【重点】高中数学考试必备公式大全

f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 ⇔ f ( x)在[a, b]上是增函数； x1 − x2 f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0 ⇔ f ( x)在[a, b] 上是减函数. ( x1 − x2 ) [ f ( x1 ) − f ( x2 ) ] < 0 ⇔ x1 − x2 (2)设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导，如果 f ′( x) > 0 ，则 f ( x) 为增函数；如 果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数.
高中数学常用结论及公式大全
1. 元素与集合的关系 x ∈ A ⇔ x ∉ CU A , x ∈ CU A ⇔ x ∉ A . 2.德摩根公式 = CU ( A B) C = CU A CU B . U A CU B; CU ( A B ) 3.包含关系 A B = A ⇔ A B = B ⇔ A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A ⇔ A CU B = Φ ⇔ CU A B = R 4．集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个； 非空子集有 2n –1 个；非空的真子集有 2n –2 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ; (2)顶点式 f ( x) = a ( x − h) 2 + k (a ≠ 0) ; (3)零点式 f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )(a ≠ 0) . 6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值只能在 x = −
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ϕ ) ( 辅 助 角 ϕ 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 b 定, tan ϕ = ). a 26.二倍角公式 sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α . 2 tan α . tan 2α = 1 − tan 2 α . 27.三角函数的周期公式 函数 = y sin(ω x + ϕ ) ，x∈R 及函数 = y cos(ω x + ϕ ) ，x∈R(A,ω, ϕ 为常数， 2π 且 A≠0，ω＞0)的周期 T = ；
1 1 1 aha = bhb chc （ ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高）. = 2 2 2 1 1 1 （2） S = = ab sin C = bc sin A ca sin B . 2 2 2
（1= ）S 31.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 A + B + C = π ⇔ C = π − ( A + B) C π A+ B ⇔ 2C = 2π − 2( A + B) . ⇔ = − 2 2 2 32.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ λ a） ·b= λ （a·b）= λ a·b= a· （ λ b）; ·c= a ·c +b·c. (3)（a+b） 33.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 34. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘积． 35.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a-b= ( x1 − x2 , y1 − y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB − OA = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ，则 λ a= (λ x, λ y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a·b= ( x1 x2 + y1 y2 ) .
( x1 − x2 ) [ f ( x1 ) − f ( x2 ) ] > 0 ⇔
11．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一 个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 12.对于函数 y = f ( x) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b − x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴 a+b 是函数 x = ; 两 个 函 数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b − x) 的 图 象 关 于 直 线 2 a+b 对称. x= 2 13.两个函数图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 与函数 = y f (− x) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. a+b 对称. (2)函数 = = y f (mx − a ) 与函数 y f (b − mx) 的图象关于直线 x = 2m (3)函数 y = f ( x) 和 y = f −1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称.
7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 [α , β ] 上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要 条件是 f ( x, t ) min ≥ 0( x ∉ L) (2)在给定区间 [α , β ] 上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要 条件是 f ( x, t ) man ≤ 0( x ∉ L) . a ≥ 0 a < 0 (3) f ( x) = ax + bx + c > 0 恒成立的充要条件是 b ≥ 0 或 2 . c > 0 b − 4ac < 0
20.等差数列的通项公式
an = a1 + (n − 1)d = dn + a1 − d (n ∈ N * ) ；
其前 n 项和公式为 n(a1 + an ) n(n − 1) = na1 + d sn = 2 2 d 2 1 = n + (a1 − d )n . 2 2
21.等比数列的通项公式 a an = a1q n −1 =1 ⋅ q n (n ∈ N * ) ； q 其前 n 项的和公式为 a1 (1 − q n ) ,q ≠1 sn = 1 − q na , q = 1 1 22．常见三角不等式 （1）若 x ∈ (0, ) ，则 sin x < x < tan x . 2 (2) 若 x ∈ (0, ) ，则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 . 23.同角三角函数的基本关系式 sin θ ， tan θ ⋅ cotθ = sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ， tan θ = 1. cosθ 24.正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 25.和角与差角公式 = ± β ) sin α cos β ± cos α sin β ; sin(α cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 tan α tan β
π
π
ω
函数 = y tan(ω x + ϕ ) ， x ≠ kπ + 的周期 T =
π
2
, k ∈ Z (A,ω, ϕ 为常数，且 A≠0，ω＞0)
π . ω
28.正弦定理 a b c = = = 2 R .（R 是外接圆的半径） sin A sin B sin C 29.余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C . 30.面积定理
4 2
8.四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互 互 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 互 互 否 逆命题 若ｑ则ｐ
9.充要条件 （1）充分条件：若 p ⇒ q ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q ⇒ p ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p ⇒ q ，且 q ⇒ p ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 10.函数的单调性 (1)设 x1 ⋅ x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么
b 处 2a
及区间的两端点处取得，具体如下： b b (1)当 a>0 时，若 x = − ∈ [ p, q ]，则 f ( x) min = f (− ), f ( x) max = max { f ( p ), f ( q )} ； 2a 2a b 若 x = − ∉ [ p, q ]， f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ， f ( x) min = min { f ( p ), f (q )} . 2a b (2)当 a<0 时，若 x = − ∈ [ p, q ]，则 f ( x) min = min { f ( p ), f (q )} ， 2a b 若 x = − ∉ [ p, q ]，则 f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ， f ( x) min = min { f ( p ), f (q )} . 2a
14.若将函数 y = f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y = f ( x − a ) + b 的 图 象 ； 若 将 曲 线 f ( x, y ) = 0 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 ， 得 到 曲 线 f ( x − a, y − b) = 0 的图象. 15.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c. x (2)指数函数 f ( x) = a , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) =a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f (a ) =1(a > 0, a ≠ 1Fra Baidu bibliotek . (4)幂函数 f ( x = ( x) f ( y ), f ' (1) α . ) = xα , f ( xy ) f= 16．有理指数幂的运算性质 s (1) a r ⋅ a = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q) . (2) (a r ) s = a rs (a > 0, r , s ∈ Q) . r (3) (ab) = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ Q) . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数 幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 17.指数式与对数式的互化式 log a N = b ⇔ ab = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) . 18.对数的换底公式 log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log a N = log m a n 推论 log am b n = log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m 19．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) log a= ( MN ) log a M + log a N ; M (2) log = log a M − log a N ; a N (3) = log a M n n log a M (n ∈ R ) .