2014年上海春季高考数学试卷详细答案版(最新)
2014年高考上海卷数学(文)真题试题试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试题卷（文史类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是_________.2.若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=__________.3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f =_________.4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________. 5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为_________. 6.若实数x ，y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为_________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为________.（结果用反三角函数值表示） 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围是_________.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q =________.11.若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是_________.12.方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于_________.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 .（结果用最简分数表示）14.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6．若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.3511 12二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15.设,a b ∈R ，则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16.已知互异的复数a ，b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ，2b }，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-17.如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1+=kx y （k 为常数）上两个不同 的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+1,12211y b x a y b x a 的解的情况是（ ）（A ）无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 （B ）无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥ABC P -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .P 1AC BP 2P 3P 3AB P 1 P 7 P 6 P 5P 2P 420.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(.（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A ，B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？αACBβD22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),(111y x P ，),(222y x P ，记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证：点)2,1(A ，)0,1(-B 被直线01=-+y x 分隔；（2）若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线．23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n ∈N *，11a =. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）参考答案一、填空题 1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70 【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等） 6．22【解析】2222222x y xy +≥= 【考点】基本不等式求最值 7．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ. 由已知得233rl r l r ππ=⇒=，则1sin 3r l θ==，所以1arccos 3θ=.【考点】反正弦函数、解三角形 8．24【解析】2(322)24V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图、长方体体积的计算 9．2a ≤【解析】由题意知()02f ≤，即2a ≤. 【考点】分段函数的值域 10．152-+ 【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则152q -+=.【考点】无穷递缩等比数列的各项和 11．()0,1【解析】首先注意定义域()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1.【考点】幂函数与数形结合 12．7π3【解析】由已知化简得π1sin 32x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ,2π333x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，则π5ππ,2π366x +=+，所以1π2x =，211π6x =，所以127π3x x +=. 【考点】三角方程 13．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆．A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --.因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤，即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 二、选择题 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．D【解析】由题得22,1,1,a a a b b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩（舍），或2222,1a b a b b a a b b a⎧=⎪⇒-=-⇒+=-⎨=⎪⎩.【考点】集合相等的含义、复数的运算 17．C【解析】cos i i AB AP AB AP θ⋅=⋅，cos i AP θ的值可能为0、1或2，所以i AB AP ⋅=0、2或4， 即i AB AP ⋅（i =1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选C. 【考点】平面向量的数量积 18．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上， 故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元线性方程组解的讨论 三、解答题19．在△123P P P 中，13PA P A =，23P C P C =， 所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分 同理，234P P =，314P P =.所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分 设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=. ……9分 从而，12233ABC V S PQ =⋅=△. ……12分【考点】椎体体积的计算20．（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log 1y f x y -+=-，1x <-或1x >. ……6分（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分 【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论 21．（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……4分 APB HCQ解得20228.28h ≤≈．因此，CD 的长之多约为28.28米. ……6分 （2）在△ABD 中，由已知，+=56.57αβ，115AB =， 由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064BD ≈. ……10分 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅，解得26.93CD ≈.所以，CD 的长约为26.93米. ……14分 【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理22．（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. ……3分（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组22,41y kx x y =⎧⎨-=⎩有解，即1||2k <. 因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20k η=-<， 即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔. 故实数k 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. ……9分 （3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22(2)||1x y x +-⋅=，即222(2)1x y x ⎡⎤+-⋅=⎣⎦. ……11分对任意的0y ，0(0,)y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点. ……13分 又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0η<，即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线. ……16分 【考点】新定义问题、曲线与方程 23．（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3，6]. ……3分（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >.因为+1133n n n a a a ≤≤，所以133q ≤≤.从而11111110003m m m a q q ---⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，131000m -≥，解得8m ≥. ……7分8m =时，711,310003q ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. 所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a 的公比为741010. ……9分（3）设数列12100,,,a a a 的公差为d .则1+33n n n a a d a ≤≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =. ①当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤； ……12分 ②当0d =时，999821a a a a ====，符合条件； ……14分③当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……18分 【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、分类讨论．。
2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．z+）•=3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2 ．）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆+=1）的焦点与椭圆=1故=4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．y=∴y=+=2，=x=±6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．∴=3===arccos，7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．=故答案为：8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q= ．，由此能求出（=（﹣=故答案为：9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足即＜∴∵y=是增函数，∴10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，天的概率是故答案为：11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．则①或由①得，12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x2，x3，则x1+x2+x3=．x+a=cosx=2（sinx+x+a=），x+，即=2k++=+2=故答案为：13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2 ．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P 和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明﹣使得+=∴m=二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）=，•=（，∵，∴•|∴•17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）∴k=，18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）≤x++a三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．==20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．∴∴∴∴，整理可得∴，整理可得=21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．==，∵0，∴tan，即由正弦定理得，∴m=22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．∴k≤﹣．•|x|=1，故曲线23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．）依题意：将已知代入求出）先求出通项：，由求出等式S∴；又）由已知得，，∴，，即，，即∴不等式当，，即∴此不等式即∴的取值范围为：．由得即时，﹣≤d≤2；时，由，1000=k的公差为﹣。
2014年上海市高考数学卷(文)详解版
2014年上海市数学高考真题（文）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是___________．2T π=2．若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1·z z z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．6 3．设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f =___________．34．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________．2x =-5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________．706．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________．227．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为___________（结果用反三角函数值表示）．1arcsin3α= 8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于___________．249．设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为___________．2a ≤10．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1a =34lim()n n a a a →∞+++，则q =___________．152-+ 11．若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________．01x <<12．方程sin 3cos 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于___________．73π 13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是___________（结果用最简分数表示）．11514．已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为___________．[2,3] 二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ B ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ D ）A ．2B ．2C ．0D ．1-17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点，则·(1,2,,7)i AB AP i =的不同值的个数为（ C ）A ．7B ．5C ．3D ．118．已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ B ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使之恰有两解D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V ．解：在123PP P 中，1323,PA P A PC PC ==， 所以AC 是中位线，故122 4.PP AC ==同理，23314, 4.P P P P ==所以123PP P 是等边三角形，各边长均为4. 设Q 是ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ， 所以22223, 6.33AQ PQ AP AQ ==-=从而，122.33ABC V S PQ =⋅=20．设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．解：（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)2,1xy y +=-得1y <-1,y >且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log ,11x f x x x -+=<-- 1.x > （2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21(),21x xf x +=-定义域为(,0)(0,),-∞⋃+∞2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数；当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞⋃+∞关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.21．如图，某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC长35米，CB 长80米．设点A ,B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12,18.45αβ︒︒==，求CD 的长（结果精确到0.01米）．解：（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan ,tan 3580h hαβ==，所以22800,351()80hh h ⨯≥>-解得20228.28h ≤≈.因此，CD 的长至多约为28.28米.（2）在ABD 中，由已知，56.57,115AB αβ︒+==，由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064.BD ≈在BCD 中，由余弦定理得2222cos ,CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅ 解得26.93.CD ≈所以，CD 的长约为26.93米.22．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． （1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．解：（1）因为40,η=-<所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kxx y =⎧⎨-=⎩有解，即1||.2k <因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ≥. 当1||2k ≥时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20,k η=-<即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,).22-∞-⋃+∞（3）设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E ||1,x =即222[(2)] 1.x y x +-⋅=对任意的00,(0,)y y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点(1,2)-和(1,2)对于y 轴满足0,η<即点(1,2)-和(1,2)被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分割线.若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =.由222[(2)]10y kx x y x =⎧⎨+-⋅-=⎩得222[(2)]10x kx x +-⋅-=， 令222()[(2)]1f x x kx x =+-⋅-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解， 即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线. 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =． （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．解：（1）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤，解得3 6.x ≤≤ 所以x 的取值范围是[3,6].（2）设{}n a 的公比为q .由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0.n a > 因为1133n n n a a a +≤≤，所以13.3q ≤≤从而1111111(),3100010003m m m m a q q ----==≥≥，解得8m ≥.8m =时，1[,3].3q =所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a （3）设数列12100,,,a a a 的公差为.d则123,,1,2,,99.33n n n n n a a d a a d a n ≤+≤-≤≤=①当0d >时，999821,a a a a >>>>所以102d a <≤，即0 2.d <≤②当0d =时，999821,a a a a ====符合条件.③当0d <时，999821,a a a a <<<<所以999922,3a d a -≤≤2(198)2(198)3d d d -+≤≤+，又0d <，所以20.199d -≤< 综上，12100,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2].199-。
2014年上海高考数学文理科卷解析版
李老师作品数学（理）2014 第1页（共4页）2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是____________.12π 2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭____________.考点：复数代数形式的乘除运算分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 解答：解：复数z=1+2i，其中i 是虚数单位11(12)(12)612z zi i i z ⎛⎫+⋅=++-= ⎪-⎝⎭3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为分析215y +=的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程2 解答215y =，故它的右焦点坐标是（2，0），215y =故P=4∴抛物线的准线方程为x=-2．4. 设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =，则a 的取值范围为____________.5. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为____________. 分析：由已知可得y =1=得222222x y x x+=+≥。
得x =答案是6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）3径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．cos θ==得arccos θ=半径的3倍，是解答的关键．7. 已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是____________.∴C 与极轴的交点到极点的距离是13ρ=8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =________.分析：由已知条件推导出11111a a a a q q=---由此能求出q 的值．411111112(1)lim 111011n x a q aa a a q a a qq qq q q q →∞⎛⎫-=--=-- ⎪--⎝⎭∴+-=--==得或（舍）9. 若32()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是_____________.()036621()0,1x x x x f x x -<<==得得；是增函数得x 得解集为10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_______________（结果用最简分数表示）. 恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有310120C =种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种， 115= 11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=__________.5}{}22,,a b a b=2201b a b b a b⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩或得：或 ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a 2，a=b 2，则两式相减得a 2-b 2=b-a ， ∵互异的复数a ，b ， ∴b-a ≠0，即a+b=-1， 故答案为：-1．的关键，注意要进行分类讨论． 12. 设常数a 使方程sin cos x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123xx x ++=____________.分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数2sin()3y x π=+的图象，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3最后相加即可．123sin 0,,2323x x x x πππ⎛⎫+==== ⎪⎝⎭12373x x x π++=13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，6 则小白得5分的概率至少为____________.此能求出结果．则由题意知小白得4分的概率为1-x ，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E （ξ）=4.2， ∴4（1-x ）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2．变量的数学期望的合理运用14. 已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和l上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为____________. 分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．解答：解：曲线:C x =[]2,0p x ∈-对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6，[]62,32xpm +=∈ 故答案为：[2，3]7P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的[答]（ ）(A) 充分条件. (B) 必要条件.16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为[答]（ ） (A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.计算可得答案．则A （2，0，0），B （2，0，1），P 1（1，0，1），P 2（0，0，1），P 3（2，1，1），P 4（1，1，1），P 5（0，1，1），P 6（2，2，1），P 7（1，2，1），8 P 8（0，2，1），11(1,2,,8)AB AP i ==故选择A数量积运算是解题的常用手段．17. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x和y 的方程组11221,1a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是[答]（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在,,k P P ，使之有无穷多解.111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上且斜率存在。
2014年高考上海卷数学(文)试卷解析(精编版)(解析版)
2014年上海市高考数学试卷（文科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .4. 若抛物线y 2=2px的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【解析】椭圆22195x y +=的右焦点为(2,0)，因此22p=，4p =，准线方程为2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24⨯-⨯=.【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324【考点】三视图，几何体的体积..9. 设,0, ()1,0,x a xf xx xx-+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f是()f x的最小值，则a的取值范围是.【答案】(,2]-∞【解析】由题意，当0x>时，()f x的极小值为(1)2f=，当0x≤时，()f x极小值为(0)f a=，(0)f是()f x的最小值，则2a≤.【考点】函数的最值问题..10.设无穷等比数列{na}的公比为q，若)(lim431++=∞→aaan，则q= .12. 方程sin31x x+=在区间[0,2]π上的所有解的和等于.【答案】73π【解析】原方程可变形为2sin()13xπ+=，即1sin()32xπ+=，(1),36kx k k Zπππ+=+-⋅∈，由于[0,2]x π∈，所以12x π=，2116x π=，所以1273x x π+=. 【考点】解三角方程.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C ：24x y =--l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点】向量的坐标运算．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ． 【考点】充分学科网必要条件．17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） （A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．选B.【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. （本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .20. （本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设AB 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？【答案】（1）28.28CD ≈米；（2）26.93CD ≈米． 【解析】22. （本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k ∈-∞-+∞；（3）证明见解析. 【解析】（3）由题得，设(,)M x y 22(2)1x y x +-=， 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= 当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.因为对任意的0y R ∈，点0(0,)y 不是方程222[(2)]1x y x +-⋅=的解，所以直线0x =与曲线E 没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线y 轴是E 分隔线．【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.。
2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题〔共14题，总分值56分〕1．〔4分〕〔2014•上海〕函数y=1﹣2cos2〔2x〕的最小正周期是．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2〔2x〕=﹣[2cos2〔2x〕﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：点评：此题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．〔4分〕〔2014•上海〕假设复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•==〔1+2i〕〔1﹣2i〕+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评：此题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．〔4分〕〔2014•上海〕假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是〔2，0〕，又y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2点评：此题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．〔4分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔2〕=4，则a的取值范围为〔﹣∞，2]．考点：分段函数的应用；真题集萃．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解：当a＞2时，f〔2〕=2≠4，不合题意；当a=2时，f〔2〕=22=4，符合题意；当a＜2时，f〔2〕=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：〔﹣∞，2]．点评：此题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，此题是一道基础题．5．〔4分〕〔2014•上海〕假设实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：此题考查基本不等式，属基础题．6．〔4分〕〔2014•上海〕假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos〔结果用反三角函数值表示〕．考点：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下列图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C的极坐标方程为ρ〔3cosθ﹣4sinθ〕=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ〔3cos0﹣4sin0〕=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．〔4分〕〔2014•上海〕设无穷等比数列{a n}的公比为q，假设a1=〔a3+a4+…a n〕，则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=〔a3+a4+…a n〕=〔﹣a1﹣a1q〕=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=〔舍〕．故答案为：．点评：此题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．〔4分〕〔2014•上海〕假设f〔x〕=﹣，则满足f〔x〕＜0的x的取值范围是〔0，1〕．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f〔x〕=﹣，假设满足f〔x〕＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：〔0，1〕．故答案为：〔0，1〕．点评：此题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．10．〔4分〕〔2014•上海〕为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是〔结果用最简分数表示〕．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是〔1，2，3〕，〔2，3，4〕，〔3，4，5〕，〔4，5，6〕，〔5，6，7〕，〔6，7，8〕，〔7，8，9〕，〔8，9，10〕，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．点评：此题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．〔4分〕〔2014•上海〕已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．解答：解：根据集合相等的条件可知，假设{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．假设b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决此题的关键，注意要进行分类讨论．12．〔4分〕〔2014•上海〕设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin〔x+〕的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2〔sinx+cosx〕=2sin〔x+〕=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin〔x+〕=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：此题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．〔4分〕〔2014•上海〕某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，假设E〔ξ〕=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．解答：解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E〔ξ〕=4.2，∴4〔1﹣x〕+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．点评：此题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，假设对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．解答：解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．点评：此题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题〔共4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．〔5分〕〔2014•上海〕设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，假设a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决此题的关键，比较基础．16．〔5分〕〔2014•上海〕如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i〔i=1，2，…8〕是上底面上其余的八个点，则•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．解答：解：=，则•=〔〕=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为1，故选A．点评：此题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．〔5分〕〔2014•上海〕已知P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是〔〕A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象．专题：函数的性质及应用；直线与圆．分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．解答：解：P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：〔a1b2﹣a2b1〕x=b2﹣b1，即〔a1﹣a2〕x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．点评：此题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．18．〔5分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔0〕是f〔x〕的最小值，则a的取值范围为〔〕A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，析：得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，f〔0〕=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：此题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题〔共5题，总分值72分〕19．〔12分〕〔2014•上海〕底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其外表展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==点评：此题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．〔14分〕〔2014•上海〕设常数a≥0，函数f〔x〕=．〔1〕假设a=4，求函数y=f〔x〕的反函数y=f﹣1〔x〕；〔2〕根据a的不同取值，讨论函数y=f〔x〕的奇偶性，并说明理由．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据反函数的定义，即可求出，〔2〕利用分类讨论的思想，假设为偶函数求出a的值，假设为奇函数，求出a的值，问题得以解决．解答：解：〔1〕∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．〔2〕假设f〔x〕为偶函数，则f〔x〕=f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=，整理可得a〔2x﹣2﹣x〕=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f〔x〕=1，x∈R，满足条件；假设f〔x〕为奇函数，则f〔x〕=﹣f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f〔x〕=，满足条件；综上所述，a=0时，f〔x〕是偶函数，a=1时，f〔x〕是奇函数．点评：此题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．〔14分〕〔2014•上海〕如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．〔1〕设计中CD是铅垂方向，假设要求α≥2β，问CD的长至多为多少〔结果精确到0.01米〕？〔2〕施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长〔结果精确到0.01米〕．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：〔1〕设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．〔2〕利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．解答：解：〔1〕设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．〔2〕设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．点评：此题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的关键．22．〔16分〕〔2014•上海〕在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，记η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，假设η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，假设曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．〔1〕求证：点A〔1，2〕，B〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔；〔2〕假设直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；〔3〕动点M到点Q〔0，2〕的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．考点：直线的一般式方程；真题集萃．专题：计算题；直线与圆．分析：〔1〕把A、B两点的坐标代入η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，再根据η＜0，得出结论．〔2〕联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．〔3〕设点M〔x，y〕，与条件求得曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．由于y 轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答：〔1〕证明：把点〔1，2〕、〔﹣1，0〕分别代入x+y﹣1 可得〔1+2﹣1〕〔﹣1﹣1〕=﹣4＜0，∴点〔1，2〕、〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔．〔2〕解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点〔﹣1，0〕和〔1，0〕被直线y=kx分隔．〔3〕证明：设点M〔x，y〕，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1〔1，2〕、P2〔﹣1，2〕为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．假设过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+〔y﹣2〕2]x2=1，可得[x2+〔kx﹣2〕2]x2=1，令f〔x〕=[x2+〔kx﹣2〕2]x2﹣1，∵f〔0〕f〔2〕＜0，∴f〔x〕=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．点评：此题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．〔16分〕〔2014•上海〕已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．〔1〕假设a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；〔2〕设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，假设S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．〔3〕假设a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．考等比数列的性质；数列的求和．点：等差数列与等比数列．专题：分〔1〕依题意：，又将已知代入求出x的范围；析：〔2〕先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q 的范围．〔3〕依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k 的公差．解解：〔1〕依题意：，答：∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6〔2〕由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≤q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≥q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．〔3〕设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为﹣．点评：此题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决此题的关键，属于一道难题．。
2014年上海春季高考数学试卷【修正】(含答案解析)
3 3 ) ，所以 ( a 2 1,1) / /(1, ) 3 3
x2 （2） a 2 时，椭圆方程是 y 2 1。 2 M ( x , y ) N ( x , y ) 设点 1 1 ，点 2 2
18．
cos sin
sin cos
（
）
1
2； (C) 1 ； ( A) cos 2 ； ( B) s i n ( D ) 1 。 x 19．设 x0 为函数 f ( x) 2 x 2 的零点，则 x0 （ ） ； ) (C) ( 0 , 1 ) ) ( A) (2, 1) ； ( B) ( 1, 0； ( D) ( 1, 2。 20．若 a b ， c R ，则下列不等式中恒成立的是 （ ） 1 1 a b ； 。 2 ( A) ； ( B) a2 b2 ； (C) a c b c ( D) 2 a b c 1 c 1 21．若两个球的体积之比为 8: 27 ，则它们的表面积之比为（ ） ( A) 2 : 3 ( B) 4 : 9 (C) 8: 27 ( D) 2 2 : 3 3 22．已知数列 an 是以 q 为公比的等比数列。若 bn 2an ，则数列 bn 是（ ） ( A) 以 q 为公比的等比数列； ( B) 以 q 为公比的等比数列； (C) 以 2q 为公比的等比数列； ( D) 以 2q 为公比的等比数列。 23．若点 P 的坐标为 (a, b) ，曲线 C 的方程为 F ( x, y) 0 ，则“ F (a, b) 0 ”是“点 P 在 曲线 C 上”的 （ ） ( A) 充分非必要条件； ( B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； ( D) 既非充分又
【文】2014上海高考数学试卷及答案
2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2、本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ．2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 3、设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．4、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 5、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．6、若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．7、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8、在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ． 9、设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 10、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = ．11、若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．12、方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 ．13、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．14、已知曲线:C x =:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16、已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1-17、如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点， 则(1, 2, , 7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ） (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 118、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点， 则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解(C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)(． （1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.01米）．满分7分．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记 1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．（1）若1342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）参考答案一、填空题（第1题至第14题）1．2π 2．6 3．3 4．2x =- 5．70 6． 7．1arcsin 38．24 9．(],2-∞ 10 11．(0,1) 12．73π 13．115 14．[2,3]二、选择题（第15题至第18题）15．B 16．D 17．C 18．B三、解答题（第19题至第23题）19、[解]：在123PP P ∆中，13PA P A =，23PC PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==． 同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4．设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =，PQ ==．从而，133ABC V S PQ ∆=⋅=． 20、[解]：（1）因为2424x x y +=-，所以()4121x y y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此，所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-，()(),11,x ∈-∞-+∞．（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数； 当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．21、[解]：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80h β=，所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD AB ααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈． 所以，CD 的长约为26.93米．22、[证]：（1）因为40η=-<，所以点,A B 被直线10x y +-=分隔．[解]：（2）直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx ⎧-=⎨=⎩有解， 即12k <．因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即12k ≥． 当12k <时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<， 即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞． [证]：（3）设M的坐标为(,)x y ，则曲线E 1x =，即22[(2)]1x y x +-⋅=．对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<，即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔． 所以y 轴为曲线E 的分隔线． 23、[解]：（1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤，解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >． 因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解得8m≥．8m =时，1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8，8m=时，{}n a（3）设数列12100,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，223n n a d a -≤≤，1,2,,99n =． ① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤． ② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件． ③ 当0d <时，999821a a a a <<<<，所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+， 又0d <，所以20199d -≤<． 综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-．。
2014年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．=故答案为：2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．z+=4．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=）的焦点与椭圆+解：由题意椭圆++=1得=牙齿健康状况2y=y=≥=2，=±27．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）==3==arcsinarcsin9．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，x综合得出x+x+≥10．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．，由此能求出（（﹣，q=q=故答案为：11．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．﹣，若满足＜，y=的解集为：（12．（4分）（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．x+==2k+=2k+sinx+sinx+cosx=x+=x+=2k，或x+，x=，+=故答案为：．选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．天共有种情况，，故答案为：．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．通过曲线方程判断曲线特征，通过+，说明﹣+=，∈则17．（5分）（2014•上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P i（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）∴=），），），），==∴=0=2，=4=0，，=4∴（18．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）k=，19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3=20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；的位置可得=，整理可得=，整理可得21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？，tan，，由正弦定理得a=≈22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为）联立．当≥，﹣][，23．（18分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若{a n}是等比数列，且a m=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a n}的公比；）由题意可得：，，由已知可得，，由于，可得，可得，由已知可得，解出即可．）由题意可得：；，由已知可得，，又．因此，1000===，由已知可得，时，不等式即，．．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学pdf版
= 0 或 ∆=
1− 4k 2 ≠ 0 ，∴ k ∈ (−∞, − 1] [1 , +∞)
4(1− 4k 2 ) < 0
22
证明：（理科）（3）由题得，设 M (x, y) ，∴ x2 + ( y − 2)2 ⋅ x = 1，
化简得，点 M 的轨迹方程为 E : x2 + ( y − 2)=2
1 x2
23.（本题满分 18 分）本题共 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 9 分.
已知数列 {an } 满足
1 3
an
≤
an+1
≤
3an , n
∈
N*, a1
= 1 .
（1）若= a2 2= , a3 x= , a4 9 ，求 x 的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且 am
{ ③当 a ≠ 0 且 a ≠ 1时，定义域为 x x ≠ log2 a, x ∈ R}，
∴定义域不关于原定对称，∴ y = f (x) 为非奇非偶函数
21.解：（1）由题得，∵α ≥ 2β ，且 0 < 2β ≤ α < π ，∴ tanα ≥ tan 2β 2
CD
CD 即≥
35
40 CD 2
，解得， CD
的方程组
aa12xx
+
b1
y
= 1
的解的情况是（
+ b2 y = 1
）
（A）无论 k， P1, P2 如何，总是无解
（B)无论 k， P1, P2 如何，总有唯一解
（C）存在 k， P1, P2 ，使之恰有两解
（D）存在 k， P1, P2 ，使之有无穷多解
2014年高考上海卷数学(理)试卷及答案解析
2014年高考上海卷数学（理）试卷及答案解析考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
(1) 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________. 【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=Θ5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
2014年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分。
2（2x）的最小正周期是．1．（ 4 分）（ 2014?上海）函数 y=1﹣ 2cos考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．剖析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．22=﹣ [2cos （ 2x ）﹣ 1]∴函数的最小正周期为T==故答案为：评论：此题观察二倍角的余弦公式，波及三角函数的周期，属基础题．2．（ 4 分）（ 2014?上海）若复数z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（z+）?= 6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．剖析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混淆运算化简求解即可．解答：解：复数 z=1+2i ，此中 i 是虚数单位，则（ z+）?==（ 1+2i ）（ 1﹣2i ）+12=1 ﹣ 4i +1=2+4=6 ．故答案为： 6评论：此题观察复数代数形式的混淆运算，基本知识的观察．23．（ 4 分）（ 2014?上海）设常数a∈R，函数 f（ x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f（ 2）=1，则 f（ 1）=3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．2剖析：利用 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|， f（ 2）=1，求出 a，而后求解 f （ 1）即可．2解答：解：常数 a∈R，函数 f（ x）=|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|，若 f （ 2） =1 ，∴ 1=|2﹣ 1|+|22﹣a|，∴ a=4，函数 f （ x ）=|x ﹣ 1|+|x 2﹣ 4|，∴ f （ 1） =|1﹣1|+|12﹣ 4|=3，故答案为： 3．评论：此题观察函数值的求法，基本知识的观察．2+=1 的右焦点重合，则该抛物4．（ 4 分）（ 2014?上海）若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 线的准线方程为x=﹣ 2 ．考点 ：椭圆的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由题设中的条件 y 2=2px （ p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故能够先求出椭圆的右焦点坐标，依据两曲线的关系求出 p ，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+ =1，故它的右焦点坐标是（ 2， 0），又 y 2=2px （p ＞ 0）的焦点与椭圆+ =1 的右焦点重合，故得 p=4 ，∴抛物线的准线方程为x= ﹣ =﹣2．故答案为： x= ﹣ 2评论：此题观察圆锥曲线的共同特点， 解答此类题，重点是娴熟掌握圆锥曲线的性质及几何特点，娴熟运用这些性质与几何特点解答问题．5．（ 4 分）（ 2014?上海）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名， 1200 名， 800 名．为认识该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70．考点 ：分层抽样方法． 专题 ：概率与统计．剖析：依据分层抽样的定义，成立比率关系，即可获得结论． 解答：解：∵高一、高二、高三分别有学生1600 名， 1200 名， 800 名，∴若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x ，则，解得x=90 ，则高一、高二共需抽取的学生数为 90﹣ 20=70 ，故答案为： 70．评论：此题主要观察分层抽样的应用，比较基础．6．（ 4 分）（ 2014?上海）若实数 22的最小值为 2．x ， y 知足 xy=1 ，则 x +2y 考点 ：基本不等式．专题 ：不等式的解法及应用．剖析：由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解答：解：∵ xy=1 ，∴ y=∴ x 2+2y 2 =x 2+ ≥2=2 ，2当且仅当 x =，即 x= ± 时取等号，故答案为： 2评论：此题观察基本不等式，属基础题．7．（ 4 分）（ 2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin （结果用反三角函数值表示）考点 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题 ：空间地点关系与距离．剖析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，从而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，∴= =3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍，故圆锥的轴截面以下列图所示：则 sin θ= = ，∴ θ=arcsin ，故答案为： arcsin评论：此题观察的知识点是旋转体，此中依据已知获得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的重点．8．（ 4 分）（ 2014?上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图以下图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3， 4， 5，故大长方体的体积为： 60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为 3 的柱体，其底面面积为 4×5﹣ 2×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣ 36=24，故答案为： 24评论：此题观察的知识点是由三视图求体积，此中依据已知中的三视图剖析出几何体的形状是解答的重点．9．（ 4 分）（ 2014?上海）设f（ x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（﹣∞，2]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．剖析：分别由 f （ 0） =a， x≥2，a≤x+综合得出a 的取值范围．解答：解：当 x=0 时， f（ 0）=a，由题意得： a≤x+，又∵ x+ ≥2=2，∴a≤2，故答案：（∞， 2]．点：本观察了分段函数的用，基本不等式的性，是一道基．10．（ 4 分）（ 2014?上海）无等比数列{a n} 的公比q，若 a1=（a3+a4+⋯a n），q=．考点：极限及其运算．：等差数列与等比数列．剖析：由已知条件推出a1=，由此能求出q 的．解答：解：∵无等比数列{a n} 的公比q，a1=（a3+a4+⋯a n）=（a1a1q）=，∴q 2+q 1=0，解得 q=或q=（舍）．故答案：．点：本考等比数列的公比的求法，是中档，解要真，注意极限知的合理运用．11．（ 4 分）（ 2014?上海）若 f（ x）=，足f（x）＜0的x的取范是（0，1）．考点：指、数不等式的解法；其余不等式的解法．：不等式的解法及用．剖析：直接利用已知条件化不等式求解即可．解答：解： f（ x）=，若足f（ x）＜ 0，即＜，∴，∵ y=是增函数，∴的解集为：（0， 1）．故答案为：（ 0， 1）．评论：此题观察指数不等式的解法，函数的单一性的应用，观察计算能力．12．（ 4 分）（ 2014?上海）方程 sinx+cosx=1 在闭区间 [0，2π]上的全部解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．剖析：由三角函数公式可得 sin（ x+）= ，可知 x+=2k π+ ，或 x+ =2kπ+，k∈Z，联合 x∈[0，2π]，可得 x 值，乞降即可．解答：解：∵ sinx+cosx=1，∴sinx+cosx= ，即 sin（ x+ ） = ，可知 x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵ x∈[0，2π]，∴ x=，或x=，∴+=故答案为：．评论：此题观察两角和与差的三角函数公式，属基础题．13．（ 4 分）（ 2014?上海）为加强安全意识，某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．剖析：要求在将来的连续10 天中随机选择3天进行紧迫分散操练，选择的 3 天恰巧为连续 3天的概率，须先求在10 天中随机选择 3 天的状况，再求选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况，即可获得答案．解答：解：在将来的连续10 天中随机选择3天共有种状况，此中选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况有8 种，分别是（ 1， 2， 3），（ 2，3，4），（ 3，4， 5），（4， 5， 6），（ 5， 6，7），（ 6，7， 8），（7， 8， 9），（ 8， 9，10），∴选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是，故答案为：．评论：此题观察古典概型以及概率计算公式，属基础题．14．（ 4 分）（ 2014?上海）已知曲线C： x= ﹣，直线l： x=6，若对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，则m 的取值范围为[2， 3]．考点：直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：+ = ，说明 A 是 PQ 的中点，联合 x 的范围，经过曲线方程判断曲线特点，经过求出 m 的范围即可．解答：，是以原点为圆心， 2 为半径的圆，而且 x P∈[﹣ 2， 0]，解：曲线 C： x=﹣对于点 A （ m， 0），存在 C 上的点P 和l 上的Q 使得+ =，说明 A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x=6 ，∴ m=∈[2，3]．故答案为： [2， 3]．评论：此题观察直线与圆的地点关系，函数思想的应用，观察计算能力以及转变思想．二、选择题（共 4 题，满分零分15．（ 5 分）（ 2014?上海）设A ．充分非必需条件C．充要条件20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得a，b∈R，则“a+b＞ 4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的（B．必需非充足条件D．既非充足又非必需条件5 分，不然一律得）考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：简略逻辑．剖析：依据不等式的性质，利用充足条件和必需条件的定义进行判断．解答：解：当 a=5， b=0 时，知足a+b＞ 4，但 a＞ 2 且 b＞2 不可立，即充足性不可立，若 a＞ 2 且 b＞ 2，则必有a+b＞4，即必需性成立，故“a+b＞4”是“a＞ 2 且 b＞ 2”的必需不充足条件，应选： B．评论：此题主要观察充足条件和必需条件的判断，依据不等式的性质是解决此题的重点，较基础．比16．（ 5 分）（ 2014?上海）已知互异的复数a， b 足 ab≠0，会合 {a ， b}={a2，b2} ， a+b=（）A ． 2B． 1C． 0D． 1考点：集合的相等．：集合．剖析：依据会合相等的条件，获得元素关系，即可获得．解答：解：依据会合相等的条件可知，若22，{a ， b}={a ， b }① 或② ，由① 得，∵ ab≠0，∴ a≠0 且 b≠0，即 a=1， b=1 ，此会合 {1 ， 1} 不足条件．由②得，若 b=a 2，a=b2，两式相减得a2b2=b a，即（ a b）（ a+b）=（ a b），∵互异的复数a， b，∴a b≠0，即 a+b= 1，故： D．点：本主要考会合相等的用，依据会合相等获得元素同样是解决本的关，注意要行分．17．（ 5 分）（ 2014?上海）如，四个 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条， P i（ i=1 ，2，⋯，7）是小正方形的其余点，?（i=1，2，⋯，7）的不一样的个数（）A ．7B． 5C．3D．1考点：平面向量数目的运算．：算；平面向量及用．剖析：成立适合的平面直角坐系，利用坐分求出数目，由果可得答案．解答：解：如成立平面直角坐系，A （ 0， 0），B （ 0， 2）， P1（0， 1），P2（ 1， 0）， P3（ 1， 1）， P4（1， 2），P5（ 2，0）， P6（2，1），P7（ 2， 2），∴，=（ 0， 1），=（ 1， 0），=（1， 1），=（ 1， 2），=（ 2， 0），=（ 2， 1），=（2， 2），∴=2 ，=0，=2，=4，=0，=2，=4，∴? （ i=1 ， 2，⋯， 7）的不一样的个数 3，故 C．点：本考平面向量的数目运算，属基．18．（ 5 分）（ 2014?上海）已知P1（ a1， b1）与 P2（a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，对于x 和 y 的方程的解的状况是（）A．无 k， P1， P2怎样，是无解B．无 k， P1， P2怎样，有独一解C．存在 k， P1， P2，使之恰有两解D ．存在 k， P1， P2，使之有无多解考点：一次函数的性与象．：函数的性及用；直与．剖析：判断直的斜率存在，通点在直上，推出a1， b1， P2， a2， b2的关系，而后求解方程的解即可．解答：解： P1（a1， b1）与 P2（ a2， b2）是直y=kx+1 （ k 常数）上两个不一样的点，直y=kx+1 的斜率存在，∴ k=，即a1≠a2，而且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴ a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2 a1=a2a1，①× b2②×b1得：（a1b2a2b1） x=b 2b1，即（ a1a2）x=b 2b1．∴方程有独一解．应选： B．评论：此题观察一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC ，其表面睁开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：利用侧面睁开图三点共线，判断△ P1P2P3是等边三角形，而后求出边长，利用正四周体的体积求出几何体的体积．解答：解：依据题意可得：P1， B， P2共线，∵∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠ CBP2，∠ ABC=60 °，∴∠ ABP 1=∠ BAP 1=∠CBP2=60 °，∴∠ P1=60°，同理∠ P2=∠ P3=60°，∴△ P1P2P3是等边三角形， P﹣ ABC 是正四周体，∴△P1 2 3的边长为4，P PV P﹣ABC ==评论：此题观察空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面睁开图和体积的求法．20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数a≥0，函数 f（ x） =．（1）若 a=4，求函数 y=f （ x）的反函数 y=f ﹣ 1（ x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数y=f （ x）的奇偶性，并说明原因．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）依据反函数的定义，即可求出，（ 2）利用分类议论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决．解答：解：（ 1）∵ a=4，∴∴，∴，∴调动 x， y 的地点可得， x∈（﹣∞，﹣ 1）∪（ 1， +∞）．（ 2）若 f （ x）为偶函数，则 f （ x） =f （﹣ x）对随意 x 均成立，∴=，整理可得a（2x﹣ x） =0．﹣ 2x﹣ x∵2 ﹣2 不恒为 0，∴ a=0，此时 f（ x） =1， x∈R，知足条件；若 f（ x）为奇函数，则 f （ x） =﹣ f （﹣ x）对随意x 均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴ a=1，此时 f（ x）=，知足条件；综上所述， a=0 时， f （x）是偶函数，a=1 时， f（ x）是奇函数．评论：此题主要观察了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类议论的思想，属于中档题．21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在 A 、B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD ，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A 、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD 的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后， CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12°，β=18.45 °，求 CD 的长（结果精准到 0.01 米）．考点：解三角形的实质应用．专题：解三角形．剖析：（ 1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式成立不等式关系即可获得结论．（ 2）利用正弦定理，成立方程关系，即可获得结论．解答：解：（ 1）设 CD 的长为 x 米，则 tanα=， tanβ=，∵ 0，∴tanα≥tan2β＞0，∴ tan，即=，解得 0≈28.28，即 CD 的长至多为 28.28 米．（2）设 DB=a ， DA=b ， CD=m ，则∠ADB=180 °﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即 a=，∴ m=≈26.93，答： CD 的长为 26.93 米．评论：此题主要观察解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的重点．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l ：ax+by+c=0 和点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2），记η=（ax1+by 1+c）（ ax2+by2 +c），若η＜ 0，则称点 P1，P2被直线 l 分开，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分开，则称直线 l 为曲线 C的一条分开线．（1）求证：点 A （ 1， 2）， B （﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开；（2）若直线22k 的取值范围；y=kx 是曲线 x ﹣4y=1 的分开线，务实数（3）动点 M 到点 Q（ 0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明y 轴为曲线 E 的分开线．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．剖析：（ 1）把 A 、B 两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再依据η＜0，得出结论．（ 2）联立222≤0，可得（ 1﹣4k ） x =1，依据此方程无解，可得1﹣4k从而求得 k 的范围．222（ 3）设点M （ x， y），与条件求得曲线① ．因为 yE 的方程为 [x +（ y﹣ 2） ]x =1轴为 x=0，明显与方程①联立无解．把 P1、P2的坐标代入 x=0 ，由η=1×（﹣ 1）=﹣ 1＜ 0，可得 x=0 是一条分开线．解答：解：（ 1）把点（ 1， 2）、（﹣ 1， 0）分别代入x+y ﹣ 1 可得η=（ 1+2 ﹣ 1）（﹣ 1﹣ 1）=﹣4＜ 0，∴点（ 1，2）、（﹣ 1， 0）被直线x+y ﹣ 1=0 分开．（ 2）联立22可得（ 1﹣4k ） x =1，依据题意，此方程无解，故有1﹣24k ≤0，∴ |k|≥ ．当 |k|≥ ， 于直y=kx ，曲 x 24y 2=1 上的点（ 1， 0）和（ 1， 0）2足 η=k ＜ 0，即点（ 1， 0）和（ 1， 0）被 y=kx 分开．（ 3） 点 M （ x ， y ），?|x|=1，故曲 E 的方程 [x2+（ y 2）2 2]x =1 ① ．随意的 y 0，（ 0， y 0）不是上述方程的解，即 y 与曲 E 没有公共点．又曲 E 上的点（ 1，2）、（ 1， 2） 于 y（ x=0 ） 足 η=1×（ 1） = 1＜ 0，即点（ 1，2）和（ 1， 2）被 y 分开，所以y 曲 E 的分开 ．点 ：本 主要考 新定 ，直 的一般式方程，求点的 迹方程，属于中档 ．23．（ 18 分）（ 2014?上海）已知数列{a n } 足a n ≤a n+1≤3a n ， n ∈N *， a 1=1．（1）若 a 2=2， a 3=x ， a 4=9，求 x 的取 范 ；（2）若 {a n } 是等比数列，且a m = ，求正整数 m 的最小 ，以及 m 取最小 相{a n }的公比；（3）若 a 1， a 2 ，⋯a 100 成等差数列，求数列 a 1， a 2，⋯a 100 的公差的取 范 ．考点 ：数 列的乞降；数列 推式．：等差数列与等比数列．剖析：（ 1）由 意可得：，，代入解出即可；（ 2） 公比 q ，由已知可得，，因为，可得．而，可得 ，再利用 数的运算法 和性 即可得出．（ 3） 公差 d ，由已知可得3[1+（ n 2）d]，其中 2≤n ≤100，即 ，解出即可．解答：解；（ 1）由 意可得： ，∴；又，∴ 3≤x ≤27．上可得： 3≤x ≤6．（ 2） 公比 q ，由已知可得， ，又，∴．所以，∴，∴ m=1﹣ log q1000==1 ﹣=≈7.28．∴ m 的最小值是7，8，所以 q =∴=．（ 3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]即，令 n=1 ，得．当 2≤n≤99 时，不等式即，．∴．综上可得：公差 d 的取值范围是．评论：此题综合观察了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法例等基础知识与基本技术方法，观察了推理能力和计算能力，属于难题．。
2014年全国高考上海市数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年上海市高考数学试卷（理科）解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解18. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面 展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.zxxk20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—上海卷
2014高考数学【上海卷（文）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.3. 设常数a ∈R ，函数f (x )=|x －1|+|x 2－a |. 若f (2)=1，则f (1)= .4. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为_________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 .6. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 . 10. 设无穷等比数列公比为q ，若()134lim n a a a →∞=++，则__________q =.11. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.12. 方程sin xx = 1在区间[0, 2π]上的所有解的和等于 .13. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.14. 已知曲线:C x =:6l x =. 若对于点(),0A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 已知互异的复数a , b 满足ab ≠0，集合{a , b }={a 2, b 2}，则a +b =（ ）. A. 2 B. 1 C. 0 D. －117. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则i AB AP ⋅(i =1,2,…,7)的不同值的个数为（ ）. A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 P765218. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是（ ）.A. 无论k 、1P 、2P 如何，总是无解B. 无论k 、1P 、2P 如何，总有唯一解C. 存在k 、1P 、2P ，使之恰有两解D. 存在k 、1P 、2P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设A 、B 点在同一水平面上，从A 和B 看的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ，记()()1122a x b y c a x b y c η=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.(1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n *∈N ，11a =.(1) 若22a =，3a x=，49a =，求x 的取值范围；(2) 若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；(3) 若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos 4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等）6．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 7．1arcsin 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ。
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析)答案解析
数学答案解析
1、
【答案】
【解析】由题意 ，
【考点】三角函数的周期.
2、
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3、
【答案】 .
【解析】椭圆 的右焦点为 ，因此 ， ，准线方程为 .
【考点】椭圆与抛物线的几何性质合题意，因此 ，此时 时， ，满足 .
试题解析：（1）由题得， ，∴ 被直线 分隔.
（2）由题得，直线 与曲线 无交点
即 无解
∴ 或 ，∴ .
又对任意的 ，点 和 在曲线 上，满足 ，被直线 分隔，所以所求 的范围是 ．
（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 .
联立方程， .
令 ，因为 ，
所以方程 有实解，直线 与曲线 有交点．直线 不是曲线 的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 .
显然 与曲线 没有交点，又曲线 上的两点 对于直线 满足 ，即点 被直线 分隔．所以直线 是 分隔线．
试题解析：（1）由 ，解得 ，从而 ，
∴ ，
∵ 且
∴①当 时， ，
∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数
②当 时， ， ，
∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数
③当 且 时，定义域为 ，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
21、
【答案】（1） 米；（2） 米．
【解析】
试题分析：这属于解三角形问题，条件 可转化为 ，即 ，而 可用 的长表示出来，从而得到关于 的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求 的长，可在 或 中解得，由此要求得 或 的长，然后利用余弦定理，求得 ， 而 或 两边要 中，可用正弦定理求得．
上海市春季高考数学试卷(含答案).doc
上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。
若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。
11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
2014年上海市高考数学试卷(文科)-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a ，b ∈R ，则“a +b >4”是“a >2且b >2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a,b}={a 2,b 2}，则a +b =( ) A. 2B. 1C. 0D. −13. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,7)的不同值的个数为( )A. 7B. 5C. 3D. 14. 已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组{a1x+b1y=1a2x+b2y=1的解的情况是( )A. 无论k，P1，P2如何，总是无解B. 无论k，P1，P2如何，总有唯一解C. 存在k，P1，P2，使之恰有两解D. 存在k，P1，P2，使之有无穷多解第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 函数y=1−2cos2(2x)的最小正周期是______．6. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+1z)⋅z.=______ ．7. 设常数a∈R，函数f(x)=|x−1|+|x2−a|，若f(2)=1，则f(1)=______ ．8. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．9. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为______ ．10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为______．11. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为______ (结果用反三角函数值表示)12. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______．13. 设f(x)={−x+a,x≤0x+1x,x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为______ ．14. 设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=n→∞lim(a3+a4+⋯a n)，则q=______．15. 若f(x)=x23−x−12，则满足f(x)<0的x的取值范围是______．16. 方程sinx+√3cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是______ (结果用最简分数表示)．18. 已知曲线C ：x =−√4−y 2，直线l ：x =6，若对于点A(m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
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2014年上海市普通高等学校春季招生统一考试1．若416x=，则x = ．2．计算：(1)=i i + （i 为虚数单位）． 3．1、1、2、2、5这五个数的中位数是 ． 4．若函数3()f x x a =+为奇函数，则实数a = ．5．点(0,0)O 到直线40x y +-=的距离是 ． 6．函数11y x =+的反函数为 ． 7．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 8．已知1cos 3α=，则cos 2α= ． 9．已知a 、b R +∈。
若1a b +=，则ab 的最大值是 ．10．在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示）． 11．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分 钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里．12．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB += ，则P 的轨迹方程为 ． 二、选择题13．两条异面直线所成的角的范围是（ ）()A (0,)2π； ()B (0,]2π； ()C [0,)2π； ()D [0,]2π14．复数2i +（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）()A 2i -； ()B 2i -+； ()C 2i --； ()D 12i +15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（ ）()A sin y x =；()B sin 2y x =；()C cos y x =；()D cos 2y x =16．在4(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）()A 6； ()B 4； ()C 2； ()D 117．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）()A 2y x =； ()B y x =； ()C s i n y x =； ()D 3y x =18．cos sin sin cos θθθθ-=（ ）()A cos 2θ； ()B s i n 2θ； ()C 1； ()D 1- 19．设0x 为函数()22x f x x =+-的零点，则0x ∈（ ）()A (2,1)--； ()B (1,0)-； ()C (0,1)； ()D (1,2)20．若a b >，c R ∈，则下列不等式中恒成立的是（ ）()A 11a b <； ()B 22a b >； ()C a c b c >； ()D 2211a bc c >++ 21．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）()A 2:3 ()B 4:9 ()C 8:27 ()D 22:3322．已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列．若2nn b a =-，则数列{}n b 是（ ）()A 以q 为公比的等比数列； ()B 以q -为公比的等比数列； ()C 以2q 为公比的等比数列； ()D 以2q -为公比的等比数列23．若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的( )()A 充分非必要条件； ()B 必要非充分条件； ()C 充分必要条件； ()D 既非充分又非必要条件24．如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分， 则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（ ）()A 1 ()B 32 ()C 62 ()D 104三、解答题25．（本题满分7分） 已知不等式201x x -<+的解集为A ，函数lg(1)y x =-的定义域为集合B ，求A B ．26．（本题满分7分）已知函数2()4,[3,3]f x x x a x =-+∈-.若(1)2f =，求()y f x =的最大值和最小值.27．（本题满分8分）如图，在体积为13的三棱锥P ABC -中，PA 与平面ABC 垂直，1AP AB ==，2BAC π∠=， E 、F 分别是PB 、AB 的中点.求异面直线EF 与PC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左焦点为F ，上顶点为B .（1）若直线FB 的一个方向向量为3(1,)3，求实数a 的值； （2）若2a =，直线:2l y kx =-与椭圆C 相交于M 、N 两点，且3FM FN ⋅=，求实数k 的值．B i ............A 2A iB 1B 2A 1CB A29．（本题满分13分）已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线221:1()n n n x y C n N a a *+-=∈.（1）若121,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-，求{}n a的通项公式；（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)nn P P x n ，过n P 作y 轴的垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆的面积为n S .若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞.（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)nn n u A u →∞=≥，则lim n n u A →∞=）30．（本题满分8分）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为,b a ，如图，过AC 边的n 等分点iA作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为(1,2,,1)i P i n =- ． 是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ≥，点(1,2,,1)i P i n =- 都在这条曲线上？说明理由．31．（本题满分8分）某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻 测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。
假设地球赤道是一个半径 为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01º）．32．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.如果存在非零常数c ，对于函数()y f x =定义域R 上的任意x ，都有()()f x c f x +>成立， 那么称函数为“Z 函数”.（1）求证：若()()y f x x R =∈是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数32()g x ax bx =+时“Z 函数”，求实数,a b 满足的条件．参考答案一、填空题（第1题至第12题）1、22、i +-13、24、05、226、11-=xy 7、2n 8、97-9、41 10、125 11、26 12、1)1()1(22=-+-y x二、选择题（第13题至第24题）13、B 14、A 15、B 16、A 17、D 18、C 19、C 20、D 21、B 22、A 23、C 24、D 三、解答题（第25题至第29题） 25、解：012<+-x x 的解集是)2,1(-=A ；由1,01>>-x x 得，即),1(+∞=B ；因此，)2,1(=B A ． 26、解：由(1)142f a =-+=，得5a =，22()45(2)1f x x x x =-+=-+，因为当[3,2]x ∈-时，()f x 单调递减；当[2,3]x ∈时，()f x 单调递增；由于(3)26,(2)1,(3)2f f f -===，所以当[3,3]x ∈-时，26)(max =x f ，1)(min =x f ．27、解：由1111.11,3323ABC V S PA AC ∆==⨯⨯⨯⨯=得AC 2=， 因为PA EF //，所以异面直线EF 与PC 所成的角为APC ∠，由直角三角形PAC ，则2tan =∠APC ，异面直线EF 与PC 所成角为2arctan ． 28、解：（1）易知)0,1(),1,0(2--a F B ，所以)1,1(2-=a FB 又因为)33,1(是直线FB 的一个方向向量，所以11332=-⨯a ，因为1a >，所以2=a ． （2）由2=a ，知)0,1(-F ，联立068)21(1222222=+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=kx x k y x kx y 得． 设),(),,(2211y x N y x M ，则 ),1(),,1(2211y x FN y x FM +=+= ，221221216,218k x x k k x x +=+=+ 12121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)FM FN x x y y x x k x k x ⋅=+++=+++--21212(1)(12)()5k x x k x x =++-++2811312k k +==+ 解得2k =或23k =-，又因为0>∆，故2=k ． 29、（1）由题意，141-=++n a a n n 则3421+=+++n a a n n ；两式相减得：42=-+n n a a所以21{}k a -是以1为首项，4为公差的等差数列，得2114(1)43k a k k -=+-=-；2{}k a 是以2为首项，4为公差的等差数列，得224(1)42k a k k =+-=-；所以).(2,2212,12*N k k n n k n n a n∈⎩⎨⎧=--=-=（2）由题意，则2211np n n x n a a +-=，所以21n n p n n a x n a a +=+ 双曲线的渐近线1:n n OQ n a l y x a +=，所以1n nQ n a x n a +=211lim 11lim lim 22lim lim 1lim lim lim lim nn n n n nnn n n n n n n n n a S a a a a a n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++→∞→∞=⨯=+⨯+， 所以2111lim lim ()2n n n n n n n n a a S n n a n a a →∞→∞++=+-2111lim2nn n nn n n na a a n a n a a →∞++=++2111lim 2nn n n nn n a a a a a a n →∞++=++211lim 1lim 2lim lim 1lim lim lim lim nn n nnn n n n n n n n n a a a a a a n →∞→∞→∞→∞→∞→∞++→∞→∞=⨯+⨯+12=； 所以lim n n S →∞=21． 30、解：以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，过A 作AC 的垂线为y 轴建立直角坐标系；则,0ii A b n （），），（a n i b B i ，11()i n i N *≤≤-∈；∴i l ：x bnaiy =，i d ：b n i x =；∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==bn i x x bnai y ⇒22i i i P b a n n （，）⇒22a y x b = ∴存在满足条件的圆锥曲线（抛物线x b a y 2=）．31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中O 为球心，B A 、分别为甲、乙监测点，C 为卫星所在位置， D 为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明C 的位置，且AC BC >，故有以下三种情况）．易得6378OA OB OD ===，016=∠AOB ，45.1537=AC ，64.887=BC在AOB ∆中，222cos 1775.292AB OA OB OA OB AOB AC BC =+-⋅∠≈>>；∴在ABC ∆中，ACB ∠最大，即BAC ∠、030=∠BAC 都是锐角，所以选择第三张图；∴2223c o s22AB AC BCBAC AB AC+-∠=≈30.000BAC ⇒∠≈ 112.000O A C ⇒∠≈； ∴在AOC ∆中，222cos 7098.543OC AC AO AC AO OAC =+-⋅∠≈；∴720.543h OC OD =-≈，即卫星高度为km 54.720； 又 在BOC ∆中，997.02cos 222≈-+=∠OCOB BCOC OB BOC 4.415BOC ⇒∠≈ ；∴147 4.415142.5-≈∴即卫星位于赤道上东经142.58．32、解： （1）[证明]① 当函数)(x f y =是单调递增函数时，则)()1(x f x f >+对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1=c ，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立； ∴)(x f y =是“Z 函数”；② 当函数)(x f y =是单调递减函数时，则(1)()f x f x ->对任意x 恒成立； ∴存在非零常数1c =-，使得对任意x 都有)()(x f c x f >+成立； ∴)(x f y =是“Z 函数”；（2）由题意，若函数32()g x ax bx =+是“Z 函数”，则存在非零常数c ，对于定义域R 上的任意x ，都有)()(x g c x g >+恒成立，即2323)()(bx ax c x b c x a +>+++；化简后，得22323(32)()0acxac bc x ac bc ++++>恒成立；则223230(32)43()0ac ac bc ac ac bc >⎧⎨∆=+-⋅+<⎩化简后，得02303a b c a >⎧⎪⎨>⋅≥⎪⎩或02303a b c a <⎧⎪⎨<-⋅≤⎪⎩∴只需满足条件0a b R≠⎧⎨∈⎩．。