电磁学第7章

当电荷积累分别为＋q0 （ｔ）和-q0 （ｔ） 时，面电荷密度
0
q0 S
,
而D＝０， ｑ０＝０ｓ＝DS＝Ｄ
D 为穿过电容器中的电
位移通量，两边取导
q0 d D
t
t
q0 q0
i0
i0
SD
由电荷守恒定律，左极板上q０随时间的变化率等于 i０
dq0 dt
i0
比较得：
i0
d D
dt
对S2面来i0说，dΦdDt是D 穿过ddSt 2面s2 的D 电 d位S移通s2量Dt
0
D t
麦克斯韦方程组的微分形式
二、D介 质 性E质方程和B 边 值H关 系
j0 E
v 如果导体已速度 运动。欧姆定律变为
j0 (E v B)
在两种介质 的界面处麦克斯韦方程组的形式变为：
en (D2 D1) 0
D2n D1n 0
en (E 2 E1) 0 en (B2 B1) 0
三、位移电流
稳恒磁场的安培环路定理为
H dl I0 S j0 dS
L
S1 i0
S
2
L
R
将上式用于如图所示的非稳恒电路，则
对S1 :
H dl L
S
j dS
I0
互相矛盾
对S2 :
H dl
L
S j dS 0
可见在非稳恒情况下
H
L
dl不再适I用0 。
环流是表示矢量场主要性质的方程，当磁场确定后，其
B
i
E
i
E
k
2E k2E 0
E 0
B
i
E
i
E
k
单色电磁波的麦克斯韦方程组
用同样方法可得到
2B k2B 0
B 0
E
i
B
i
B
k
应用单色电磁波的麦克斯韦方程组可讨论单色电磁波的各种性质。
二、电磁波的性质
按照麦克斯韦电磁场理论,变化的电场在其周围会激发涡旋 磁场, 变化的磁场在其周围会激发涡旋电场, 这样变化的电场和 变化的磁场相互连续激发，在空间交替扩散，就形成由近及远 传播的电磁波。下图画出了一条直线方向上传播的电磁波。
D
H dl
L
t
dS
E
dl
B t
dS
表示变化的磁场激发有旋电场，变化的电场激发有旋磁
场。但二者符号不同，磁场增加时，激发的电场是左旋的，
而电场增加时，激发的磁场是右旋的。充满变化磁场的空间，
同时也充满变化的电场，形成变化的电磁场。
B t
D t
E
H
四、麦克斯韦方程组
1.M((12a))x位涡we移旋ll电电的流场两::个基本jDBt假 设Dt :E感B
2）1900年俄罗斯莫斯科大学的彼得 尼古拉也维奇 列别捷夫 测出光压并发表了测量数据。
1895年波波夫建设了第一架无线电信号接受机。1896年3月12 日作了距离约为250米的收、发电报表演。电报内容是：海因 里希 赫兹。 1895年意大利工程师马可尼利用无线电波进行通信实验。1901 年12月首次实现大西洋两岸的通信。
从而建立了电磁场的基本理论。为什麽他能提出这两条假设？
1、麦克斯韦确定的研究方向的先进性：用数学描述电磁场。 2、强烈的创新意识和创新能力：把静电场和稳恒磁场的规
律推广到随时间变化的电磁场。 3、良好的物理概念和数学基础：高斯定理和环路定理是
矢量场的主要性质的表示式。
[例1]圆形平行板电容器，极板半径为Ｒ，沿极板轴线的长直导线
dS
这里
L E E静 E感
S t 而 E静 dl 0
L
静电场的环路定理是上式的特例。
麦克斯韦分析了静电场的高斯定理和稳恒磁场的高斯定理之 后没有发现什么问题.麦克斯韦假设它们在普遍情况下仍成立. 实验也证实了这一点.
当麦克斯韦把稳恒磁场的安培环路定理应用到非稳恒情况时， 却遇到了矛盾，为了解决这一矛盾，他提出了“位移电流” 的假说。
磁
电磁
波源
电
电
磁
电
磁
场
场
场
场
代入麦氏方程组，可得到平面电磁波的以下几点性质：
1) 电E,磁B波, 是v 横三波矢。量互相垂直，构成右手螺旋关系。
B
E v
2) 电磁波有偏振性。
3) 电场和磁场同相位，且量值服从关系 B E
1854年。年方23岁的麦克斯韦在剑桥大学毕业，接受了汤姆孙的忠告，通 读了法拉第的三卷论文集。继承了法拉第的场的观念。他也认真读了安培、韦伯 等人的超距作用的电磁场理论，一方面给予应有的肯定，同时也深刻地洞察其内 在矛盾、困难和不协调。从而更加强了他致力于建立电磁场理论的决心。
麦克斯韦善于正确地历史地审查物理学已有的重大成果及其基础，天才地发 现问题的核心和关键，作出具有开拓性与奠基性的重大突破，建立完整的电磁理 论体系。扎实的数学基础使他的理论工作得心应手、扎实可靠。
科学产生了技术
§7.2 单色平面电磁波
色散：同一介质对不同频率的电磁波的电容率和磁导率不同
即 0 r ()
0r ()
所以，从麦克斯韦方程组，对一般介质中的电磁波作一般性 的讨论是非常复杂的。
一、单色电磁波的波动方程
在电容率和磁导率是常量的介质中单色电磁波
E E(r) cost
B B(r) cost
因此有
ED0B
t
H
B
j0
0
D t
麦克斯韦方程组的微分形式
4.介质 性质方程:
D E
B H
j E
由麦克斯韦方程组及介质性质方程，当边界条件确定时，原则 上可解决所有电磁场问题.
麦克斯韦在前人取得的成果基础上提出
(1)位移电流: (2)涡旋电场:
jD B
D t
B
t E感
ID
d D dt
D DS
电容器两极板间的电势差：
R
u 电容器的电容：
Ed D d
C S
DS
r
a
Cu
r b
d
iD
C
du dt
§7.2
一、麦克斯韦方程组
1.M((12a))x位涡we移旋ll电电的流场两::个基本jDBt假 设Dt :E感B
2.麦克斯韦方程组
D dS
S
q 0 B
LE
dl
S
内通有交变电流，设电荷在极板上均匀分布σ=σ0sinωｔ，
且忽略边缘效应，求(1)极板间的位移电流密度; (2)a,b 处的磁感应强度大小(r<R)
解
:(
1
)由
jD
位
移电
D t
流密 D
度公 0E
式
0
0
r
R
r
jD
t
0
cost
Hale Waihona Puke Baidu
a
b
(2) 根据
H dl
L
i0 ID
对a点 ID 0
i0
dq dt
D S
dS
q0
环路定理: LE dl 0
稳恒
磁场高
斯定
理:
SB
dS
0
安培环路定理:
H dl
L
I0
法拉第电磁感应
定
律:ε
dΦ dt
二．涡旋电场
假麦说克，斯得韦到为了解L释E感感生dl电动 势S 的Bt 产 dS生 ，提出了“涡旋电场”
由此可得到普遍情况下电场的环路B 定理
E dl
en (H2 H1) jS
E2t E1t 0 B2n B1n 0
H 2t H1t jSn
由麦克斯韦方程组及介质性质方程，当边界条件确定时，原则
上可解决所有电磁场问题.
三、电磁波
麦克斯韦方程组 D 0
E
B t
B 0
1、真空中电磁波的波动方程
H
j0
D t
真空中 D没有0自由电荷 B和 传 0导电流，E 麦 克斯B韦方程 组H变 为：D
介质的性质方 程为：
t
t
D
0
E
( E)
B 0H
B ( t t
B)
00
2E t 2
用同所样以的 方(法 可E以)得2到E磁(场0E的0)波2tE动2 2方E0程 电场2E2的B波 动0方0 程2tB2 0
2E
0 0
2E t 2
0
2B
0 0
2B t 2
0
2、电2磁E 波c1的2 波2t速E2
考虑到电介质的性质方程 D E B H
( E) i H 2E
( E) ( E) 2E 2E
2E 2E 0
令
k 2 2 上式 变为
2E k2E 0
单色电磁波的基本方 程—亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程与 E 0 联立可解出 E(r )的空间分布
再由 E iH iB 可得
(
S
j0
D t
) dS
称令为全Lj0电H流dD，tl这为安位I培0移环电d路流d定t密D理度可，Sj写(为jj00DtDt为)全 d电S流密度
上式应是一个假设，其物理意义是：位移电流和传导电流激发 磁场的效应是相同的。
3.ID与I0的异同:
相同点: 激发磁场遵从相同的规律,且为涡旋场 不同点:
dS
表明穿过曲面S1的传导电流 i0与穿过S2面电位移通量随时间的
变化 同．
率 dΦD／ Maxwell把
dtdd数tD值相等S2，正Dt负 d相S同
2.位移电流的定义
ID
d D
dt
．而二者量纲
称为位移
S
D t
dS
也相
电流
可认为ＩＤ 接替了电路中在电容器极板中间断了的传导电流ｉ０，
I保持I了0 电I路D 中电I0流在d形dtD式上的S j连0 续dS性 。S如 果Dt把 dS
d dt
(
R2 )
R2 0
cost
H
R2 2r
0
cost
B
0H
0R2
2r
0
cost
对b点
i0 0
LH
dl
S
D t
dS
S
jD
dS
H 2r 0 cost r2
H
r 2
0
cost
B
0H
0r
2
0
cost
[例2]试证：平行板电容器中的位移电流可以表示为：
iD
C。du dt
证明：
位移电流：
环流必定是确定的。在变化电流的 情况下,
H dl ? 普遍情况下安培环路定理的形式如何？
L 解决问题的方案。
矛盾的根源在于传导电流在电容器极板间中断了，因而整个电路
传导电流是不连续的，虽然电容器极板上积累的电荷不能跨越极板
而形成传导电流，但它在极板间产生了电场，下面研究这个电场如
何随时间变化。
光的电磁理论
0
2
B
1 c2
2B t 2
0
c 1 3108 ms1
0 0
3、麦克斯韦电磁理论的实验证明
1）、赫兹实验
1864年12月8日麦克斯韦在英国皇家学会宣读了论文“电磁 场的动力学理论”
1886年春赫兹在作课堂演示时发现：一个线圈放电时，很 容易在另一个线圈中引起火花。后来认识到是电磁波。 赫兹在进一步研究中证明电磁波具有干涉、衍射和偏振特 性。从而证明光的本性是电磁波。1888年赫兹向柏林科学 院报告了他的研究结果。
t
dS
H
L
dl
B
S
S
dS ( j0
0
D t
)
dS
麦克斯韦方程组的积分形式
电磁波
高斯定理
斯托克 斯定理
A dS AdV
S V
Adl ( A) dS
L
S
D
E
0
B
t
B 0
D
H j0 t
麦克斯韦方程组的微分形式
因此有
ED0B
t
H
B
j0
第七章 电磁场与电磁波
Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave
本章主要内容： 1、位移电流。 2、麦克斯韦方程组。 3、电磁波基本知识。
第七章 电磁场和电磁波
§7.1 麦克斯韦电磁场理论
一、麦克斯韦电磁场理论的产生
18世纪末,特别在1820年以后，由于电流磁效应的发现，很多科学家研究 电和磁的各种联系的规律，使电磁学得到飞速发展。人们通过大量的实验,总结 出一系列重要规律。如库仑定律、安培定律、毕奥——萨伐尔定律、法拉第电磁感 应定律等。麦克斯韦电磁理论就是在这样的历史条件下产生的。
(1)根源:传导电流是由电荷的定向移动形成的. 位移电流是由变化的电场形成的.
(2)热效应:传导电流 有 位移电流无(介质中高频时也有,但不遵从焦耳 --- 楞
次定律 (3)存在的场合:I0仅存在于导体内
ID可存在于导体、介质、真空中 低f时，导体中以I0为主 高f时，导体中以ID为主
4. 无传导电流时
应用欧拉公式∶ ei cos i sin
可以写成
E E(r)eit
B B(r)eit
取上式的实部即为所熟悉的波函数。设介质中无自由电荷，
麦克斯韦方程组应 为 D 0 E
B t
B 0
H
D
t
把单色电磁波的波函数代入麦克斯韦方程组，并
消去因子
e
it
可得到单色电磁波的麦克斯韦方程组：
E 0 H 0 E iH H iE
2.麦克斯韦方程组
D dS q0
L
E
S dl
S
B t
dS
B dS 0
L
H
S dl
S
( j0
D t
)
dS
麦克斯韦方程组的积分形式
高斯定理
斯托克 斯定理
A dS AdV
S V
Adl ( A) dS
L
S
D
E
0
B
t
B 0
D
H j0 t
麦克斯韦方程组的微分形式
麦克斯韦系统地总结了前人在电磁学研究上的全部成就，并在 此基础上加以发展，提出了“涡旋电场”和“位移电流” 假 说，建立了完整的电磁场理论，由此理论科学地预言了电磁波 的存在，揭示了光波和电磁波的统一性。这是继牛顿力学之后 物理学的又一次大综合。
在电磁场理论建立之前，已总结出的电磁学规律有∶
静电场高斯定理: