准静态电磁场

e
26
第 五 章
准静态电磁场
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压
源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
忽略位移电流项 D ，即不考虑电磁场的波动性。 t 忽略位移电流项的条件？
四、磁准静态场近似条件：
1.对于导体内的时变电磁场： 满足条件： << 时，(良导体) 位移电流可忽略：涡流准静态场(涡流场)。
对于金属： 107 S/m、 0 只要电流的频率满足：<< 1017 1/s 时，金属均为良导体。
在均匀导体（电导率为、介电常数为）中：
1.自由电荷的弛豫过程是按指数规律衰减的，弛豫时间为：
e=/
自由电荷的分布为：
( t ) 0 ( x, y, z )e

t
e
2.在电荷的弛豫过程中，导体中的电场为典型的电准静电场。 导体的电位分布随时间也按指数规律变化：
t
( x, y, z , t ) 0 ( x, y, z )e
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在 EQS 场中， 2 其解为
1 0e
t τe

t τe
(r , t )
V
0 e 4πr
t τe
dV dS s 4 πr
0 ( r )e
dS S 4 πr
说明导体中体电荷 思考 导电媒质中，以
在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过 程称为电荷驰豫。
设导电媒质
, 均匀，且各向同性，在EQS
J D/
场中
J t
D
0 t
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准静态电磁场
0 t
其解为
oe

t e
EQS场的磁场按 H J D 计算。 t
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准静态电磁场
MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程， 在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B MQS场的电场按 E 计算。 t
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准静态电磁场
第 五 章
t
程发生变化，电场方程无变化称为电准静态（EQS）。
A J ,
2
/
2
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二、基本方程：
D ) dS l H dl S ( J t B 0 dl dS =0 l E S t dS 0 SB D dS q
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准静态电磁场
第 五 章
准静态电磁场
本章要求
了解EQS和MQS的共性和个性，
掌握工程计算中简化为准静态场的条件；
掌握准静态场的计算方法。
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准静态电磁场知识结构
时变电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
式中 o 为
t 0 时的电荷分布 ， τ e / ━驰
豫时间。良导体的驰豫时间<<1,说明在良导体中，
若存在体分布的电荷，该电荷在导体通电时随时间 迅速衰减，电荷分布在导体表面，即良导体内部没
有自由电荷的积累。
如：带电导体旁边突然放臵异性电荷后重新分
返 回 上 布电荷的过程；或导体充电达到平衡的过程。 页 下 页
第 五 章
第五章 准Fra Baidu bibliotek态电磁场
Quasistatic Electromagnetic Field 序
准静态电磁场
电准静态场与磁准静态场 磁准静态场与集总电路 电准静态场与电荷驰豫 集肤效应与邻近效应 涡流及其损耗 导体交流内阻抗
电磁兼容简介
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准静态电磁场
Introduction 低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。
当 l 0 时，有 J 2 n J1n 0 t
根据
J E 及 D2n D1n
图5.3.1 导体分界面
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( 2 E2 n 1E1n ) ( 2 E2 n 1E1n ) 0 t
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三、结论：
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation 5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
（Charge Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)
2 /
低频交流电感线圈导线中的磁场属于磁准静态场； 返 回 上 页 下 页
二、基本方程：
0 0 D D H J J d S H d l ( J ) d S t J l S t S B B E dl dS l E S t t B 0 dS 0 SB D D dS q
S
1.磁准静态场与静态情况相比：只是电场的方程有变化。 (考虑了电磁感应)
2.磁场的方程与恒定磁场的方程完全一样；虽然此刻的磁场强度H和磁感 应强度B都是时间的函数，但它们的瞬时对应关系，即每一时刻的关系 类似于恒定磁场。
3.已知电流分布，就可以利用恒定磁场的公式，确定H和B。 12
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B d 电感 E i dl dS u L li S t dt
有
di 1 uS Ri L idt u R u L uC dt c
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
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准静态电磁场
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
产生的电位很快衰减，
导体电位由面电荷决定。
分布的电荷在通电时驰豫何方？
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5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程 根据
有
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1lS 2 lS t 2 2
磁准静态场
D ( 0) t
电准静态场
B ( 0) t
具有静态电磁场的特点
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准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic
电准静态场 B 若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
电阻

lR
E R dl
lR
l J i Ri uR dl S
电容
lc Ec dl lc dl lc
D
1 q(t ) dl q (t ) uC S c
图5.2.2 环路电压
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电源
ls Ee dl e us
5.0 序
电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS Β 感应电场远小于库仑电场，可忽略 t 磁准静态场（Magnetoquasistatic ）简写 MQS D 位移电流远小于传导电流，可忽略 t 解题方法： 利用静态场的方法求解出电(磁)准静态场的电(磁) 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁(电)场。
3.已知电荷分布，就可以利用静电场的公式，确定E和D。 9
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求解方法：分两步
准静态电磁场
1）电场的求解采用静电场的公式
2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 分布
静电场公式 Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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D 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 的 t D 作用，即 J D 0 H J J
磁准静态场
H J , B 0 , J 0 E B / t , D 0
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，电场方程
发生变化，磁场方程无变化，称为磁准静态场（MQS）。
t
用库仑规范 A 0 ，得到泊松方程
2 A J ,
作用， E ( Ec Ei ) Ec 0 低频交流情况下，平板电容器中的电磁场是电准静态场
低频交流情况下，电感线圈中的电场可看做是恒定电场
t
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准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。 低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
2.对于理想介质内的时变电磁场： 当场点到源点的距离R<<场的波长 时，位移电流可忽略。 说明：在近区或似稳区，电磁场的分布遵循静态场的规律。 13
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求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
B A,
A E t
S
D H J t B 0 E =0 t B 0 D
1.电准静态场与静态情况相比：只是磁场的方程有变化。 (考虑了位移电流引起的磁场)
2.电场强度E和电位移D的方程与静电场的方程完全一样；虽然此刻的E和D都 是时间的函数，但它们与源的瞬时对应关系，即每一时刻场与源的关系类 似于静电场。
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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2 1 1 2 σ U s (1 e ) a 2 b 1
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二、注意： 1.当电容器极板上的电荷或电压突变时，导电媒质 分界面上的自由电荷来不及突变仍保持原来的值， 两种导电媒质中的电压按电容分配；当进入直流稳 态后，电压按电阻(电导)分配。 2.在低频或工频交流电压的作用下，多层有损介质 的电场稳态值按静电场分析；在直流电压作用下， 电场稳态值按恒定电场分析。
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
图5.2.1 结点电流
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2. 证明基尔霍夫电压定律
B dS 时变场中 E dl ( Ei Ec E R Ee ) dl l l S t
2 A J ,
2 /
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
,A
满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS忽略
了滞后效 应，属于似稳场,即没有波动性。 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场， 两者相互依存。 EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程， 在任一时刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
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5.2 磁准静态场与集总电路
MQS Filed and Circuit 1. 证明基尔霍夫电流定律
磁准静态方程是交流电路的场理论基础。
在 MQS 场中， J
0
S2
S J dS 0
J 2 dS
S3
S
J dS J1 dS
S1
J 3 dS
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电准静态场 B 若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
作用， E ( Ec Ei ) Ec 0 D H J , B 0 , J t t E 0 , D 特点：电场的有源无旋性与静电场相同，磁场方 用洛仑兹规范 A t ，得到泊松方程