数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归

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It was last revised on January 2, 2021

数列基础知识点和方法归纳

一．等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-

等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+

前n 项和()()11122

n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差

数列，公差为d n 2；

(3)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有

（4）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=- 练习题：

1.已知}{n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）

A. -1

B. 1

C. 3

2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )

A ．13

B ．35

C ．49

D ． 63

3.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝

A.－2

B.－12

C.12

4.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于（ ）

A ．18

B 27

C 36

D 9

5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95

S S = 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =

9、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：}{n a 的通项公式a

n 及前ｎ项的和S n ；

10.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .

二．等比数列的定义与性质 定义：1n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=

，或G =

前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩

（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =；

2n ≥时，1n n n a S S -=-.

练习题

1.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则

d

c b a ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．41 D ．81 2.已知}{n a 是等比数列，且0>n a ，243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=，那么53a a + 的值是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．25

3.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于（ ）

A ．1023

B ．1024

C ．511

D ．512

4.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则

41a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=

q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ）

A ．231

B ．233

C ．2

35 D ．237 6.已知等比数列}{n a 中，102=a ，203=a ，那么它的前5项和5S =__________。

7.等比数列}{n a 的通项公式是n n a -=42，则5S =__________。

8．在等比数列}{n a 中，已知5127=•a a ，则111098a a a a •••=__________。

9．设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数。

三．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列{}n a ，12211125222

n n a a a n +++=+……，求n a ［练习］数列{}n a 满足111543

n n n S S a a +++==，，求n a （2）叠乘法（累乘法）【形如()1

n n a f n a -=】 如：数列{}n a 中，1131

n n a n a a n +==+，，求n a ［练习］数列{}n a 满足()1111,2n n n a a a n n

--==≥，求n a （3）累加法【形如()1n n a a f n --=】

如：数列{}n a 满足1132,2n n a a n a -=++=，求n a

［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a

（4）等比型递推公式【形如1n n a ca d -=+】