数学奥林匹克初中训练题(141)

数学奥林匹克初中训练题

第一试

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．将代数式42x x +加上一个单项式后，其结果是一个代数式的完全平方．则这样的单项式有（ ）个

A ．6

B ．5

C ．4

D ．不超过3

2．已知关于x 的不等式组213,

42x x a ->⎧⎨-≥⎩

的解集为x b >．则代数式324a b a b ---的值为

（ ）

A ．311a b -

B ．5b a -

C ．223a -

D ．110-

3．只有初、高中生参加的某种棋赛，其计分方法为：胜者得1分，败者是0分，和局双方各得0.5分，每一位选手与其他选手对局一次．已知参赛选手中高中生为初中生的2倍，但其所得总分为初中生的10倍．则初中生参赛人数至多为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，∠ADC =30°，AD =3，BD =5．则边CD 的长为（ ）

A

． B ．4

C

．

D ．4.5

5．在直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．设k 为非零实数．若两条不同直线1y kx k =-与1

1y x k

=-的交点不整点，则k 的值有（ ） 个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．多于3

6．如图，已知N 是以AB 为直径的半圆上一点，NM ⊥AB 于点M ，半圆⊙O 1、⊙O 2分别以AM 、BM 为直径，⊙O 3、⊙O 4均与半圆⊙O 内切，亦与MN 相切，并分别与半圆⊙O 1、⊙O 2相外切．若⊙O 3、⊙O 4的面积之和为64π，则11

AM BM

+

的值为（ ）

A ．1 B

C

D

二、填空题（每小题7分，共28分）

1．同一平面内的四点A 、B 、C 、D 满足AD =BD =CD ，∠ADC =160°．则∠ABC 的度数为____________．

D

B

A

2

1

2．若函数()()212223

x k

y k x k x k +=

++++-的自变量x 的取值范围是全体实数，则k 的取

值范围是_______________．

3．已知a 、b 为实数，满足22

2222

22a b t a b a b

=+++．则t 的最小值为_____________． 4．已知AD 是△ABC 的高，∠BAC =135°，AD =3，BC =25．则△ABC 的周长为________．

第二试

一、（20分）已知关于x 的方程()

22666360kx k k x k -++++=的根均是某个等腰直角三角形的边长．求k 的值．

二、（25分）如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：

（1）OI 是△IBD 外接圆的切线； （2）AB +AD =2BD ．

三、（25分）15名小朋友每人有15枚棋子，他们玩一种“石头、剪刀、布”的游戏，每两人之间只进行一次胜负对决，并且负者送给胜者一枚棋子．游戏结束后，将15名小朋友分成甲、乙两组，甲组的棋子总数比乙组的棋子的总数多63枚．求乙组中棋子枚数最多的小朋友棋子枚数的最大值和最小值．