随机微分方程.PPT
合集下载
微分方程PPT(罗兆富等编)第六章 线性方程的Adomian分解法
计算得到
1 2 u0 ( x, y ) x xy 2 1 2 u1 ( x, y ) - x 2 uk ( x, y) 0 (k 2)
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
xy
n 0 n 0
■
再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
解: 将方程写成算子形式
Lxu Lyu x y
其中 Lx
, Ly , x y
且Lx是可逆的, 将其逆算子 L 0 ()dx
-1 x
x
作用于方程的两端, 并注意到初始条件 u(0, y) 0, 得到 再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
机动 目录 上页 下页 返回
12
结束
三、修正的Adomian分解法 在Adomian分解法中, 有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中 的项f分裂成两项, 即
f f1 f 2(来自.1.07)利用(6.1.07), 我们可将un的递推公式作稍许改变而使 得计算更容易, 就是令u0=f1, 而将f2配给u1,其它项不作改 变. 这样, un的递推公式就成为 u0 f1 ,
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
u ( x, y) 1 y sinh x
代入方程验证后知, 它是方程的解, 故方程的精确解为
u ( x, y) 1 y sinh x.
■
计算得到
u0 ( x, y) 1 - y y sinh x y cosh x
u1 ( x, y) xy - y sinh x - y cosh x y
演化博弈论PPT课件
纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与 人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够 理由打破这种均衡。
纳什均衡可以通过划线法得出
13
纳什均衡和演化稳定（1）
a
X b
a 0，0
Y b
1，1
1，1
0，0
策略b是否是演化稳定的？ 有一个规模为E的策略a入侵
策略b的平均适应度: (1 E)*0 E *1 E 策略a的平均适应度: (1 E)*1 E*0 1 E
Y/q(1p)2p0
p1/3
18
N-群体的演化稳定策略
定义1：策略组合 x{x1,x2,..x.n,}是纳什均衡， 如果x是演化稳定策略，如果对于任意的策 略组合 yx 存在某个 (0,1) 使得对于所有的
(0,
)
和y(1)x,有
ui(xi, i) ui(yi, i)
i I
i I
定义2：策略组合x是演化稳定策略，当且 仅当x是一个严格的纳什均衡。
:是一个与突变策略y有关的常数，称之为侵入界限； εy + (1 − ε)x:表示选择进化稳定策略群体与选择突变策略群
体所组成的混合群体。
16
演化稳定策略的定义（2）
Definition 2: 对任意的s'∈S×S，满足
(i) f(s,s)≥f(s',s)； (ii)如果f(s,s)=f(s',s)，那么对任意的s≠s'有 f(s,s)>f(s',s')； 则s是演化稳定策略
➢ 自演化博弈论诞生之日起，它就逐渐的被人们用 来分析生物、经济等领域的问题。
1. Selten Reinhard．A Note on Evolutionary Stable Strategies in Asymmetric Animal Conflicts [J]． Journal of Theoretical Biology， 1980，(84)．
纳什均衡可以通过划线法得出
13
纳什均衡和演化稳定（1）
a
X b
a 0，0
Y b
1，1
1，1
0，0
策略b是否是演化稳定的？ 有一个规模为E的策略a入侵
策略b的平均适应度: (1 E)*0 E *1 E 策略a的平均适应度: (1 E)*1 E*0 1 E
Y/q(1p)2p0
p1/3
18
N-群体的演化稳定策略
定义1：策略组合 x{x1,x2,..x.n,}是纳什均衡， 如果x是演化稳定策略，如果对于任意的策 略组合 yx 存在某个 (0,1) 使得对于所有的
(0,
)
和y(1)x,有
ui(xi, i) ui(yi, i)
i I
i I
定义2：策略组合x是演化稳定策略，当且 仅当x是一个严格的纳什均衡。
:是一个与突变策略y有关的常数，称之为侵入界限； εy + (1 − ε)x:表示选择进化稳定策略群体与选择突变策略群
体所组成的混合群体。
16
演化稳定策略的定义（2）
Definition 2: 对任意的s'∈S×S，满足
(i) f(s,s)≥f(s',s)； (ii)如果f(s,s)=f(s',s)，那么对任意的s≠s'有 f(s,s)>f(s',s')； 则s是演化稳定策略
➢ 自演化博弈论诞生之日起，它就逐渐的被人们用 来分析生物、经济等领域的问题。
1. Selten Reinhard．A Note on Evolutionary Stable Strategies in Asymmetric Animal Conflicts [J]． Journal of Theoretical Biology， 1980，(84)．
03微分方程讲义-2 PPT课件
4、流行环节与影响因素
病人
传 染
携带者
源 受感染
动物
接触
水
传 食物
播 途
医源性
径 垂直
媒介
土壤
经济
社 政治
会 因
文化
素 宗教
风俗 易 感 人 群
自 然
气候
因 素
地理
5、患病过程
(1)潜伏期(incubation period) ：自病原体侵入机体 到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。
(2)临床症状期 :出现该病特异性症状和体征的时期,是 最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁 殖。
AIDS 正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和 中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被 发现以来至2003年底，全球约有34-46million HIV感 染者和艾滋病患者，2000万人死亡。
我国近年来HIV感染人数以每年30%的速度增长。目 前全国报告HIV感染者4万余人，估计约有感染者100 万人(84万,WHR 2004)感染者主要分布在农村地区， 男女比例约为5.2:1，其中20-29岁年龄组占57%。经 静脉途径感染约占72%。
一、传染病模型
1、传染病概况
自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类， 其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土 重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠 疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种 新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝 炎、出血性结肠炎、SARS……
我国目前有5亿人曾感染结核杆菌，2000年第四次全 国结核病流行病学抽样调查发现，我国的活动性肺结 核患病率为367/10万，痰涂片阳性患病率为122/10万， 估计我国现有活动性肺结核病人451万。
随机微分方程课件
随机微分方程及其应用
1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
7
随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
8
随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的 传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反 常扩散。
X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微 t bt 分方程的解为：X (t ) e X 0 eb(t s ) dW
0
7
随机微分方程举例
E( X (t )) e 可以求出X的期望：
bt
E( X 0 )
t b ( t s )
E ( X (t )) E (e
随机微分方程——定义
1、随机微分方程的定义：
设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定 的函数，并不是随机变量，b : R n 0, T Rn ， B : Rn 0, T M nm 那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t )dt B( X , t )dW X (0) X 0
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态 分布 N (0, ) ，与初始分布无关。
2
2b
8
随机微分方程举例
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
bY Y Y (0) Y0 , Y (0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。 ，即X表示速率，则原方程等价于以下 若 X Y 朗之万方程：
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
微分方程和差分方程方法ppt课件
但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
ppt精选版
16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
ppt精选版
12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
ppt精选版
8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
ppt精选版
22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
ppt精选版
16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
ppt精选版
12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
ppt精选版
8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
鞅与随机微分方程(王力)PPT模板
第2章测度与积分
2.1测度与测度空间 2.2随机变量的数字特征 2.3随机变量及其收敛性 2.4独立性与零一律 2.5乘积可测空间上的测 度
第2章测度与积分
2.1测度与测度空间
2.1.1测度空间 2.1.2代数上的测度 2.1.3完备测度 2.1.4分布函数及其生成的测度
第2章测度与积分
2.2随机变量的数字特征
鞅与随机微分方程(王力)
演讲人 202x-11-11
01
封面
封面
02
鞅与随机微分方程
鞅与随机微分方 程
03
内容简介
内容简介
04
前言
前言
05
主要符号对照表
主要符号对照表
06
第一篇概率论基础
第1章可测空间与 乘积可测空间
1.1σ代数理论 1.2可测空间和乘积可测空间 1.3可测映射与随机变量
第6章随机积分
6.2关于鞅的随机积分
6.2.1有界适应左连续简单过程关于l2鞅的随机积分 6.2.2可料过程关于l2鞅的随机积分 6.2.3截断被积函数和用停时停止积分 6.2.2可料过程关于L2鞅的随机积分 6.2.3截断被积函数和用停时停止积分
6.3.1独立增量过程
第6章随机积分
6.3适应brownian运动
第5章鞅
5.5下鞅样本函数的正则性
5.5.1右连续下鞅的样本函数 5.5.2下鞅的右连续修正
第5章鞅
5.6增过程
5.6.1关于增过程的积分 5.6.2doob-meyer分解 5.6.3正则下鞅 5.6.2Doob-Meyer分解 5.6.3正则下鞅
08
第三篇随机积分
第6章随 机积分
01 6 . 1 平 方可 积鞅和
随机积分与Ito定理.pptx
1 m
2
i,
[ Fij
j 1
(t,
X
(t))
Bi
(t)B
j
(t)]}dt
m
{ [Fi (t, X (t))Bi (t)]}dW (t)
i 1
注
是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，称为Ito公式
首页
第19页/共62页
四、Ito随机微分方程
设｛W (t) ,t T ｝是布朗运动，
则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程
第20页/共62页
例4 考虑Ito方程
dX (t) 1 X (t)dt X (t)dW (t)
2
X (0) 1
取 f (t, x) ln x
由Ito公式得
df
(t,
X
(t))
1 X (t)
(
1)X 2
(t)
1 2
X
1 2 (t )
X
2 (t ) dt
1 X (t)dW (t)
X (t)
返回
即 d(ln X (t)) dt dW (t)
所以 ln X (t) t W (t)
首页
即 X (t) exp{t W (t)}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注 将 W (看t)作普通函数，则解为
第21页/共62页
X (t) exp{ 1 t W (t)} 2
第三节 Ito积分的特征
一、Ito积分是鞅
资产价格理论意义下Ito积分
dXi (t) Ai (t)dt Bi (t)dW (t)
则 Y (t) F(t, X (t)) F(t, X1(t), X 2 (t),, X m (t)) 有随机微分
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
注：虽然前进方程和后退方程在形式上有所不同， 但两者的解都是同一的，费勒在1940年已证明。
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
微分方程ppt课件
❖ 这里a和N为正参数，a为x较小时的总量增长 率，而N代表一种“理想”总量或“承载 量”。 验证： 当x较小时， ax(1-x/N) ≈1，即x΄=ax。 当x>N时，则有x΄<0，满足假设。
注意：满足假设的方程有很多，这里只是选取 了最简单的。
8
假设N=1，即选取单位舍得承载量为1的总量， x(t)则代表了在t时刻的总量占理想总量的比例。
❖ 方程简化为x΄= f（a x）=ax(1-x) 此方程称为一阶、自治、非线性微分方程。 一阶： x΄ 自治：右端只与x有关，与t无关。 非线性：f（a x）是x的非线性函数。
问：x΄=ax是什么方程？ （一阶、自治、线性微分方程）
9
解微分方程x΄=ax(1-x)。t=0时x=x(0)。
❖
微分方程的通解为
4
❖ 在方程x΄=ax中，a看做参数，当a变化时， 方程也变化，其解随之改变。
1）若a>0，当k>0时，lim keat = ；当k<0 时，lim keat =- 。 t
t
2）若a=0，keat 是常数。
3）若a<0，lim keat =0 t
1）当a>0时，所有非零解都随t的增加而远离 平衡点； 2）当a<0时，所有非零解都随t的增加而趋于 平衡点；
从图上看，所有对应于x(0)>0的解都趋于 x(t) ≡1，与假设吻合，当x(0)<0 时，解将趋 于-∞。
11
从 f（a x）=ax(1-x) 的图像上认识：
❖ 该图像与x轴交与x=0与x=1两点，对应于两个 平衡点。
❖ 当0<x<1，f（a x）>0。从而在满足0<x<1的(t，x) 处，斜率为正数，从而解在这个区域将增加， 而在x>0或x>1时，f（a x）<0，故解将减小。
注意：满足假设的方程有很多，这里只是选取 了最简单的。
8
假设N=1，即选取单位舍得承载量为1的总量， x(t)则代表了在t时刻的总量占理想总量的比例。
❖ 方程简化为x΄= f（a x）=ax(1-x) 此方程称为一阶、自治、非线性微分方程。 一阶： x΄ 自治：右端只与x有关，与t无关。 非线性：f（a x）是x的非线性函数。
问：x΄=ax是什么方程？ （一阶、自治、线性微分方程）
9
解微分方程x΄=ax(1-x)。t=0时x=x(0)。
❖
微分方程的通解为
4
❖ 在方程x΄=ax中，a看做参数，当a变化时， 方程也变化，其解随之改变。
1）若a>0，当k>0时，lim keat = ；当k<0 时，lim keat =- 。 t
t
2）若a=0，keat 是常数。
3）若a<0，lim keat =0 t
1）当a>0时，所有非零解都随t的增加而远离 平衡点； 2）当a<0时，所有非零解都随t的增加而趋于 平衡点；
从图上看，所有对应于x(0)>0的解都趋于 x(t) ≡1，与假设吻合，当x(0)<0 时，解将趋 于-∞。
11
从 f（a x）=ax(1-x) 的图像上认识：
❖ 该图像与x轴交与x=0与x=1两点，对应于两个 平衡点。
❖ 当0<x<1，f（a x）>0。从而在满足0<x<1的(t，x) 处，斜率为正数，从而解在这个区域将增加， 而在x>0或x>1时，f（a x）<0，故解将减小。
数学微分方程与随机动力系统
数学微分方程与随机动 力系统
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 微 分 方 程 基 础
03 随 机 动 力 系 统 概 述 05 随 机 动 力 系 统 中 微
分方程的求解方法
04
数学微分方程在随 机动力系统中的应
用
06
数学微分方程与随 机动力系统的研究
展望
Part One
单击添加章节标题
Part Two
微分方程基础
微分方程的定义与分类
微分方程：描述数学模型中变量之间动态关系的方程 定义：包含未知函数的导数或高阶导数的方程 分类：常微分方程、偏微分方程、积分微分方程等 应用领域：物理、工程、经济等领域
微分方程的解法
数学微分方程在随 机动力系统中的应
用
微分方程在描述随机动力系统中的作用
微分方程可以用 来描述随机动力 系统的动态行为
微分方程能够刻 画随机动力系统 的变化规律和趋 势
微分方程可以帮 助理解随机动力 系统的内在机制 和规律
微分方程在研究随 机动力系统的稳定 性、分岔和混沌等 方面具有重要应用
微分方程在分析随机动力系统性质中的应用
新突破：基于深度学习的 微分方程求解方法
数学微分方程与随机动力系统在其他领域的应用 前景
金融领域：用于 描述和预测金融 市场的动态变化， 如股票价格、汇 率等。
物理领域：用于 研究物理现象的 演化过程，如天 体运动、流体动 力学等。
工程领域：用于 优化设计、控制 和信号处理等方 面，如机器人、 航空航天等。
Part Three
随机动力系统概述
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 微 分 方 程 基 础
03 随 机 动 力 系 统 概 述 05 随 机 动 力 系 统 中 微
分方程的求解方法
04
数学微分方程在随 机动力系统中的应
用
06
数学微分方程与随 机动力系统的研究
展望
Part One
单击添加章节标题
Part Two
微分方程基础
微分方程的定义与分类
微分方程：描述数学模型中变量之间动态关系的方程 定义：包含未知函数的导数或高阶导数的方程 分类：常微分方程、偏微分方程、积分微分方程等 应用领域：物理、工程、经济等领域
微分方程的解法
数学微分方程在随 机动力系统中的应
用
微分方程在描述随机动力系统中的作用
微分方程可以用 来描述随机动力 系统的动态行为
微分方程能够刻 画随机动力系统 的变化规律和趋 势
微分方程可以帮 助理解随机动力 系统的内在机制 和规律
微分方程在研究随 机动力系统的稳定 性、分岔和混沌等 方面具有重要应用
微分方程在分析随机动力系统性质中的应用
新突破：基于深度学习的 微分方程求解方法
数学微分方程与随机动力系统在其他领域的应用 前景
金融领域：用于 描述和预测金融 市场的动态变化， 如股票价格、汇 率等。
物理领域：用于 研究物理现象的 演化过程，如天 体运动、流体动 力学等。
工程领域：用于 优化设计、控制 和信号处理等方 面，如机器人、 航空航天等。
Part Three
随机动力系统概述