最新一致连续与柯西收敛准则
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解： 极限lim f (x)存在的柯西收敛准则： x lim f (x)存在的充分必要条件为 x 0 , X 0 ,当 x ,x X 时f( ， x ) f( x ) 有 .
极限limf (x)不存在的柯西收敛：准则 x
lim f (x)不存在的充分必要条为件
x
0 0 ,对 X 0 ,总 x 1 ,x 2 X 有 ,使 f( x 1 ) 得 f( x 2 ) 0 .
x 1 x 2 2 sx i1 2 n x 2 x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
0, 20,对任x1,意 x2( 的 , ) , 当 x1x2时，恒 f(x1) 有 f(x2),
函f数 (x)xsixn在 ( , )上一致连续
___________________________ _______________________
x 2 n x n 2 1 n 2 n 1 1 n 1 1 2 n n 1 2 0 ,
故由柯西收敛 数准 列 x则 n发知 散， 。
___________________________ _______________________
2. 一致连续性
设函数 f (x)在区间 I上有定义，如果意 对给 于定 任的
c n 1 c n 2 c m 1 c n c n 1 c n 2 c m 1
snsmsnsm,
由柯_西 ______收 ______敛 ______准 ____列 ___则 _xn 收 知敛 ，。 数
_______________________
例6. 设 xn11 2 1 n,利用柯西收数 敛列 x准 n发则 散证 证明： 给定 0 正 1 3,对 数 任何 N ,总 正 n有 N 整 ,使数 得
例5. 利用柯西收敛 : 若 准n则 N证 ,有x明 n1xn cn,
且 s n c 1 c 2 c n ,而 s n 数 收列 敛 x n 也 ，收 则 证明： sn收敛，由柯西收敛准则知，
0 , 正整 N ，n 数 ,m 当 N 时 恒， 有 snsm.
不妨n设 m,则 x n x m x n x n 1 x n 1 x n 2 x m 1 x m x n x n 1 x n 1 x n 2 x m 1 x m
或只要m M , lnq
故取正N整 数 ln1M q, 则当 n,mN时，恒有
lnq
xn xm ,
所以，由柯知 西， 收数 x敛 n收 列 准 敛则 。
___________________________ _______________________
例2. 写出极 lim 限 f(x)存在的柯西收其 敛否 准定 则描 及 x
___________________________ _______________________
例3. 利用柯西收敛 明准 极l则 i限 mc， oxs存 证在。 x x
证明： 令f (x)cosx, x
则 f(x )f(x )co x s co x s11, x x x x
x , 不 x ,妨 x 0 , 设
正数，总存在着正 ，数 使得对于I上 区的 间任意两 x1、点 x2，当x1x2 时，就有
f (x1)f (x2) ,
那么称函f (x数 )在区间 I上是一致连续的。
0,0,x 1,x2I,x1x2, f(x1)f(x2)
___________________________ _______________________
例7. 用定义f(证 x)x明 sixn 函 在 (数 , ) 上一致 证明： f( x 1 ) f( x 2 ) x 1 x 2 (s x 1 s ix n 2 i )n
x 1 x 2 sx i 1 n sx i 2 n x 1 x 2 2 cx o 1 2 x 2 s sx i 1 2 n x 2
令 x m x i,x n , 则 f(x )f(x ) 2 ,
于是 0 ,欲 ， f(x 使 ) 对 f(x ),x 只 2 要 , x
或只 x2要 ,故X取 2,则x当 ,xX时，恒有 f(x)f(x)coxs coxs,
x x
由柯西_收 _____敛 ______准 ____限 __则 __l__i_m _知 __c_ o， xs存 极在。 x __________________x ____ _
例8. 证 :函 明 f(x ) 数 g ,(x )在I上 区一 间 ,则 致 f函 (x ) 连 g (x 数 )
在区间I上一致连续。
证明：函f(x 数 )g ,(x)在区 I上间 一, 致连续
0 , 0 ,对任 x 1 ,x 2 I意 ,当 x 1 x 2 的 时
例4. 利用柯西收敛明 准极 则 l限 im ， sin证 x不存在。 x
证明： 给定 012，对任X意 0的 ,
总有 x12n 点 ,x22n 2, x1,x2X, (取n充分大
使s 得 ix 1 n six2 n 10,
由柯西收敛准限则 lim知 sinx， 不极 存在。 x
___________________________ _______________________
1. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P71)
数列 极限存在的充要条件是:
0,存在正整数 N , 使当 mN,nN时,
有
xnxm
例1. 应用柯西收敛准则证明下列数列收敛
x n a 0 a 1 q a 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2 a n q n ,
其中 0q1, ai M（常.数） 证明： n m时，
x n x m a m 1 q m 1 a m 2 q m 2 a n q n
Mm q_1_1____q__m _______M ____q__m __,____ 1q 1q _______________________
0 ,欲xn使 xm,只 1 M 要 qqm,
ln1q
极限limf (x)不存在的柯西收敛：准则 x
lim f (x)不存在的充分必要条为件
x
0 0 ,对 X 0 ,总 x 1 ,x 2 X 有 ,使 f( x 1 ) 得 f( x 2 ) 0 .
x 1 x 2 2 sx i1 2 n x 2 x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
0, 20,对任x1,意 x2( 的 , ) , 当 x1x2时，恒 f(x1) 有 f(x2),
函f数 (x)xsixn在 ( , )上一致连续
___________________________ _______________________
x 2 n x n 2 1 n 2 n 1 1 n 1 1 2 n n 1 2 0 ,
故由柯西收敛 数准 列 x则 n发知 散， 。
___________________________ _______________________
2. 一致连续性
设函数 f (x)在区间 I上有定义，如果意 对给 于定 任的
c n 1 c n 2 c m 1 c n c n 1 c n 2 c m 1
snsmsnsm,
由柯_西 ______收 ______敛 ______准 ____列 ___则 _xn 收 知敛 ，。 数
_______________________
例6. 设 xn11 2 1 n,利用柯西收数 敛列 x准 n发则 散证 证明： 给定 0 正 1 3,对 数 任何 N ,总 正 n有 N 整 ,使数 得
例5. 利用柯西收敛 : 若 准n则 N证 ,有x明 n1xn cn,
且 s n c 1 c 2 c n ,而 s n 数 收列 敛 x n 也 ，收 则 证明： sn收敛，由柯西收敛准则知，
0 , 正整 N ，n 数 ,m 当 N 时 恒， 有 snsm.
不妨n设 m,则 x n x m x n x n 1 x n 1 x n 2 x m 1 x m x n x n 1 x n 1 x n 2 x m 1 x m
或只要m M , lnq
故取正N整 数 ln1M q, 则当 n,mN时，恒有
lnq
xn xm ,
所以，由柯知 西， 收数 x敛 n收 列 准 敛则 。
___________________________ _______________________
例2. 写出极 lim 限 f(x)存在的柯西收其 敛否 准定 则描 及 x
___________________________ _______________________
例3. 利用柯西收敛 明准 极l则 i限 mc， oxs存 证在。 x x
证明： 令f (x)cosx, x
则 f(x )f(x )co x s co x s11, x x x x
x , 不 x ,妨 x 0 , 设
正数，总存在着正 ，数 使得对于I上 区的 间任意两 x1、点 x2，当x1x2 时，就有
f (x1)f (x2) ,
那么称函f (x数 )在区间 I上是一致连续的。
0,0,x 1,x2I,x1x2, f(x1)f(x2)
___________________________ _______________________
例7. 用定义f(证 x)x明 sixn 函 在 (数 , ) 上一致 证明： f( x 1 ) f( x 2 ) x 1 x 2 (s x 1 s ix n 2 i )n
x 1 x 2 sx i 1 n sx i 2 n x 1 x 2 2 cx o 1 2 x 2 s sx i 1 2 n x 2
令 x m x i,x n , 则 f(x )f(x ) 2 ,
于是 0 ,欲 ， f(x 使 ) 对 f(x ),x 只 2 要 , x
或只 x2要 ,故X取 2,则x当 ,xX时，恒有 f(x)f(x)coxs coxs,
x x
由柯西_收 _____敛 ______准 ____限 __则 __l__i_m _知 __c_ o， xs存 极在。 x __________________x ____ _
例8. 证 :函 明 f(x ) 数 g ,(x )在I上 区一 间 ,则 致 f函 (x ) 连 g (x 数 )
在区间I上一致连续。
证明：函f(x 数 )g ,(x)在区 I上间 一, 致连续
0 , 0 ,对任 x 1 ,x 2 I意 ,当 x 1 x 2 的 时
例4. 利用柯西收敛明 准极 则 l限 im ， sin证 x不存在。 x
证明： 给定 012，对任X意 0的 ,
总有 x12n 点 ,x22n 2, x1,x2X, (取n充分大
使s 得 ix 1 n six2 n 10,
由柯西收敛准限则 lim知 sinx， 不极 存在。 x
___________________________ _______________________
1. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P71)
数列 极限存在的充要条件是:
0,存在正整数 N , 使当 mN,nN时,
有
xnxm
例1. 应用柯西收敛准则证明下列数列收敛
x n a 0 a 1 q a 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2 a n q n ,
其中 0q1, ai M（常.数） 证明： n m时，
x n x m a m 1 q m 1 a m 2 q m 2 a n q n
Mm q_1_1____q__m _______M ____q__m __,____ 1q 1q _______________________
0 ,欲xn使 xm,只 1 M 要 qqm,
ln1q