商人们怎样安全过河

数学建模第三次大作业
姓名：张裕昕
学号：14020310028
商人们怎样安全过河
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全渡河？
假设：
·每次渡河的人数为一到二人，没有其他的情况，并且过程中无意外；
·安全的渡河计划是船离开或到达一岸前后两岸都满足商人数大于等于随从数；
·为保证渡河的步数有限不会进行重复的渡河步骤。

模型：
·设河一岸商人数为X，随从数为Y，另一岸商人数为A，随从数为B,每次渡河商人数为C，随从数为D，则有：
(X0,Y0)=(3,3)；
(A0,B0)=(0,0)。

需满足条件：
渡河过程中：C+D<=2
在河的一岸：｛
X!=0X>=Y;
X=0 Y=I (i=0,1,2,3)
｝
河的另一岸：｛
A!=0A>=B;
A=0 B=j (j=0,1,2,3)
｝
如图
浩浩荡荡一条河
河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)
(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)(2,3)(2,2)(2,1)(2,0)(1,3)(1,2)(1,1)(1,0)(0,3)(0,2)(0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
河两岸对应的数对代表了船到某一岸后的数量关系
图中河两岸列出了所有可能的选项，删除不满足渡河关系的选项，有
河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
按照合理的渡河关系，得到下面的线路图
河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
由回路的关系可知，每条线代表的渡河线路都是可逆的，即渡河线路是双向的又两条(3,3)和(0,1)之间的通途只能进行重复的往返毫无意义，故可以删去。

河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
用一条虚线将整个渡河过程分为两部分
河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
由于连接（2，2）和（3，1）的线路只有一条，即连接左右两边的线路只有一条，故可以把左右两边分成两个独立的部分
左侧有两种走法：
河的另一岸一
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
河的另一岸二
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
右侧有两种走法 1
河的另一岸
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
河的另一岸 2
(A,B)
(0,0) (0,1)(0,2)(1,1)(0,3) (2,2)(3,0) (3,1) (3,2)(33)
(3,3) (3,2)(3,1) (2,2)(3.0) (1,1) (0,3) (0,2) (0,1)(0,0)
(X,Y)
河的一岸
以上左右两侧两两组合就可以得出不同的四种渡河方案，其中一和1的组合就是书中坐标轴图解法的解。