《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-1-1-1

A．3－ 3 C．2
B. 2 D．3＋ 3
第27页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】
本题主要考查正弦定理和两角和的正弦公
6＋ 2 AB BC 式．sin75° ＝sin(45° ＋30° )＝ 4 .由正弦定理，得sinC＝sinA. sinA 3sin45° 则 BC＝ AB＝ ＝3－ 3. sinC sin75°
第25页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 2
已知两角及一边可用正弦定理求出三角形的其他元
素，此类题有唯一解．
第26页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 2 BC 等于( )
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45° ，C＝75° ，则
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】 2 6× 2 3 2 ＝2.
a b asinB (1) 由正弦定理 ＝ ，得 sinA ＝ ＝ sinA sinB b
又 0° <A<180° ，∴A＝60° 或 120° . ∴C＝75° 或 C＝15° . 2 3 3 × 3 2 bsinA 2 (2)由正弦定理，得 sinB＝ ＝ ＝ . a 2 2
第23页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
题型二
例2 和 B.
新课标A版 ·数学 ·必修5
已知两角及一边解三角形
已知在△ABC 中，c＝10，A＝45° ，C＝30° ，求 a、b
第24页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
a c ∵sinA＝sinC，
新课标A版 ·数学 ·必修5
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第一章 解三角形
第 1页
第一章
解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．1 正弦定理和余弦定理
第 2页
第一章
解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．1.1
正弦定理(第一课时)
第 3页
第一章
解三角形
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
授 人 以 渔
新课标A版 ·数学 ·必修5
要点 2
三角形内的诱导公式
sin(A＋B)＝ sinC ；cos(A＋B)＝ －cosC ； tan(A＋B)＝ －tanC ；
C C A＋B A ＋ B sin( 2 )＝ cos 2 ；cos( 2 )＝ sin 2 ； C A＋B tan( 2 )＝ cot 2 .
bsinA 当 a <1 时，若 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，则有一 解；若 a<b，即 A<B，则有两解．
第10页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？
答：能推出． a b ∵sinA＝sinB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，得 A>B.
第30页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
∴B＝45° 或 135° ，但 B＝135° 时，135° ＋60° >180° ，这与 A ＋B<180° 矛盾，∴B＝45° . 3 4× 2 bsinA 2 (3)由正弦定理，得 sinB＝ ＝ ＝ >1. a 3 3 ∴这样的角 B 不存在．
A 为钝角 或直角
a＞b a≤b 一解 无解
解个数 无解
第35页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 3 么角 A 等于( A．135° C．45°
(1)已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ，那 ) B．90° D．30°
第36页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
第 7页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
要点 3
应用正弦定理解三角形中的常见类型
(1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边； (2)已知三角形的两边与其中一边的对角， 可以计算出另一边 的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．
第 8页
第一章
第14页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
a b c (2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明： ＝ ＝ . sinA sinB sinC
第15页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】
根据三角函数的定义：
CD CD sinA＝ ，sinB＝ . b a ∴CD＝bsinA＝asinB. a b ∴ ＝ . sinA sinB b c 同理，在△ABC 中， ＝ . sinB sinC a b c ∴ ＝ ＝ 成立． sinA sinB sinC
一点，根据正弦函数的定义知： CD CD ＝sin∠CAD＝sin(180° －A)＝sinA， ＝sinB. b a
第18页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
∴CD＝bsinA＝asinB. a b ∴sinA＝sinB. b c 同理， ＝ . sinB sinC a b c 故sinA＝sinB＝sinC.
【解析】
csinA 10×sin45° ∴a＝ sinC ＝ sin30° ＝10 2. B＝180° －(A＋C)＝180° －(45° ＋30° )＝105° . b c 又∵ ＝ ， sinB sinC csinB 10×sin105° ∴b＝ sinC ＝ sin30° ＝20sin75° 6＋ 2 ＝20× 4 ＝5( 6＋ 2)．
第33页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第二种方法：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可 能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的 情况如下：
第34页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
A 为锐角 图形 关系式 a<bsi nA a＝ bsinA 一解 bsinA ＜a＜b 二解 a≥b 一解
(2)在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，A＝45° .则满足此条件的三角 形的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．无数个
【答案】 A
第38页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
a b c △ABC 外接圆的直径 2R，故有sinA＝sinB＝sinC＝2R，这一关系 对任意三角形也成立吗？请你根据图 2 和图 3 对锐角三角形和钝 角三角形进行探索，并证明你的结论．
第21页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
a 【证明】 如图 1， 当△ABC 为直角三角形时， 直接得到 sinA b c ＝sinB＝sinC＝2R(a、b、c 分别为△ABC 中角 A、B、C 的对边， R 为外接圆半径)． 如图 2，当△ABC 为锐角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， a a 连接 CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD 中， ＝ ＝2R. sinA sinD
第22页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
b c a b c 同理， ＝ ＝2R，即 ＝ ＝ ＝2R. sinB sinC sinA sinB sinC 如图 3，当△ABC 为钝角三角形时，连接 BO 交圆 O 于 D， a a a 连接 CD， ∠A＝180° －∠D， 所以 ＝ ＝ ＝2R. sinA sin180° －D sinD b c a b c 同理，sinB＝sinC＝2R，即sinA＝sinB＝sinC＝2R. a b c 综上所述，对于任意△ABC， ＝ ＝ ＝2R 恒成立． sinA sinB sinC
课 后 巩 固
课 时 作 业
第 4页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 Βιβλιοθήκη Baidu必修5
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
a b c sinA＝sinB＝sinC
＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
第 5页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
(2)正弦定理的三种变形 ①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ； b c a ②sinA＝ ，sinB＝ 2R ，sinC＝ 2R 2R ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC .
；
第 6页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
第16页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
a (3)在钝角△ABC 中(不妨设 A 为钝角)， 根据下图证明： ＝ sinA b c sinB＝sinC.
第17页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】
过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
第11页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
授 人 以 渔
第12页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
题型一
新课标A版 ·数学 ·必修5
理解正弦定理
例1
(1)在 Rt△ABC 中， C＝90° ， 试根据直角三角形中正弦
a b c 函数的定义，证明： ＝ ＝ . sinA sinB sinC
探究 3
已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确
定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解， 有解时一解还是两解，具体方法是： 第一种方法： 若给出的角是锐角， 这个角的对边小于另一边， 则有两解(如本例(1))．反之则只有一解(如本例(2))；或给出的角 是钝角，且这个角的对边大于另一边，有一解，反之则无解．判 断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角(边)．
【答案】
A
第28页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
题型三
新课标A版 ·数学 ·必修5
已知两边和其中一边的对角解三角形
例3
△ABC 中，(1)a＝ 6，b＝2，B＝45° ，求 C；
2 3 (2)A＝60° ，a＝ 2，b＝ ，求 B； 3 (3)a＝3，b＝4，A＝60° ，求 B.
第29页
第19页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 1
a b c 综上可知， 对于任意三角形， 均有 ＝ ＝ ， sinA sinB sinC
此即正弦定理．
第20页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
思考题 1
如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，斜边 c 等于 Rt
第31页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【讲评】 已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形 有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有 两解，不必死记硬背某些结论．
第32页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
第13页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【证明】
在 Rt△ABC 中，C＝90° ，
由正弦函数的定义知： a b sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝1. c c a b c ∴sinA＝c，sinB＝c，sinC＝c. a b c ∴ ＝ ＝ . sinA sinB sinC
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．在△ABC 中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定 三角形解的个数？
第 9页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
答：已知△ABC 的两边 a，b 和角 A 解三角形时，有以下方 法： 根据三角函数的性质来判断． bsinA 由正弦定理，得 sinB＝ . a bsinA 当 a >1 时，则无解； 当 bsinA ＝1 时，则有一解； a
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
a b asinB 2sin60° 【解析】 由正弦定理， 得 ＝ ， sinA＝ ＝ sinA sinB b 3 2 ＝2. 又∵a<b，∴A<B，故 A＝45° ，选 C.
【答案】 C
第37页
第一章
1.1 1.1.1 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5