≥0⇒ab ≥3⇒ab ≥9⇒ab 的取值范围是[9,+∞).
注:该题是此类问题在高考中出现的第一题,因此,该题是此类高考试题的始源,显然,该题是母题的子题. [子题](2):(2010年浙江高考试题)若正实数x,y 满足2x+y+6=xy,则xy 的最小值是 .
[解析]:由2x+y+6=xy ⇒xy-6=2x+y ≥2
xy 2⇒(xy 2+2)(xy 2-6)≥0⇒xy 2≥6⇒xy ≥18,等号当且仅当2x=y,即
x=3,y=6时成立⇒xy 的最小值是18.
注:该题是1999年全国高考试题的变式,因此,该题也是母题的子题.
[子题](3):(2010年重庆高考试题)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)
2
9
(D)211
[解析]:由x+2y+2xy=8⇒8-(x+2y)=x(2y)≤(
2
2y x +)2
⇒(x+2y+8)(x+2y-4)≥0⇒x+2y ≥4.等号当且仅当x=2y,即x=2, y=1时成立⇒x+2y 的最小值是4.故选(B).
注:该题是1999年全国高考试题的另一种变式,多年高考出现同类试题,证明了高考母题存在的充分性,同时也说明该母题存在的必要性.
[子题系列]:
1.(2014年上海春招试题)已知a 、b ∈R +,若a+b=1,则ab 的最大值是 .
2.(2010年山东高考试题)已知x,y ∈R +,且满足
3x +4
y
=1则xy 的最大值为 . 3.(2014年上海高考试题)若实数x,y 满足xy=1,则x 2
+2y 2
的最小值为 . 4.(2004年重庆高考试题)己知
y
x 32+=2(x>0,y>0),则xy 的最小值是 .
5.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知正数x 、y 满足x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立m 则k 的最小值是_ _ .
6.(2009年天津高考试题)设x,y ∈R,a>1,b>1,若a x
=b y
=3,a+b=2
3
,则
y
x 1
1+的最大值为( ) (A)2 (B)
23 (C)1 (D)2
1
7.(2011年南京第一次质检试题)己知f(x)=log 2(x-2),若实数m,n 满足f(m)+f(2n)=3,则m+n 的最小值是 . 8.(2012年天津高考试题)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2
+(y-1)2
=1相切,则m+n 的取值范围是( )
670 [母题]Ⅰ(11-13):和积转换法(248)
(A)[1-3,1+3] (B)(-∞,1-3]∪[1+3,+∞) (C)[2-22,2+22] (D)(-∞,2-22]∪[2+22,+∞) 9.(2011年重庆高考试题)若实数a 、b 、c 满足2a
+2b
=2a+b
,2a
+2b
+2c
=2
a+b+c
,则c 的最大值是 .
10.(2011年浙江高考试题)设x,y 为实数,若4x 2
+y 2+xy=1,则2x+y 的最大值是 . 11.(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y 满足4x 2
-5xy+4y 2
=5,设S=x 2
+y 2
,则
min
max
11S S +
= .
12.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y 满足x 2
-3xy+y 2
=2,则x 2
+y 2
的值域是 . 13.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2
+xy+y 2
=3,则x 2
-xy+y 2
的最大值和最小值分别为 . 14.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知实数a,b 满足a 2
+ab+b 2
=1,且t=ab-a 2
-b 2
,则t 的最大值和最小值的积为 .
15.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x,y ∈R,且x 2+23xy −y 2=3,则x 2+y 2
的最小值是_____.
16.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)若x 、y 为实数,且x 2+2xy −y 2=7,则x 2+y 2
的最小值为_____. [子题详解]: 1.解:由1=a+b ≥2ab ⇒ab ≤41. 2.解:由1=3x +4y
≥212
xy ⇒xy ≤3. 3.解:由x 2+2y 2
≥22xy=22 4.解:由2=
y
x 32+≥2
y
x 3
2⋅
⇒xy ≥6.5.解:由5=x+y ≥2xy ⇒xy ≤425⇒lgx+lgy ≤2-4lg2⇒k 的最小值是2-4lg2. 6.解:由a x
=b y
=3⇒log 3a=
x 1,log 3b=y
1
⇒x 1+y 1=log 3a+log 3b=log 3ab ≤log 3(2b a +)2=1.故选(C).
7.解:由f(m)+f(2n)=3⇒log 2(m-2)+log 2(2n-2)=3⇒(m-2)(n-1)=4⇒4=(m-2)(n-1)≤[2
)1()2(-+-n m ]2
⇒m+n 最小值是7. 8.解:由直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2
+(y-1)2
=1相切⇔
2
2)1()1(|2)1()1(|+++-+++n m n m =1⇔m+n+1=mn ⇒m+n+1≤(
2
n m +)2
⇒ |m+n-2|≥22⇒m+n ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).故选(D). 9.解:设2a
=x,2b
=y,2c
=z,则x,y,z>0,且x+y=xy,x+y+z=xyz ⇒z=
1-+xy y x =1-xy xy =1+1
1
-xy ;由x+y=xy ⇒xy ≥2xy ⇒xy ≥4 ⇒z=1+
1
1-xy ≤34⇒2c
≤34⇒c ≤log 234=2-log 23,当且仅当x=y=2⇒a=b=1时,等号成立⇒c 的最大值是2-log 23. 10.解:由4x 2
+y 2
+xy=1⇒(2x+y)2
-3xy=1⇒(2x+y)2
-1=3xy=23(2x)y ≤23(22y x +)2⇒(2x+y)2
≤58⇒2x+y ≤5
102.
11.解:4x 2
-5xy+4y 2
=5⇒xy=1-54S,x 2+y 2
≥2|xy|⇒S ≥2|1-54S|⇒1310≤S ≤3
10. 12.解:设S=x 2
+y 2
,由x 2
-3xy+y 2
=2⇒xy=3
1
(S-2);由x 2
+y 2
≥2|xy|⇒S ≥32|S-2|⇒S ≥54⇒x 2+y 2
的值域是[5
4,+∞). 13.解:设x 2
-xy+y 2
=t,x 2
+y 2
=
21(3+t),xy=21(3-t),x 2+y 2
≥2|xy|⇒2
1(3+t)≥|3-t|⇒1≤t ≤9. 14.解:由a 2
+ab+b 2
=1,且t=ab-a 2
-b 2
⇒1+t=2ab,1-t=2(a 2
+b 2
);由a 2
+b 2
≥2|ab|⇒1-t ≥2|1+t|⇒3t 2
+10t+3≤0⇒t 的最大值和最小值的积为1.
15.解:设x 2+y 2=r 2(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2+23xy −y 2=3⇒r 2(cos 2θ-sin 2θ)+23r 2sin θcos θ=3⇒r 2
(cos2θ
+3sin2θ)=3⇒sin(2θ+
6π)=223r
≤1⇒r 2
≥23. 16.解:设x 2
+y 2
=r 2
(r>0)⇒x=rcos θ,y=rsin θ,由x 2
+2xy −y 2
=7⇒r 2
(cos 2
θ-sin 2
θ)+2r 2
sin θcos θ=7⇒r 2
(cos2θ+ sin2θ)=7⇒sin(2θ+4π)=2
27r ≤1⇒r 2≥227⇒x 2+y 2的最小值为227.。