经济学中“弹性”大全

第二章 弹性分析

影响商品需求的任何因素变动将导致商品需求发生改变，商品销售方渴望知道，如果他们对商品销售价格进行调整、对商品质量进行改进或者提高售后服务水平等等，其商品的市场需求将如何变化；同样，政府也想知道，调整税收将如何影响产品和劳务的市场需求，更一般地说，函数自变量变化能在多大程度上影响函数因变量变化。为了更好地进行定量分析，经济学家选择了一个被命名为弹性（η）的定量分析指标，弹性描述了函数因变量对自变量变化的敏感程度，即自变量变化1%个单位时，因变量将变化百分之几个单位。如果函数表达式为()y f x =，那么，我们可以利用数理工具将函数图像上11(,)A x y 和22(,)B x y 两点之间的弧．弹性．．

刻画如下： 100%100%y y x y x x y

x

η∆⨯∆===⋅∆∆⨯因变量变化的百分数弧弹性()自变量变化的百分数 （2-1） 当11(,)A x y 、22(,)B x y 两点无限靠近，即0x ∆→时，弧弹性演化成点弹性．．．，同样，我们可以利用数理工具将点弹性刻画如下：

dy x dx y

η==⋅因变量变化的百分数点弹性()自变量变化的百分数 （2-2） 第一节 弹性的数理刻画与几何意义

面对具有函数关系的变量，比如()y f x =，或者123(,,,...,)n y f x x x x =，经济

学研究中，常常需要考察自变量变化()x ∆对因变量变化()y ∆的影响力度(

y x

∆∆)。如果仅仅研究11(,)A x y 和22(,)B x y 两个状态，那么，最理想的研究工具当然是y x

∆∆，因为y x ∆∆直观地显示：自变量变化1单位时，因变量变化y x ∆∆单位，但是，这种比较静态方法没有经济学边际分析意义。 由于导数具有边际分析意义，所以，经济学更多地利用导数()dy dx

刻画自变量变化()dx 对因变量变化()dy 的影响力度，但是，对目标函数求导的结果往往是

一个不具有经济学含义的导函数，因此，经济学引入弹性概念，用以描述自变量变化1%个单位时，因变量变化百分之几个单位，即dy x dx y η=⋅，或者y x x y

η∂=∂。 经济学常常利用导数与弹性进行经济分析。经济学利用导数的正负号判断函数单调性，从而判断经济变量之间表现为同方向变化还是反方向变化；利用弹性符号η替代dy x dx y

，不仅消除了表达式中的微分符号、简化了表达式，而且η具有直观经济学含义。我们首先将注意力聚焦于弹性的数理刻画，然后将视线转移到弹性的几何意义。

一、需求的价格弹性

需求弹性分为需求的价格弹性、需求的收入弹性和需求的交叉弹性等①。我们将在下文分别详细探讨。

需求的价格弹性描述了商品需求量对商品价格变化的敏感程度。假设某商品的需求函数为()Q f P =，则该商品需求的价格弹性可以表示为：

100%100%Q Q P Q P P Q

P

∆⨯∆===⋅∆∆⨯需求量变化的百分数需求的价格弹性价格变化的百分数 （2-3） 式（2-3）刻画了某商品的销售价格从1P 变化到2P 时，该商品需求曲线上点11(,)A P Q 和点22(,)B P Q 之间的弧弹性大小，其中，21Q Q Q ∆=-，21P P P ∆=-，12()/2Q Q Q =+，12()/2P P P =+。

商品价格与商品需求量之间的反方向变化必然导致0Q P P Q

∆⋅<∆，但是，商品需求量对商品价格变化的敏感程度仅仅取决于||Q P P Q ∆⋅∆的大小，而与Q P P Q

∆⋅∆的符号无关，同时，为了方便不同弹性之间进行相互比较，我们将需求的价格弹性调整为：

① 国内市场大量充斥着假冒伪劣产品的情况下，商品质量对商品需求量的影响甚至超过了价格对商品需求量的影响，所以，研究商品的质量弹性是件非常有意义的工作，但是，由于商品质量高低程度难以量度和计量，因此，经济学一般避开了这个“话题”。

||Q P Q P P Q P Q

∆∆=⋅=-⋅∆∆需求的价格弹性 （2-4） 式（2-4）刻画了需求曲线上两点之间的弹性大小，因此，我们称之为弧弹性．．．。如果0P ∆→，那么，必然有0Q ∆→，当需求曲线上两点之间的变化量无限趋向于零时，我们称之为点弹性．．．

，点弹性的具体表达式为： 0lim ||||P Q P dQ P dQ P P Q dP Q dP Q

∆→∆=⋅=⋅=-⋅∆需求的价格弹性 （2-5） 我们也可以将需求的价格弹性表示为ln ln d Q d P η=

①，值得注意的是，dQ P dP Q η=⋅更适合于处理线性问题，ln ln d Q d P

η=更适合于处理非线性问题。 例题1： 假设某商品的需求函数为b Q aP =，其中，a 和b 为非零常数，则需求的价格弹性为多少？

解答： 方法①：ln ln ln ln ln b d Q Q aP Q a b P b d P η=⇒=+⇒=

= 方法②：11

b b b dQ dQ P P abP abP b dP dP Q aP

η--=⇒=== 心得体会：面对非线性问题时，首先对需求函数两边同时取对数，将之转换为线性形式，然后利用ln ln d Q d P

η=求弹性，可以大大简化运算过程。

①证明1：利用微分方法：

1ln ln ln 1ln dQ dQ d Q dQ d Q Q Q Q dP d P dP d P dP P P P η⎫=

=⎪⎪⇒==⎬⎪==⎪⎭ 证明2：利用导数方法：

ln 1ln ln ln ln 1ln d Q dQ d Q d Q P dQ dQ Q Q d P Q dP d P dP d P dP P P η⎫=⇒=⎪⎪⇒==⎬⎪=⇒=⎪⎭

证明3：利用链式法则：

ln 1ln ln 1ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln dQ dQ d P dQ dQ dQ P d Q d Q dQ dQ P dQ dP d P dP d P P d P dP d Q d Q dQ dQ d P dQ d P Q d P Q dP d P dQ d P Q d P η⎫==⇒=⎪⎪⇒====⎬⎪==⎪⎭