不定积分换元法的教学案例

不定积分换元法的教学案例

摘要：数学教学是师生互动的数学思维的行为活动。教师在教学中要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于学生在数学课程的学习中，提高自身分析解决问题的能力。针对积分换元方法这一教学目标，采用“分层教学法”来进行教学设计，课堂反应良好，得到满意的教学效果。

关键词：分层教学法；积分换元法；高职院校

中图分类号：g642.4 文献标志码：a？摇文章编号：1674-9324（2013）18-0244-03

高等数学课程是高职院校理科学生的必修课程。通过该课程的学习，使学生在专业课的学习中储备了必须的基础知识，同时提高了运用数学概念、思想和方法研究事物的数学关系的能力，提高了思想和观点的逻辑性、准确性，增强了自身的科学素养，培养了学生的自我学习能力。是学生创新能力形成，最终养成良好的思维品质的一种重要途径。而微积分是数学的核心内容，学生只有“消化吸收”，才能在以后的数学学习中做到得心应手。

分层教学法[1]是“因材施教”理念的良好体现。它是指在学生知识基础和非智力因素存在明显差异的情况下，教师有针对性地实施分层教学，从而达到不同教学层次、教学目标的一种教学方法。分层教学有利于每个学生自主性、探索性和创造性的潜能发挥，真正为每位学生未来的发展夯实基础。

本文采用“分层教学法”对“换元积分习题课”一节进行教学设

计，课堂反应良好，教学效果较为满意。

一、教学设计理念

一般教材都是基于“直接利用基本积分公式或适当改变被积函数后再利用基本积分公式能够计算的积分是有限的，故需进一步探讨求积分的其他计算方法”引入积分换元方法的学习内容的。

本次积分习题课程是依据“分层教学法”的理念讲授的。在“分层教学法”的一些实际教学应用案例[2]中提到将“学生分组”。本文作者认为，这在高等数学教学中是不易实施的。首先，高等教育是成人教育，“平等、宽容”是其核心教学理念之一。其次，“课时紧，任务重”，公共基础课往往成为学校课时精简压缩的首选。故数学教学中“分层教学法”的做法，应多体现在题型的难易程度上，即“阶梯式展现”，尽量使得每个学生都有所收获。

二、案例陈述

（一）教学目标

定理一（第一类换元积分法）设函数f（u）是f（u）的原函数，设函数u=φ（x）可微，则有

■f[φ（x）]φ’（x）dxu=φ（x）=■f（u）du=f[φ（x）]+c 第一类换元积分法的基本思想是：将被积函数的一部分与dx凑成变量u的微分f（u），被积函数剩下的部分表达成u的函数使之成为■f（u）du的形式，因此该积分方法又叫凑微分法。

定理二（代换法）设函数f（x）连续，函数x=φ（t）单调可微，且φ’（t）≠0，则有

■f（x）dx=■f[φ（t）]φ’（t）dt

第二类换元积分发的基本思想是：在求不定积分用第一类换元法比较困难时，做反方向的换元，即设x=φ（t）来求解，以期求得积分结果。

（二）教学内容

例1 计算■（3x+2）dx

解：第一步，计算填空题d（5x+2）= x（这一步的教学目的，是使得积分变换的前提条件得以呈现）。

第二步，引导推出填空题d（ax+b）= dx（这一步的教学目的，是对学生展开需记忆的公式，学习领会并加以应用）。

第三步，看积分■（3x+2）dx式子中dx前面添加哪个数字使得积分式子能够恒等变成■（3x+2）d（3x+2），（这一步的教学目的是，使得尽量多的学生会套用公式，到这里教学基本目的达到，数学思想得以呈现）。

例2 计算■cos2xdx

例3 计算■■dx

例2、3积分变换的难度逐步提高。在例2教学中，让一位基础较好的学生黑板演示，例3通过教学提示，学生思考后，加以讲解。其中例1讲授时间占整个教学时间的三分之二（教学时间以标准课时50分钟为准），以保证学困生能够思考、理解并简单应用；例2偏向于中等以上的学生能够独立完成，或在看同学演算中能够独立理解；例3是一道面向优秀学生的拔高题目，教学时间只占总时间

的六或七分之一。

最终加以言语引导，展开后续课程内容，顺势列出常用的凑微分公式，第一定理的顺利讲授。

例4 计算■■dx

解：第一步，计算积分■xd（x2）（这一步的教学目的，是使得积分代换的思想得以呈现）。

第二步，进而引导推出■=t及相应的x=t2（这一步的教学目的，是对学生展示代换的基本类型）

第三步，看积分■a■dx（其中a>0），令a■=t，积分式子能够恒等变成■atadt（这一步的教学目的是，使得尽量多的学生会应用公式。到此教学目的基本达到，数学思想得以呈现）。

例5 计算■5■dx

例6 计算■■dx

例4、5、6三个例题的讲授思想和教学步骤，与定理一的讲授思想和教学步骤、安排大体一致（以标准课时50分钟为准）。

最后加以言语引导，展开后续课程内容，顺势指出其他的代换公式，第二定理的讲授完成。

（三）两种积分法的联系和区别

第一换元法用的是“凑积分”的办法，即不改变原有函数以及自变量形式，通过凑出相同或部分相同的函数或自变量形式来求不定积分。而第二换元法则是用另外的函数形式或部分形式来替代，达到简洁积分式子目的，最后通过回代的方式来求不定积分。第二换

元法必须要求换元函数的反函数存在，用万能公式等是典型的代替方法。两种换元法可以互用。如不行就使用后面讲的分步积分法。

三、教学效果及反思

这节课的所有教学环节均进行得顺利，课堂上学生学习热情高，课堂参与度高，师生交流较多。针对于本文作者所带11级的教学班与采用本教案的12级教学班相比较，课堂表现及课后检查，情况有了相当的改观，知识掌握的优秀率和良好率均有10到12个百分点的提升。

积分是数学思想的一个方面的具体体现，加上近年来，数学软件的广泛应用，做过难的题已经失去意义，学生们只要会做一般的题型，就达到教学目标。这种情况，其实给教师提出更高的要求，既教授课程是教授思想，教学中心不是围绕“题型”，教学理应回归到“教会学生科学思考”的教学本质。

数学教学是师生互动的数学思维的行为活动。教师在教学中要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于学生在数学课程的学习中提高自身分析解决问题的能力。学生在数学学习中，必须有诸多的相关因素参与其中，但高职院校的学生在这一方面欠缺比较多。所以教学设计的起点应有所降低，依照实际情况，适当分解、分散难点，使得尽量多的学生参与，烘托课堂气氛，提升学生参与度，增加学生学习信心。

四、总结

高职院校的公共基础课教育教学改革是大家特别关心的一类问