高等代数北大版第章习题参考答案

现证充分性，设 是A的特征根，则它们也是B的特征根。于是存在正交矩阵X和Y，使
，
所以
YX AXY =B。
令T=XY 则T也是正交矩阵，从而T AT=B,，即证。
22.设A是n级实对称矩阵，且A =A，证明：存在正交矩阵T使得
T AT= 。
证 设 是A的任一特征值， 是属于 的特征向量，则
A = , A =A( )= A = ，
2)设单位向量
, ,…, ，
的度量矩阵为 ，则
= ， ，
因此有 。
4)由定义，知
， ， ，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在 中,求 之间 (内积按通常定义)，设:
1) , ，
2) , ，
3) , 。
解1)由定义,得
，
所以
。
2)因为
，
，
，
，
所以
。
3)同理可得
, , , ，
所以 。
3. 通常为 的距离，证明；
10.设V是一n维欧氏空间, 是V中一固定向量,
1)证明:V 是V的一个子空间；
2)证明:V 的维数等于n-1。
证 1)由于0 因而V 非空.下面证明V 对两种运算封闭.事实上,任取
则有 ( ，于是又有( ，
所以 。另一方面，也有 ( ， 即 。故V 是V的一个子空间。
2)因为 是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基 ，且( ( ， 。下面只要证明:对任意的 可以由 线性表出，则 的维数就是 。
，
其中
，
而
，
由于 都是实数,所以J为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵 可以分解为
，
其中 是正交矩阵， 为上三角矩阵，于是
，
即
。
由于 都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21.设A，B都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T使 的充分必要条件是A，B的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
证 设W是 的任意一个不变子空间，现证W 也是 的不变子空间。
任取 W ,下证 W 。取 ， ， 是W的一组标准正交基，再扩充成V的一组标准正交基为 ， ， ， ， ， ，则
W=L ( ， ， ), W =L ( ， ， )。
因为 是正交变换，所以 ， 也是一组标准正交基，由于W是 ——子空间， ， W，且为的一组标准正交基，于是
解令
，
，
那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是 。
令C=B-Y，由最小二乘法可得 ，其中 ，
，
即 ，
解之得 。
三、补充题参考解答
1．证明：正交矩阵的实特征根为 。
证设A正交矩阵A是任一实特征值是 ， 是A的对应于特征值 的特征向量，则
A 。
于是 。
注意到
2.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。
两组标准正交基 和 则存在可逆线性变换 ，使
，
且
（ T=( =(
=
=( ，
即
（I=1,2, ，
于是 ，由 ，有 故
=
= (I=1,2, ，
即证。
6．是n级实对称矩阵，且 证明：存在正交矩阵T使得
。
证 证法1 因为A是n级实对称矩阵，所以存在n级矩阵 Q，使
证因为A是正交矩阵, ,则 =- 。
即 。
3.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。
证当
即- 。
4.设
那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
证因为
，
所以
，
故
。
又因为
= ，
所以
。
即证 。
5． 和
。
证：下证充分性。
设
，
则有 ，
于是 ，
另一方面，因
，
于是，在
，
从而 即证 。
再将
: ，
则由充分性假设
证:1) ,有:
，
所以 是线性变换。
又因为
，
注意到 ，故 ,此即 是正交变换。
2)由于 是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基 ,则
，
即 ，
所以 是第二类的。
3) 的特征值有 个，由已知 有 个特征值为1，另一个不妨设为 ，则存在一组基 使 ，
因为 是正交变换，所以 ，
但 ，所以 ，于是
现令 ，则 是单位向量，且与 正交，则 为欧氏空间 的 一组基。又因为
。
证由距离的定义及三角不等式可得
。
4在R 中求一单位向量与 正交。
解 设 与三个已知向量分别正交，得方程组
，
因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令
x ，即 。
再将其单位化，则
，
即为所求。
5．设 是欧氏空间V的一组基，证明：
1）如果 使 ，那么 。
2）如果 使对任一 有 ，那么 。
证 1)因为 为欧氏空间V的一组基，且对 ，有
且 。
2）由 ，
可得A的特征值为 。
的特征向量为
的特征向量为
正交化，可得
，
再单位化，有: ，
于是所求正交矩阵为
且 。
3）由 ，
可得A的特征值为 ，
相应的特征向量为
，
，
将其正交单位化，可得标准正交基为
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
4）由 ，
可得A的特征值为 。
相应的特征向量为
，
，
正交化后得
，
，
再单位化，可得
12．设 是n维欧氏空间V中的一组向量，而ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明：当且仅当 时 线性无关。
证 设有线性关系
，
将其分别与 取内积，可得方程组
，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
证 设
为上三角矩阵，则 也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以 ，即
=
=
= ，
另一方面,令
，
则D的元素为
，
故 的元素
，
即证 。再由 皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基 ，它的度量矩阵为 其中 ，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即 。于是只要
，
则由上面1）可知基 的度量矩阵为E，这就是说， 就是所求的标准正交基。
再将 单位化,可得
， ， ，
则 就是所求解空间的一组标准正交基。
9.在R[X] 中定义内积为(f,g)= 求R[X] 的一组标准正交基(由基1. 出发作正交化)。
解 取R[X] 的一组基为 将其正交化,可得 ，
，其中( ，又因为
，
， ，
所以 ，
同理可得 ，
再将 单位化，即得 ，
， ， ，
则 即为所求的一组标准正交基。
，
令X=TY，其中
，
则
。
2)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
正交化,可得
，
再单位化,有
，
令X=TY，其中
，
则
。
3)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=TY，其中
，
则
。
4)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
由于
A =A = ( - ) =0，
又因为 ，所以 - =0，即得
=0, =1。
换句话说，A的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T，使
T AT= 。
上式中，对角线元素中1的个数为A的特征值1的个数，0的个数是A的特征值0的个数.。
23.证明：如果 是n维欧氏空间的一个正交变换，那么 的不变子空间的正交补也是的 不变子空间。
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=XY，其中
，
故
。
19.设A是n级实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是A的特征多项式的根全大于零。
证明二次型 经过正交变换X=TY，可使
，
其中 为A的特征根。由于A为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是 ，即证。
25.证明:向量 V 是向量 在子空间V 上的内射影的充分必要条件是：对任意 有 。
证 必要性，设 V 是 在V 上的内射影，则 , ，
26设
从而
再证第二式.用
，
所以 。
27.求下列方程的最小二乘解
，
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解(用三位有效数字计算)。
，
所以可设 ，
且有
即证 。
2)由题设，对任一 总有 ，特别对基 也有
，或者 ，
再由1)可得 ，即证 。
6设 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
也是一组标准正交基。
证 因为
，
同理可得
，
另一方面
，
同理可得
，
即证 也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设 也是五维欧氏 空间中的一组标准正交基, ，其中
，
所以 ，因而
为对角阵。再由 知 ，即证 或-1。
14．1）设A为一个n阶矩阵，且 ，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
，
且 ，并证明这个分解是唯一的；
2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使
。
证 1)设A的n个列向量是 由于 ，因此 是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
2)因为 是正定的，所以 与 合同，即存在可逆阵 使 ,再由1)知 ,其中 是正交矩阵 为三角阵，所以 。
15.设 是欧氏空间中一单位向量，定义 ，
证明:1) 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) 是第二类的；
3)如果 维欧氏空间中正交变换 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为 ，那么 是镜面反射。
=k +k + +k (I=1,2, ,n)，
( , )=k , ( , )=k ，
由反对称知
( , )= —（ ， ） k =--k ，
从而
，
故
( ， ， )=( ， ， )
=( ， ， ) ，
充分性。设 在标准正交基 ， ， 下的矩阵为 ，有已知，有
( , )= —（ ， ），
对任意 ， V，设
, , ，
求 的一组标准正交基。
解 首先证明 线性无关.事实上，由
，
其中 的秩为3，所以 线性无关。
将正交化，可得
，
，
单位化，有
，
，
，
则 为 的标准正交基。
8.求齐次线性方程组
的解空间(作为 的子空间)的一组标准正交基。
解 由
可得基础解系为
， ， ，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
，
， ，
事实上，对任意的 ，都有 ，于是有线性关系 ，且 ，
但有假设知 ，
所以 ，又因为 ，故 ，从而有 ，
再由 的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设 与 是欧氏空间 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是 和 ，另外，设 到 的过渡矩阵为 ，即 ，
第九章欧氏空间
1.设 是一个 阶正定矩阵,而
, ,
在 中定义内积 ,
1)证明在这个定义之下, 成一欧氏空间；
2)求单位向量
, ,…, ，
的度量矩阵；
3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解1)易见 是 上的一个二元实函数，且
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
由于 是正定矩阵，因此 是正定而次型，从而 ，且仅当 时有 。
，
，
，
所以 ，即证。
16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。
证:设 是属于特征值 的特征向量，即 ，则
，
于是 ，
令 ，可得 ，即证 。
17.求正交矩阵 使 成对角形，其中 为
1) 2) 3)
4) 5)
解1）由
，
可得A的特征值为 。
对应的特征向量为
将其正交单位化，可得标准正交基为
故所求正交矩阵为
，
，
则
（ ， ）=（ ）= 。
同理
，
故
（ ， ）= —（ ， ），
所以 是反对称的。
2）任取 V ，可证 V ，即 V ，事实上，任取 V ，由于V 是 子空间，因此 ，而 V ，故（ ， ）=0。
再由题设， 是反对称的，知
（ ， ）= —（ ， ）=0，
由 的任意性，即证 V 。从而V 也是A子空间。
，
其中
，
，
其中 。即
，
令 ，则T是上三角矩阵,且主对角线元素 。
另一方面，由于 是n维列向量，不妨记为
，
且令
，
则有 ,由于 是一组标准正交基，故 是正交矩阵。
再证唯一性，设 是两种分解，其中 是正交矩阵， 是主对角线元素大于零的上三角阵，则 ，由于 也是正交矩阵,且 为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是 的主对角线元大于零，所以 的主对角线元只能是1，故 ，即证 。进而有 ,从而分解是唯一的。
20.设A是n级实矩阵，证明：存在正交矩阵T使 为三角矩阵的充分必要条件是A的特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。
先证必要性，设
，
其中T，A均为实矩阵，从而 都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
从而A的n个特征根 均为实数。
再证充分性，设 为A的所有不同的实特征根，则A与某一若尔当形矩阵J相似，即存在可逆实矩阵 ，使
， ， W ，
所以
=k + +k W 。
24.欧氏空间V中的线性变换 称为反对称的，如果对任意 ， V，有
（ ， ）= —（ ， ）。
证明：1) 为反对称的充分必要条件是： 在一组标准正交基下的矩阵 为反对称的。
2)如果V 是反对称线性变换的不变子空间，则V 也是。
证 1）必要性。设 是反对称的， ， ， 是一组标准正交基。则
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
5）由 ，
可得 的特征值为 。
相应的特征向量为
，
，
将其正交化，可得
，
，
再单位化后，有
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1） ；
2） ；
3） ；
4） 。
解 1)设原二次型对应的矩阵为A，则
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
，
相应的特征向量为
，
，
单位化后，有