电路时域分析方法

2
i4 R5 i5
iS1
R1
R4
+
u_ S
把支路电流用结点电压表示：
u R n11un1R 2un2iS 1iS 2
un1un2un2un3un20
R2
R3 R4
un2un3un3uS
R3
R5
iS2
整理，得：
11
1
(R1R2)un1(R2)un2iS1iS2
1 111 1
R 2u n 1(R 2R 3R 4)u n 2R 3u n 30
(R 13)un2 (R 13R 15)un3 iS2 u R S 5
等效电 流源
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2
后3类方程的解析解难以求出，可借助计算机求 数值解。
线性电阻电路时域分析方法
1.回路电流法
以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法
基本思想
为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中 有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的
i1 R1
+ uS1
对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 流、支路电压未知量共有2b个。只要列出2b个独立的 电路方程，便可以求解这2b个变量。
独立方程的列写
（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 （2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程 （3）写出每条支路的元件约束方程VCR
示例
C
结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
一阶电路
描述电路的方程是一阶微分方程。 一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别
稳态
动态
恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解
任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解
3
6
5
3 i2i5i60 4 i3i4i50
4
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：
(n1 )b(n1 )b
2b法
以各支路电流、支路电压为未知量列 写电路方程分析电路的方法。
b
观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。
自电阻总为正。 R12= R21= –R2 回路1、回路2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取 正号；否则为负号。
ul1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。
i
R1
R3
R2
R4
+
_
uS
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n4 b6
抛开元 件性质
n5 b8
8
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
7
6
一个元件作 为一条支路
有向图
(1) 图(Graph) (2) 路径 （3）连通图
① G={支路，节点} １
②
从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路 经。
–
a
i2
il1
R2 +
uS2 –
b
线性组合表示。来求得电路的解。
i3
独立回路为2。选图示的两个独立 回路，支路电流可表示为：
il2
R3
i1 il1 i3 il2
i2 il2 il1
列写的方程
回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一
次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回
情
G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2
况

Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路)。总为正。
Gij = Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所 支路的电导之和，总为负。
f(0)f(0)
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
U1 R1i1 U2 R2i2 U3 R3i3 U4 R4i4
U5 R5i5
U6R6i6uS
（2）线性动态电路
iL R Ee(t)
L
+
C -uC
微分方程为：
L C d2uc R dt
C ddcutucE
（3）非线性电阻电路
① i2 u2
②
i1
12A
u1
i3
4A
u3
KCL:
i1i2 12
图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
(3) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径
树
不
是
树
树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
动态电路的分析方法
建立微分方程：
a n d d n n x ta n 1d d n n 1 x 1 t a 1d d x a t0 x e (t)t 0
本章 采用
时域分析法
经典法 状态变量法 卷积积分 数值法
复频域分析法
拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
3. 电路的初始条件
i2i3 4
KVL： u 1 U n 1 ,u 2 U n 1 U n 2 ,u 3 U n 2
VCR：
i1U 1 3,
i2U 22,
3
i3U 32
（4）小结
线性电阻电路：线性代数方程组 线性动态电路：线性微分方程组 非线性电阻电路：非线性代数方程组 非线性动态电路：非线性微分方程组
其中:
Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻两个回路电流方向相同
Rjk:互电阻
- : 流过互阻两个回路电流方向相反
0 : 无关
2.结点电压法 以节点电压为未知量列写电路方程分析
电路的方法。适用于结点较少的电路。
基本思想：
选节点电压为未知量，则KVL自动满足， 就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可 视为结点电压的线性组合，求出节点电压后， 便可方便地得到各支路电压、电流。
节点1与节点2之间的互电导，等于接在 节点1与节点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。
G23= G32 =-G3
节点2与节点3之间的互电导，等于接在节 点1与节点2之间的所有支路的电导之和， 为负值。
自电导总为正，互电导总为负。
iSn1=iS1+iS2 流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2=-iS2＋uS/R5 流入节点2的电流源电流的代数和。
流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电 压，各支路电流可用节点电压表示：
i1

u n1 R1
i4

u n2 R4
i2

un1 un2 R2
i5

un3 R5
uS
i3

un2 un3 R3
一 般
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的：
bt n1
连支数： b lbb tb(n1 )
回路 (Loop)
123 75
6 84
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关 联2条支路
23
12 75
不是 回路
84
5
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
Ri uc US
(t >0)
i
R+
Us
uC C
–
RCduc dt
uc
US
Us
(t >0)
i
R+
uL L
–
Ri uLUS
di
Ri
L dt
US
有源 电阻
一个 动态
一阶 电路
二阶电路
电路
元件
(t >0)
i
＋
R+
RiuLucUS
US －
－ uC＋u–L
L LC dd2u2tc RC ddtcuucUS
列写的方程
节点电压法列写的是结点上的KCL方
程，独立方程数为：
(n 1)
与支路电流法相比， 方程数减少b-(n-1)个。
说明
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即
是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。
uA-uB
(uA-uB)+uB-uA=0
uA
uB KVL自动满足
2. 方程的列写
(1) 选定参考节点，
标 明 其 余 n-1 个 独 立节点的电压
iS1
iS3
1 i2 R2
i3 R3
3
i1
2
i4 R5 i5
R1
R4
+
u_ S
(2) 列KCL方程：
iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2
iS2
1 i2 R2
i3 R3
3
i1
线性电路的时域分析方法
电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 方法的基础： （a）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （b）元件的电压、电流约束特性。
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。
网络图论
A
B
C
D
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
D
C
1. 电路的图
（1）线性电阻电路
2
i2 R2 i3
1
1
R4
2 i4
R3
3
1 i1i2i60
2 i2i3i40
3 i4i5i60
取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
R1 i1
3
4 R5
i5
R6 + uS –
回路1 u2u3u10
i6
回路2 回路3
u4u5u30 u1u5u6uS
iSni — 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括
由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。
当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
一阶线性动态电路时域分析方法
1. 动态电路
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
Us
R+
uC
C
US
uc
US
–
R?
i
有一过渡期
初始状态 0
t1 新稳态
过渡状态
t
换路
电路结构、状态发生变化
过渡过程产生的原因
支路接入或断开 电路参数变化
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发
生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p w t
2. 动态电路的方程
应用KVL和元件的VCA得：
例 电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t=0）
i
i US/R2
iUS (R 1R2)
t
0 过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
ul2= uS2
回路2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之
取正号。
由此得标准形式的方程： R11il1+R12il2=uSl1 R12il1+R22il2=uSl2
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有:
R11il1+R12il1+ …+R1l ill=uSl1 R21il1…+R22il1+ …+R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il1+ …+Rll ill=uSll
G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3
标准形式的结点 电压方程
其 G11=G1+G2 中
节点1的自电导，等于接在节点1上所有 支路的电导之和。
G22=G2+G3+G4 G33=G3+G5 G12= G21 =-G2
节点2的自电导，等于接在节点2上所有
支路的电导之和。
节点3的自电导，等于接在节点3上所有 支路的电导之和。
路列写KVL方程，方程数为：
b(n1)
与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。
2. 方程的列写 回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
a
回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
i1 R1
+ uS1
–
i2
il1R2+ uS2
–
i3 整理得：
il2 R3 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
lbl b(n1)
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连枝
6
4
5
2
1
3
5 2
1
3
6
2 13
结论
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
结点、支路和 基本回路关系
bnl1
2.KCL、KVL的独立方程数
2
1
2
1 i1i4i60 2 i1i2i30
1 43