简谐振动的微分方程

2、在势能极小值附近的微振动
什么是稳定平 衡位置？
振动系统作简谐运动的平衡位置是稳定平衡位置。 振动系统处于稳定平衡位置时，势能最低，即在势能曲线的最低点。
设质量为m的质点在保守力作用下运动，保守力对应的势能曲线
如下图所示，P2和P4对应势能极小值点，试分析质点在势能极小值 点附近的运动情况。
Ep
x
x
or 2
oo
t
π
2
oo
t
[补充例题2] 一物体沿Ox轴作简谐运动，振幅为6.0×10-2m， 周期为2.0s。求物体从x= -3.0×10-2m处向Ox轴负方向运动开始， 到平衡位置，至少需要多少时间?
[分析] 知道运动方程，初末位置，根据相位即可求解
[求解]运动方程为：x Acos(t ) x0
质点受的力：
F
(
x)
dEp ( dx
x)
Ep(0)
x
∵在稳定平衡位置，曲线必为凹的 稳定平衡位置在势能
km
物体以向左的速度0.20m/s。试求简谐振动方
程。
o
x
[分析] 1.弹簧振子做简谐振动，符合通解形式
2.根据已知条件可以求运动方程中的各个参数
[求解] 简谐振动方程： x Acos(t )
根据已知条件可得：
k
m
1.60 2(s1 ) 0.40
A
x02
2 0
2
(0.10)2 ( 0.20)2 0.1 2(m) 2.0
简谐振动的角频率： 2π k
m
简谐振动的速度和加速度：
平衡位置时速率最大， 而加速度为0，振幅最 大时速率为0，加速度 最大。
x Asin(t )
a x 2 Acos(t ) 2 x
(2) 简谐运动振幅和初相的确定
初始条件: t 0时 x0 Acos 0 A sin
①确定振幅:
由题义得旋转矢量图:
-A/2
根据已知条件：x0
A cos
1 2
A
t O
x
xf Acos(t ) 0
xf
∴ t 5 π
6
t 5π 5π 5 0.833(s)
6 6π 6
(4) 简谐运动的能量
动能：Ek
1 m 2
2
1 m 2 A2 sin2(t
2
2 k
)
势能：E p
1 2
总能量：E
kx 2
(
x0
)x
1 2
Ep(x0
)(x)2
∵ 在稳定平衡位置处质点受力为零
∴
F (x0
)
Ep
( x0
)
dEp (x0 dx
)
0
∴
Ep
(x)
Ep
(
x0
)
1 2
Ep(
x0
)(x)2
稳定平衡位置处势能 取取值，而极值点一 阶导数为0
取稳定平衡位置为坐标原点，即 x0 0
则：
Ep
(x)
Ep
(0)
1 2
Ep(0) x 2
§1 线性简谐运动
1、弹性力作用下的简谐运动
k
F
物体受的胡克力为：
Ox
xห้องสมุดไป่ตู้
F kx
牛顿第二定律：F mx mx kx &x& k x 0
令: k 2
m
注意：这里是相加 的关系！！
m
不管什么样的振动，
简谐振动的微分方程: x 2 x 0
只要运动微分方程可 以表示成这样一种形
简谐振动方程： x Acos(t )
1
m 2 A2
m
cos 2 (t
)
E 1 2
2
kE kA2
p
1 2
m 2 A2
振子的动能和势能都随时间周期性地变化，
且幅值相同振子的机械能则保持不变
(5) 简谐运动的复数表示
∵
x Acos(t ) Re Aei(t )
∴
x~ Aei(t ) Aei eit A~eit
复数的公式：
eit cost i sin t
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
4
π
4
(3) 简谐运动的旋转矢量分析法 几何与函数的对应
m
t
旋转矢量
anωt
A
φ
Ox
t= 0 x
x Acos(t )
旋转矢量的端点在某一直径上的 投影点的运动方程
m sin(t ) Asin(t ) a an cos(t ) 2 Acos(t )
普通物理学
第十三讲
《力学》课程
主讲教师：王艳利博士 罗绍凯教授
振动形式是多种多样的！
思考：如果自然界不 存在振动将如何？
第五章 机械振动
机械振动：物体在平衡位置附近的重复往返运动 机械波：机械振动在空间介质中的传播 广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一 种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在 空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动。机械波的形成 和传播需要介质，而电磁波的传播不依赖于介质。 • 在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动 现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的 。 • 振动的形式是复杂的，多样的，但无论多复杂的运动，它都包 含简谐振动，或部分化为简谐振动，因此简谐振动是最基本、 最简单的运动形式。
E
P1
E
E
P3
P5
P2
P4
O
泰勒级数展开公式：
设势能函数为：Ep Ep ( x)
f (x) an (x x0 )n n0
将Ep(x)在x=x0处展开成泰勒级数为：
系数an
1 n!
d (n) f (x) dxn
Ep
(x)
Ep
(
x0
)
Ep
( x0
)x
1 2
Ep(
x0
)(x)2
L
Ep
(
x0
)
Ep
两点注意：1、矢量旋转法是研究简谐振动的直观方法； 2、不能把旋转矢量的运动当做是简谐振动。
利用旋转矢量绘制振动曲线
x
x
t 0A
φ
tT 8
t 5T
8O
T T 3T T 5T
t
8
4
8
2
8
tT 4
t 3T 8
tT 2
振动质点的四个特殊初始位置
0
xx
π
or
xx
π
oo
t
oo
t
π 2
xx
3π
式，一定是简谐振动
简谐振动的振幅：A 简谐振动的相位： (t )
简谐振动方程： x Acos(t )
∵ 周期函数的定义为：f (t) f (t T )
∴
cos(t
)
cos(t
2π)
cos(t
2π
)
简谐振动的周期：
T 2π 2π
m k
简谐振动的频率：
1
1
k
T 2π 2π m
简谐振动的周期只跟 振子的质量以及弹簧 的进度系数有关，是 系统的固有属性，与 初始状态无关。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给