2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：计算题．

分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案

解答：

解：

故答案为1﹣2i

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握

2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．

考点：交集及其运算．

专题：计算题．

分析：由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案

解答：

解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，

∴A∩B=（，1）

故答案为（，1）

点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义

3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．

考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

专题：计算题．

分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．

解答：

解：=sinxcosx+2=sin2x+2

∴T==π

∴函数的最小正周期是π

故答案为：π

点评：本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．

4．（4分）（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）

考点：平面向量坐标表示的应用．

专题：计算题．

分析：根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．

解答：

解：∵是直线l的一个方向向量

∴直线l的斜率为即tanα=

则l的倾斜角的大小为arctan

故答案为：arctan

点评：本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．

5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：计算题．

分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．

解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，

所以它的底面半径为：1，

所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．

故答案为：6π．

点评：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．

6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．

考点：有理数指数幂的运算性质．

专题：计算题．

分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．

解答：解：∵4x﹣2x+1﹣3=0

∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0

∴（2x﹣3）（2x+1）=0

∵2x＞0

∴2x﹣3=0

∴x=log23

故答案为x=log23

点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．

7．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．

考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：

由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求

解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n

则

∴=是以1为首项，以为公比的等比数列

则（V1+V2+…+v n）==

故答案为：

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题

8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．

考点：二项式定理的应用．

专题：计算题．

分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．

解答：

解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1）3=﹣20

故答案为：﹣20

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查

了计算能力，属于基础题．

9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g （﹣1）=3．

考点：函数奇偶性的性质；函数的值．

专题：计算题．

分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案

解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2

∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4

又g（1）=1

∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3

故答案为：3

点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值

10．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．

考点：简单线性规划．

分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求

解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示

由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小

结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=

﹣2最小

故答案为：﹣2

点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．