数学分析3(80学时)试题及答案

考试形式： [闭卷] _____班姓名________ 考试题组：[ A ] 考务编号…………………………………………………○……装……………订……………线……○………………………………………………………

命题教师：教研室主任审核：

三、（10分）

证明：设22212,1F x y z F x y z =++=++-，则 （1）

111

2

2

21,2,2,2F F F F F F x y z x y z

x

y

z ∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂在点11

(,,0)22

P -邻域内连续； （2）12()()0F P F P ==；

（3）1211(,)

4

022(,)

2

p p F F x y x y ∂=

=-≠∂ 由定理3知，在点00z =的邻域内存在唯一一组有连续导数的隐函数组12(),()x f z y f z ==，将方程两边对z 求导：

1dx dy

dz dz

dx dy x y z dz

dz ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 解得：,dx z y dy x z

dz y x dz y x

--=

=-- 四、（10分）解：设长方体的长、宽、高分别是,,x y z ，体积V ，则表面积2()S xy xz yz =++满足条件V xyz =，设 2()()L xy xz yz xyz V λ=+++-

令 2()02()02()00x y

z L y z yz L x z xz L x y xy L xyz V λ

λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=-=⎩ 解得3x y z V ===

所以体积一定而表面积最小的长方体是正方体。32min 6S V = 五、（10分）

cos 8,cos 7x x P

Q

e y e y y

x

∂∂=+=+∂∂

补上有向线段0:0:0A y x a =→，由格林公式

20

(sin 8)(cos 7)(1)8

x x c A D

e y y dx e y x dy dxdy a π

++++=--=

⎰

⎰⎰

而0

(sin 8)(cos 7)0x x A e y y dx e y x dy +++=⎰，所以2(sin 8)(cos 7)8

x x c

e y y dx e y x dy a π

+++=

⎰

六、（10分）补上曲面1:0S y =，取左侧，则1S S +形成闭合曲面，取外侧，由奥-高公式得

2

1

22

42

2222

3320

32()()2(4)3

r S S V

yzdydz x z ydzdx xydxdy x z dxdydz d dr r dy r r dr πθππ-++++=+==-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰ 而 1

22()0S yzdydz x z ydzdx xydxdy +++=⎰⎰，所以2232

()3

S

yzdydz x z ydzdx xydxdy π+++=

⎰⎰。