固体物理第16次课

第 16 次 课教学目的：掌握一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型；理解近自由电子近似方法；掌握电子波函数、能量的意义；理解电子波函数与简约波矢的关系；教学容： §4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似重点难点：近自由电子近似模型、方法；电子波函数、能量的意义；电子波函数与简约波矢的关系；§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似1、模型和微扰计算（1）一维自由电子近似模型：金属中电子受到粒子周期性势场的作用，如图XCH004_001所示—— 假定周期性势场的起伏较小，作为零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场：()V V x =—— 周期性势场的起伏量()V x V V -=∆作为微扰来处理 （2）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 考虑一维由N 个原子组成的金属金属的线度：L Na = —— a 为晶格常数零级近似下：22022d H V m dx=-+ 零级近似下的薛定谔方程：22000022d V E m dxψψψ-+= 方程的解就是在恒定场V 自由粒子的解：01()ikxk x e Lψ=—— 能量本征值 2202kk E V m=+ 引入周期性边界条件：0()11()ikx ik x Na k x e e L Lψ+== ——k 的取值：2k l Naπ=—— l 为整数 ——01()ikxk x e Lψ=满足正交归一化条件 —— 00''0*Lk k kk dx ψψδ=⎰（3）微扰下电子的能量本征值 电子的哈密顿量：0'H H H =+无微扰时的哈密顿量—— 22022d H m dx=- 微扰哈密顿量 —— '()H V x V V =-=∆根据微扰理论，电子的能量本征值： 0(1)(2).k k k k E E E E =+++一级能量修正：(1)|'|k E k H k =<>|'|k H k <>|()|k V x V k =<->(1)011[()]Likx ikx kEe V x V e dx L L-=-⎰(1)011[()]Likx ikxkEe V x e dx V L L-=-⎰——(1)0k E = 二级能量修正 ——2(2)00'''|'|k k kk k H k E E E<>=-∑，式中'k k ≠'|'|'|()|k H k k V x V k <>=<->'|()|k V x k =<>—— (')01'|()|()Li k k x k V x k e V x dx L --<>=⎰—— 按原胞划分写成1(1)(')01'|()|()N n a i k k xnan k V x k e V x dx Na -+--=<>=∑⎰ 引入积分变量ξ——x na ξ=+，有::01dx d x na na a ξξ=→+→势场具有晶格平移周期性 —— ()()V V na ξξ=+1(')(')001'|()|()N a i k k na i k k n k V x k e e V d Na ξξξ-----=<>=∑⎰ —— 先对一个原胞积分，再对N 个原胞求和1(')(')0011'|()|[()][]N a i k k i k k a n n k V x k e V d e a N ξξξ-----=<>=⋅∑⎰i) 2'k k n aπ-=——1(')01[]1N i k k a n n eN ---==∑ ii) 2'k k n aπ-≠——(')1(')(')0111[]1i k k Na N i k k a n i k k a n e e N N e -------=-=-∑将(2)l k Na π=和''(2)l k Naπ=代入得到——(')(')1101i k k Na i k k a e N e -----=- 所以(')021''|()|()()2''|()|0a i k k k k n k V x k V n e V d a a k k n k V x k aξπξξπ---=<>==-≠<>=⎰(')01()()a i k k V n e V d aξξξ--=⎰—— 周期场V （x ）的第n 个傅里叶系数将'2/'|'|()'2/'|'|0k k n a k H k V n k k n ak H k ππ-=<>=-≠<>=和220220'2'2kk k E Vm k E Vm=+=+代入2(2)00'''|'|k k k k k H k E E E <>=-∑ —— 2(2)222'[(2)]2nk nV E nk k m aπ=-+∑计入微扰后电子的能量 —— 222222'2[(2)]2nk nV kE V nm k k m aπ=++-+∑（4）微扰下电子的波函数电子的波函数：0(1)()()().k k k x x x ψψψ=++波函数的一级修正：(1)0'00'''|'|k k k k k k H k E E ψψ<>=-∑，式中'k k ≠将'2/'|'|()'2/'|'|0k k n a k H k V n k k n ak H k ππ-=<>=-≠<>=和220220'2'2kk k E Vm k E Vm =+=+代入上式(1)k ψ (2)(1)2221[(2)]2n i k x naknV e nLk k maπψπ+=-+∑—— 2(1)2221[(2)]2ni xikx naknV e enL k k m aπψπ=-+∑计入微扰后电子的波函数—— 222211()[(2)]2ni xikx ikxnak nV x e e enL L k k m aπψπ=+-+∑—— 电子的波函数具有布洛赫函数形式22221(){1}[(2)]2ni xikxnak nV x e enL k k m aπψπ=+-+∑—— 令2222()1[(2)]2ni xnak nV u x e nk k m aππ=+-+∑可以证明()()k k u x ma u x +=是晶格的周期函数1()()ikxk k x e u x Lψ=—— 电子的波函数具有布洛赫函数形式 （5）电子波函数的意义 （i ）电子波函数与散射波电子波函数 222211()[(2)]2ni xikx ikxnak nV x e e enL L k k m aπψπ=+-+∑1ikxe L—— 波矢为k 的前进的平面波 22221[(2)]2ni xikxnanV e enL k k m aππ-+∑—— 平面波受到周期性势场作用产生的散射波—— 散射波的波矢'2nk k aπ=+——222[(2)]2nV nk k m aπ-+为相关散射波成份的振幅如果相邻原子产生的散射波成份有相同的相位 ——(2)ni k ik aee π+-=2n k k k a π'=+=-—— 电子入射波的波矢n k aπ=- 电子的入射波波波长：22ak nπλ==2a n λ=—— 布拉格反射条件在正入射时的结果（2sin a n ϕλ=）在这种情况下，散射波成份的振幅 —— 22221[(2)]2ni xikxnanV e enL k k m aππ⇒∞-+∑—— 此时一级修正项太大，微扰法不再适用了 （ii ）电子波函数与不同态之间的相互作用从222211()[(2)]2ni xikx ikxnak nV x e e enL L k k m aπψπ=+-+∑可以看出：在原来的零级波函数01()ikxk x e Lψ=中将参入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数： (2)0'1()ni k x ak x e L πψ+=—— 它们的能量差越小，掺入的部分就越大—— 当n k a π=-时，'2n n k k a aππ=+=，两个状态具有相同的能量，导致了波函数的发散。

（6）电子能量的意义 二级能量修正 —— 2(2)222'[(2)]2nk nV E nk k m aπ=-+∑当22(2)n k k a π=+，n k a π=-时：(2)k E ⇒±∞ ——电子的能量在n k aπ=-时是发散的由于n k a π=-和2'n n k k a aππ=+=两个状态具有相同的能量，即k 和k '态是简并的。

（6）电子波矢n k aπ=-附近能量和波函数 —— 在简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 如果状态(1)n k aπ=--∆—— ∆是一个小量，如图XCH004_002所示周期性势场中，对其有主要影响的状态：2'n k k a π=+—— '(1)n k aπ=+∆ 只考虑影响最大的状态'(1)n k aπ=+∆—— 忽略其它状态的影响 —— 电子的波函数00'()k k x a b ψψψ=+ 其中01ikx k e L ψ=，0''1ik xk e Lψ= 将波函数代入薛定谔方程：0()'()()H x H x E x ψψψ+=—— 22022d H V m dx=-+，'()H V x V V =-=∆ —— 考虑到00000000'''k k k k k k H E H E ψψψψ==得到：0000''()()0k k k k a E E V b E E V ψψ-+∆+-+∆=分别以0*k ψ或0'*k ψ从左边乘上方程，对x 积分，并利用：''0k V k k V k <∆>=<∆>= 得到两个线性代数方程：0*0'()0()0k n n k E E a V b V a E E b -+=+-=——*''n nV k V k V k V k =<>=<>：势场为实数——a 和b 有非零解，系数行列式满足：0*0'0k n n k E EV V E E-=-—— 能量本征值200002''1{()4}2k k k k n E E E E E V ±=+±-+1) 两个状态如果满足条件00'k k n E E V ->> —— 波矢k 离n aπ-较远，电子k 状态的能量和状态k '能量差别较大 20000''002'41{()1}2()n k k k k k k V E E E E E E E ±=+±-+-将2002'41()n k k V E E +-按2002'4()n k k V E E -泰勒级数展开 —— 22002002''4211()()n n k k k k V VE E E E +≈+--20000''002'21{()[1]}2()n k k k k k k V E E E E E E E ±=+±-+-20'00'200'n k k k n k k k V E E E E V E E E ±⎧+⎪-⎪⇒=⎨⎪-⎪-⎩因为(1)'(1)n k an k aππ=--∆=+∆和0∆>， 00'k k E E >—— E E +->——k 和k '能级相互作用的结果：原来能级较高的k '提高，原来能级较低的k 下压 —— 如图XCH004_002所示—— 量子力学中，在微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用”2) 两个状态如果满足条件00'k k n E E V -<<两个状态的波矢~'~n k an k aππ-—— 电子k 状态的能量和状态k’能量差别很小00200''2()1{21}24k k k k n nE E E E E V V ±-=+±+， 将002'2()14k k nE E V -+按002'2()4k k nE E V -泰勒级数展开—— 002002''22()()111244k k k k nn E E E E V V --+≈+00200''()1{2}24k k k k n nE E E E E V V ±-=+±+将(1)'(1)n k an k a ππ=--∆=+∆代入22220'2'2k k k E V m k E Vm=+=+得到： 2022220222'()(1)(1)2()(1)(1)2kn k n n E V V T m an E V V T m a ππ=+-∆=+-∆=+-∆=+-∆ 22()2n n T m a π=—— 电子的动能在将上式代入00200''()1{2}24k k k k n nE E E E E V V ±-=+±+，得到222(1)2(1)n n n n n n n n nn T V T V T V E T V T V T V ±⎧+++∆+⎪⎪=⎨⎪+--∆-⎪⎩ （7）结果分析1) 如图XCH004_003所示。